高斯主元素消失法

第二节高斯主元素消去法供）问题的提出：由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现 =0的情况，g这时消去法将无法进行；即使主元素 尹0,但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠。引例求解方程组0.0012.0003.000・打■1-000・-1.0003.7124.6232.000-2.0001-0725-643.A3.3-000.用4位浮点数进行计算。解：方法1用高斯消去法求解。「0.0012.0003.000:1-000・(A\ 1.0003-7124.623:2.000-2.0001.0725.643:3.000.■0-0012.0003-000:1-000-TOC\o"1-5"\h\z0 2004 3005 : 10020 4001 6006 : 2003 .■0.0012.0003-000:1-000-0 2004 3005 : 10020 0 5.000 : 2.000 .其中皿21=-1-000/0.001二-1000*31=-2-000/0.001=-2000曲"=4001/2004=1-997)计算解为：x二(-0.400,-0.0998,0.400)T

显然计算解牙是一个很坏的结果，不能作为方程的近似解。方法2交换行，避免绝对值小的主元做除数。「0.0012.0003.000:1.000-(A-1.0003.7124.623:2.000-2.0001-0725-643:3-000_・-2.0001_0725_643；—-1.0003.7124.623:.0_0012_0003_000:■-2.0001.0725.643:—0 3.1761-801；.0 0 1.868:得计算解为：x=(-0.4900,-0.05113,0.3678)tex*.这个例子告诉我们，在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦,故应避(fr)免采用绝对值小的主元素a&。对一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵(或消元后的低价矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性，这就是全主元素消去法，在选主元时要花费较多机器时间，目前主要使用的是列主元消去法。本节主要介绍列主元消去法，并假定(2.1)的A^RnXn为非奇异的。1.列主元素消去法设方程组(2.1)的增广矩阵为：%M3 ，*.^12:方广B=^21M3 ，*.^22:^2:…勺2:"首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如：|a|=max|a|尹0，IWiWn然后交换B的第一行与第%行，经第一次消元计算得(A|b)f(A(2)|b⑵)重复上述过程，设已完成第k-1步的选主元素，交换两行及消元计算，(A|b)约化

.^11 ^12…耳3 …我也■■里1 ■■h、■a22里2瓦kk…日in垃. 标…■.&..方皿I为:为:（2.2）其中A（k）的元素仍记为aij,b（k）的元素仍记为外。第k步选主元素（在A（k）右下角方阵的第一列内选），即确定ik，使|驾丘&|二皿吊里1驾」7^=0?女三壬交换（A（k）|b（k））第k行与ik列的元素，再进行消元计算,最后将原方程组化为（k=1，2…，n-1）:&11 a&11 a12 ali7奁聪,,,奁网・里1.Ab・回代求解2.高斯-若当消去法高斯消去法始终是消去对角线下方的元素，现考察高斯消去法的一种修正，即消去对角线下方和上方的元素，这种方法称为高斯-若当（Gauss-Jordan）消去法。通过选主元，消元等过程最终化为：

■1:.QM）®|疗）=1... *. 1 :bn.说明：用高斯-若当方法将A约化为单位矩阵，计算解就在常数位置得到，因此用不着回代求解,用高斯-若当方法解方程组其计算量要比高斯消去法大，但用高斯一若当方法求一个矩阵的逆矩阵还是比较合适的。定理4（高斯-若当法求逆矩阵）设A为非奇异矩阵，C=（A|I）,如果对C应用高斯一若当方法化为（I|T）， nn则A-i=T。解：-123-4=245例4用高斯-若当方法求的逆矩阵以及■123；1145；2056；30■356；30245；20.123；11的解。■15/32=3001/3・—02/31；001-2/3一01/31；010-1/3.■1

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