最详细的立方和公式

最详细的立方和公式下面是我整理的下面是我给大家整理的最详细的立方和公式，希望对大家有所帮助。

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2）

折叠立方差公式

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2）

折叠3项立方和公式

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

推导过程：

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3）-（3abc+3a^2b+3ab^2）

=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2）-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

文字表达

折叠立方和，差公式

两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）

折叠3项立方和公式

三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

公式证明

⒈迭代法：

我们知道：

0次方和的求和公式ΣN^0=N即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵

（N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n).

于是⑴+⑵+⑶+……+(n）有

左边=(N+1）^4-1

右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式代入

4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N=(N+1）^4-1

得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4(N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4(N^4+2N^3+N^2）

即

1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4[N(N+1）]^2

1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4[N(N+1）]^2

2.因式分解思想证明如下：

a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b

=a^2(a+b)-b(a^2-b^2）=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2）

公式延伸

正整数范围中1^3+2^3+……n^3=[n(n+1）/2]^2=（1+2+……+n)^2

几何验证

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

x^3+y^3

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

（x+y)^3

要得到x^3+y^3，可使用（x+y)^3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

·x×y×（x+y)

·x×（x+y）×y

·（x+y）×x×y

把三个部分加在一起，便得：

=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)

=3xy(x+y)

之后，把（x+y)^3减去它，便得：=(x+y)^3-3xy(x+y）公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

=(x+y)[(x+y)^2-3xy]

（x+y)^2可透过和平方公式，得到：

=(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)

=(x+y)(x^2−xy+y^2）

这样便可证明：x^3+y^3=(x+y)(x^2−xy+y^2）

关于因数

一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3，……，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3，……，mk,k+2，则

1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2）^3

=（1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2

我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。

合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。

比如120，有因数

1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6