广东省揭阳市普宁光明中学高三数学理下学期期末试题含解析

广东省揭阳市普宁光明中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π参考答案：A考点：球的体积和表面积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求．解答：解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA=，即球的半径为，∴球O的表面积为12π．故选：A．点评：本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题．2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，则CuM=A．U

B．{1,3,5}

C．{3,5,6}

D．{2,4,6}

参考答案：C，故选C.3.若,则满足等式的实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.给出下列命题，其中错误的是A．在中，若，则B．在锐角中，C．把函数的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数的图象D．函数最小正周期为的充要条件是参考答案：D略5.设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题:是任意实数，若，则，则（

）

A.“或”为真

B.“且”为真

C.假真

D.，均为假命题参考答案：A6.已知两点，以线段为直径的圆的方程是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D考点：圆的标准方程与一般方程因为中点为圆心，为半径，

所以，圆的方程是

故答案为：D7.函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A． B．π C．2π D．4π参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用降幂法化简函数y，即可求出它的最小正周期．【解答】解：∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2?=2+cos2x，∴函数y的最小正周期为T==π．故选：B．8.在区间内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A设这两个数为x，y，则，表示边长为1是正方形；若这两个实数的和大于，则，表示的可行域如图，阴影部分的面积为，所以这两个实数的和大于的概率为。9.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D10.（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】：复数代数形式的混合运算．【分析】：化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．解：复数=故选C．【点评】：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小值为

.参考答案：312.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n的取值范围为．参考答案：[2，+∞）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）13.函数的对称轴的集合为

参考答案：由，得，即对称轴的集合为。14.不等式对任意恒成立,则实数的最大值为

参考答案：215.向量=（3，4）与向量=（1，0）的夹角大小为．参考答案：arccos【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标结合数量积求夹角公式得答案．【解答】解：∵向量=（3，4）与向量=（1，0），∴cos＜＞=．∴＜＞=arccos．故答案为：arccos．16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足，且，则Sn最大时n的值是

．参考答案：9设等差数列的公差为，由，可得，即，得到，所以，由可知，故当时，最大．17.已知，则参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱锥的体积.参考答案：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解析：解法一：（Ⅰ）∵∴，又∵∴（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为∴在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小为（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形∴解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离∵，∴19.设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;（3）若，求证：∥.参考答案：20.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，，∠AFE=60o，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=2，点G为AC的中点．（Ⅰ）求证：EG//平面ABF；（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积；参考答案：21.（本小题满分12分）为了解某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为，最后一组数据的频数是6．（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率，并求出样本容量；（Ⅱ）从样本中成绩在65～95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65～80分之间的概率．参考答案：（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率为，

2分又设样本容量为，则，解得，．

4分（Ⅱ）样本中成绩在65～80分之间的学生有=2人，记为；成绩在80～95分之间的学生=4人，记为，

5分从上述6人中任选2人的所有可能情形有：

，共15种，

8分至少有1人在65～80分之间的可能情形有共9种，

11分因此，所求的概率．

12分22.对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（I）若，且具有性质，求的值；（II）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.参考答案：（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.

……2分

所以x=2b，从而x=4.

……4分（2）[解法一]猜测，i=1,2,…,n.

``

记，k=2,3,…,n.

先证明：若具有性质P，则也具有性质P.

任取，、?.当、中出现-1时，显然有满足；

当且时，、≥1.

因为具有性质P，所以有，、?，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设?且?，则.由，得，与?矛盾.所以?.从而也具有性质P.

……6分现用数学归纳法证明：，i=1,2,…,n.当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，有性质P，则，i=1,2,…,k；

当n=k+1时，若有性质P，则

也有性质P，所以.

取，并设满足，即.由此可得s=-1或t=-1.

若，则不可能；

所以，，又，所以.

综上所述，，i=1,2,…,n.

……10分

[解法二]设，，则等价于.

记，则数集