现代控制理论习题解答(前五章)

求图示网络的状态空间表达式，选取求图示网络的状态空间表达式，选取u和i为状态变量。R212iCii22i22io题))iLoc设状态变量而..i.2.整理得i而Lc.iLLc整理得ia度ω,电动机轴上阻尼系数为，转动惯量，试列写状态方程和输出方程。RauaLaia题ffDJML负L图a.电动机力矩平衡方程为MD.L由电磁力矩和反电势的关系，有DMa式中c为电动机反电势系数，eMM整理得a|「-Ra|a M-c]||1a J」]L]LL]L」注：解是非唯一的试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。K1K21K3s1s1K51ccfs+eg]000K]000K T201 __K1T1x61T1x6K2T2x41T2x4KK414x5K5T51T551-—x511K -x)K1-000|K-110--K4010K T500K301-__T200000K-2T21 __T500000K --cfy2xx21a3bgdxxxxxyf4422图-图-x)|=|1-a0d00-e-dg0]|注：此题解并非唯一的已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间()传递函数为：|0|u()传递函数为：|0|u()传递函数为：|0|u()传递函数为：||||1已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。111xx366xxxxy2ux232x1x15y563xxx12yxxx2223 ||=443 133y- x42xxxxxxx422结构图如图题110-312xxxxxxxx3y321y323333将下列状态方程化成对角标准型。-2110-7|系统矩阵A为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵P为「1-1L0-5」L-0.25」特征方程为λI-AλI-A=-1λ70-2ii「-1「-2「-3|-3PPP-1-17-1-27-1-37P]「P]「P]-1「P]「P]-1PP||||-2「P]「2]λλ-||-||将下列状态方程化成约旦标准型。L1-L1-2」L1」--2]2|10||-11λI-1-1-12iiP]P22」-1=||λ-4-12当λ1||20120]220120]21000]00|.-1-5L-31P2P1 1]λλλλ|||123111-1=-2000]00]01-310|「-20|求变换后的状态空间表达式。0]00(()试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。00-3~~0L0|-P-1AP)-1P-1B-1(sI-A)P]-1P-1B=CPP-1(s22所以变换前后系统的特征值是不变的。已知两个子系统的传递函数矩阵分别为已知两个子系统的传递函数矩阵分别为,试求两子系统串联后和并联后的传递函数,试求两子系统串联后和并联后的传递函数s+2101110|]1|||||110s+2102|s1L|s1L1s+31]1]0」|1| 211+]1]0」11,求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。根据差分方程，在零初始条件下，方程两边变换，得到系统的脉冲传递函数为110-511u(k)x(k)+|0|uz-1x(k)3xz-2z-1x(k)12y35W(z)=C(zI-G)-1H已知系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。已知系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。111u(k)|001第二章状态空间表达式的解试求下列矩阵对应的状态转移矩阵Q。100]0]-5|0λ0001λ001Φ(t)=L-1-0.5e-2t]e-2t-0.5e-2t]e-2t-1-1]s4-1L-4Φ(t)=L-1[(sI-A)-1L-42020t」t0「s||21-2s22-t-t-t||e-t-te-t」得将阵化成约当标准型的变换阵为|-1=||-2L1|ttt0122tAt0122t|L--Φ(t)=|--L--为结构四重根的约旦标准型。||||-2ttte2t-tet-et]1-t2t101-t1-t2t101-t31-t2t1t00At]]t1001-t22t10-t-t361-t22t虽然特征值相同，但对应着两个约当块。At10At10eA2t」1λt0λt00]0t=2||0或Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]=L0000]-1]00-1]00-1001011-1-1L2已知系统的状态方程和初始条件已知系统的状态方程和初始条件0110]0()用化标准型法求状态转移矩阵；()用化有限项法求状态转移矩阵；()求齐次状态方程的解。01]001t00-10λ-230|000|00|0|010]0]001-100]00|0]00|0211||」再根据(λI-A)P=0，且保证21P2「1-10110]|tttAt0t0t0t即]|-1t]t]|-||||-|||2tt||t]试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵。0-cost0.5(1-e-2t)]||e-2t||-2e-t+2e-2t]||「2e-t-e-2tLe-t-e-2t0]0]000:Φ(0)=:Φ(0)=-coste-2t0]e-2t-2e-2t」e-2t]「2e-t-e-2t|Le-t-e-2t-t+2e-2t-2e-t+2e-2t] |0]L]L-t)+…|..已知线性时变系统为=-t-tx，试求系统的状态转移矩阵。tt-2t1tτ+…-t)+…求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。(|e-t-e-2t]|e-t-e-2t]「2e-t-e-2tL-2e-t+2e-2t|=||-2t]|x(t)=Φ-2t]||00;而当;而当x(0)=||时，状态方程的解为x(t)=||「e-2t]「e-t],试求：系统的状态转移矩阵Φ(t)；系统的系数矩阵。212121-t2121-t21-2t，-t，2121已知线性时变系统为x=|,试求系统状态方程的解。已知线性时变系统为x=|,试求系统状态方程的解。对任意时间和对任意时间和有A(t)=|t1所以有11||L+1-t221-t36]|」||L1-t221-t36]」「x(t)=|L1216]」|1-t-t|2L2…1-t36]…)|判断下列系统的状态能控性。判断下列系统的状态能控性。00]「1]110-40]||00|L0「-30L0001λ0000λ01-30|]]cc…]||c11λcABA2Bc11λ11λ||1|1判断下列系统的输出能控性。判断下列系统的输出能控性。|=|0|01011-30「-301-30「-30|03-03-1…0-11…|0]]系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵满秩，且输出维数小于状态维数，所以状态能控则输出必然能控。判断下列系统的能观性。判断下列系统的能观性。(;()〈|x=|0010|-4044|]00状态空间表达式为约旦标准型，且阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观|||44|||444]0因为，状态x1和x2]x能控，所以至少有]]12(2ly2Σ2ΣΣ:UcooΣ两个子系统既能控又能观。2ly22()以系统在前系统在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，0]x「b1]u|30]x「b1]u|3001-41cc||oL-7-1()并联后的系统数学模型为：y2--4]c221-4-2001-40-21-25||oo-3的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。()试确定()在上述()在上述当a=时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；(1(110-27在上述的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。已知系统的状态空间表达式为已知系统的状态空间表达式为(〈试问能否选择常数试问能否选择常数a、、使系统具有能控性和能观性。λ]1Uc1在上述行列式中，无论a、、如何取值，都有两行元素线性相关，则U=0，cc|0在上述行列式中，无论a、、如何取值，都有两列元素线性相关，则V=0，0所以，无论常数a、、取何值，系统都不能控和不能观。系统的结构如题系统的结构如题图所示，图中a、、、均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时a、、、应满足的条件。cy(t)adx2(t)cc0c」o设系统设系统Σ(A,C)的系数矩阵为--a00「-a1-a01]|0其中其中a1,a2,a3,c1为实数。试问系统Σ(A,C)能观的充要条件是什么？要求用、中的参]]||-a100-a2033]已知系统的状态空间表达式为已知系统的状态空间表达式为(〈欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数λλ2为友矩阵，且特征值互异，所以1λ2λ2显然，当状态x既能控又能观，而状态x既不能控又不能观的条件是：当状态x1既能控又能观，而状态x2((c-l--b122l00||]所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。()以三阶系统为例：c所以该系统既能控又能观。又因为单输入单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。..c所以系统不能控，不存在能控标准型。-方法之一：①求变换阵011ATAT10,试求能控标准型和能观标准型。,试求能控标准型和能观标准型。1传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。x(k)+1Tu(k)是否一定能控。x(k)+1Tu(k)，离散系统完全能控的条件为M矩阵满秩。c而M,所以系统是否能控，取决||于采样周期的取值使能控判别阵满秩。c||1Mcc试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。|021-4cc00|-1=cc|①按能控性进行结构分解c-103-0所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵T。c-10300]1按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：-340「]|-340「]|c]|②按能观性进行结构分解-90P-P-1。0||P-1=002-1-1按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：|c|c00|T-1=cc|00-3-3|14-10]0]0]0]①按能控性进行结构分解0]|c-1000所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵T。c-10000]1按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：c]|②按能观性进行结构分解-102-1P-P-1。0-1-100||P-1=00按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：||试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。|||||20]30000001131017,-0.5100010|||0||00-300可以看出系统不能控也不能观，需按能控性和能观性进行结构分解。为能控能观的状态变量x为能控不能观的状态变量x；4x为不能控4能观的状态变量x；x为不能控不能观的状态变量x-|00「]「-20||「]「-20或写成cc|-1124系统既能控又能观，无需分解。()系统为能控能观的对角标准型；()系统为能控不能观的；()系统为能观不能控；()系统为不能控也不能观的。传递函数无零极点对消，则原系统既能控又能观。|0|022系统既不能控又不能观的状态空间表达式为：(「-10-300]「1],对系统进行结构分解。试回答以下问题：,对系统进行结构分解。试回答以下问题：-1000]0]..不能控但能观的状态变量以x1，x2，x3的线性组合表示；试求这个系统的传递函数。33将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为：]为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态3不能控。|-||-|所以不能控但能观的状态变量 「02「x]「x]线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传]]-2s已知系统的传递函数矩阵为G(s)=|(()求系统的能控标准型实现，画出系统的状态图；()求系统的能观标准型实现，画出系统的状态图；()用传递函数并联分解法，求系统对角标准型的实现，画出系统状态图。10101|10|0|66x316y26xxxx2-60--60-110-600-60||||||||]B10-aI0-aII-aI|1666x163x66xx5y2xxxx22—U(s)——|1||33-X2(s)U(s)「y]「2|1-10「x]0]|1|「0]xx2x223y2xx2由式式和×()式式得：ly22111212111222c00-10c-3--3-2|0-10系统完全能控能观，所以上述系统为最小实现。从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，说明下图题从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，说明下图题3-3-23图中闭环系统Σy(t)Σy(t)00D(s),则开环系统能控且能观的条件是无零极点对消，即M(s)和D(s)无公因子。而闭环系统的传递函数为G(s)=M(s)。①开环系统传递函数则闭环系统传递函数G(s)性与能观性和开环系统∑的能控性与能观性是一致0统传递函数G(s)=M(s)也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统∑的能控第四章控制系统的稳定性试确定下列二次型是否正定。试确定下列二次型是否正定。22||111141111431|311|311310133|330xx-2-11114试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。|1T1b1-2a11-11b1-2-1-c1|1||试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。设两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。221则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。设12P负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。设12TP负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。试确定下列系统平衡状态的稳定性。试确定下列系统平衡状态的稳定性。||30x(k)方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。f(z)=zI-A=z-13-10z-0z0特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。设Δv(k)=xT(k)(GTPG-P)x(k)||||||||8686|778|0|0|0定时k值范围。设离散系统状态方程为k]方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。Δv(k)=xT(k)(GTPG-P)x(k)令]L0_____]L0_____-4-k20,试求这个系统的李亚普诺夫函数，|||1|kPPP所以]01]01-PPP|0-10 ]「]1>0设系统的状态方程为设系统的状态方程为然后再求从封闭曲线然后再求从封闭曲线v(x)=100边界上的一点到封闭曲线v(x)=0.05内一点的响应时间上令]「P 常|| ||| | 1则 ()采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：-x2-x13x2-x232TsI-A-3x22-3x22系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。()采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：T 系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a、b的取值范围（其中二者均大22设2=-x1-ax2-bx23?xT「?f|「?f| ?f] ?f ?f2s1-1s+a1L-1-a」结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是a大于b任意（同时还需满足题目要2=-a1x1-a2x12x2求平衡点lx2e2222e| | 令 v(x)=fT(x)f(x)系统在x=0处渐近稳定的条件是(x)负定。而(x)负定的条件为：eaa1试用变量梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。试用变量梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。2求平衡点2设lx2e(x)=(▽V)Tx2+2a12xx22-a22x2222 |0 TT若选满足旋度方程条件(x)=-x(1-2x1x2)-x2200设非线性系统方程为设非线性系统方程为式中f试求系统原点试求系统原点x=0稳定的充分条件。e Tx=0| -设(x)=TF+--1+2 22] || 22试用阿依捷尔曼法分析下列非线性系统在原点试用阿依捷尔曼法分析下列非线性系统在原点x=0处的稳定性。结构如题ee1c当输入为零时，非线性系统方程可以写成在x=0处将非，线性环节输入e lx22-F-F(e)2lx2=-x2-x1取二次型函数作为系统的李氏函数，则有取IQI1-k]2☆下列是描述两种生物个数的瓦尔特拉方程1lx2()确定系统的平衡点。()在平衡点附近线性化，并讨论平衡点的稳定性。lx2lx2=-a,由第一法，系统不稳定。或(d或(dlnx2|x-x1 其轨迹图如图题22x2a-βxxδlx2elx2e-☆试求下列非线性微分方程的平衡点，然后对各平衡点进行线性化，并判断平衡点是否稳定。的平衡点，然后对各平衡点进行线性化，并判断平衡点是否稳定。l2求平衡点 线性化方程对于平衡点lx2=-x1对于平衡点 lx2el22☆非线性系统状态方程为-x12求平衡点线性化方程为22lx2elx22=-ax-☆非线性系统状态方程为试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。2-x3x2设P☆☆(|(|1|-11+||11-1，1-x2111)2)2喻m所以在原点大范围渐近稳定。试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数。试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数。2 lx2(t)x2设y(t)y(t)满足旋度方程条件(x)=a2(t)x22。而v(x)=喻m第五章状态反馈和状态观测器试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在-3土5j上。11121u(t)方法一：根据系统结构直接设状态变量如题图所示，写状态空间表达式：c系统能控，可以设计状态反馈阵。2—2求状态反馈矩阵：1已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为=试设计一个状态反馈矩阵，使闭环系依据系统传递函数写出能控标准型==|0|u2,若有可能，分别求出状态反馈阵，并画出,试问是否可以通过状态反馈，将传递函数变为和系统传递函数无零极点对消，所以系统既能控又能观。可以通过状态反馈进行极点的任意配置。另有状态反馈不改变系统的零点。由闭环传递函数得希望极点为。-2-5s-6受控对象状态空间表达式的能控标准型：结构图如图题5x132562x2x2xxxr()由闭传递函数得希望极点为。-s-33342256x23xxxxxr2已知系统状态空间表达式为=|1性，若不完全能控，用结构分解将系统分解为能控和不能控的子系统，并讨论用状态反性，若不完全能控，用结构分解将系统分解为能控和不能控的子系统，并讨论用状态反馈是否可以使闭环系统稳定。ccc||00|00取0]0]0100]0]010|cc-1因为不能控分量对应的特征值为，因此对系统的稳定性无影响，所以可以通过状），,设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点配,设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点配置在和处，并说明所得的闭环系统是否能观。被控对象状态空间表达式的能控标准型：c|0|u系统闭环传递函数出现零极点对消现象，又有原受控对象本身能控，且状态反馈不改变系统的能控性，所以该闭环系统不能观。|「-100]100-3c0111系统不能控取||0011cc-110||-310 不能控子空间的特征值为。()对能控子空间进行极点配置，极点位置在cc2-1f*(A