冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形课件

第二十六章解直角三角形26.1锐角三角函数（1）

如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC长度的问题)学习新知直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值1.如图，在Rt△ABC中和Rt△中，=

与具有怎样的关系?=90°.当=时，(三角形相似)引导思考:(1)如何证明线段成比例?(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')(3)由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗?（Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

∴2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B‘C’⊥AF,垂足分别为C,C‘.与具有怎样的关系?在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA==.大家谈谈(tanA是一个比值,没有单位)(1)∠A的正切tanA表示的是tan与A的乘积还是一个整体?(tanA表示的是一个整体)(2)当∠A的大小变化时,tanA是否变化?(tanA随着∠A的大小变化而变化)(3)tanA有单位吗?(4)∠B的正切怎么表示?tanA与tanB之间有怎样的关系?(tanB=,tanA·tanB=1.)(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和邻边)(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)例1在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB的值.(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tanA的值.解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴∠B=60°,且

.∴==.∴tanA=tan30°=,tanB=tan60°=.(2)在Rt△ABC中,∵∠A=45°,∴a=b.∴tanA=tan45°=.这样,就得到tan30°=,tan45°=1,tan60°=.5.tan2A表示(tanA)2,而不能写成tanA2.[知识拓展]

1.正切是一个比值,没有单位.2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.tanA是一个整体符号,不能写成tan·A.4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC.1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tanA等于 (

)A.B.C.D.解析:根据锐角正切的定义可得tanA==,故选B.

B检测反馈2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值(

)A.不变 B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍 D.不能确定解析：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切值也不变．故选A．A3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=12,则AC等于

.

解析:根据正切定义可得tanA===，所以AC=9.故填9.94.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若tanA=,BC=9,求AB的长;(2)若tanB=,AC=16,求AB的长.解：（1）∵tanA==，又BC=9,∴AC=12,由勾股定理可得AB==15.

∴AB的长为15.(2)∵tanB==,AC=16,∴BC=12.

由勾股定理可得AB==20.∴AB的长为20.(2)∵tanB==,AC=16,∴BC=12.

由勾股定理可得AB==20.∴AB的长为20.第二十六章解直角三角形26.1锐角三角函数（2）观察两个不同大小的三角板，当角是30°、45°、60°时，它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律？谈谈你的看法.问题思考学习新知大家谈谈如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠B的正弦与余弦分别是哪两边的比值?（∠B的正弦是

,∠B的余弦是.）(2)由a<c,b<c,说一说sinA和cosA的值与“1”的关系.(sinA<1,cosA<1,sin2A+cos2A=1)探究：直角三角形中,锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比是定值如图所示,在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中,∠C1=∠C2=90°.【思考】(1)Rt△AB1C1与Rt△AB2C2之间有什么关系?(Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2)（2）与、与之间各有什么关系？===.(3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则与、与之间有什么关系？

=；（4）根据以上思考，你得到什么结论？

（直角三角形中，∠A的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定不变的）（5）如果改变∠A的大小，上边的比值是否变化？归纳你的结论.

2.在直角三角形中，当锐角确定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比也是确定的.1.在直角三角形中，当锐角确定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是确定的.在Rt△ABC中,∠C=90°.锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA.即sinA=.

正弦和余弦

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=.(3)sinα,cosα和tanα是不是α的函数?【思考】(1)当锐角α的大小变化时,sinα,cosα,tanα是否变化?(2)对于锐角α的每一个确定的值,sinα,cosα和tanα是否有唯一的值和它对应?归纳:我们把锐角α正弦、余弦和正切统称为α的三角函数.为方便起见,今后将(sinα)2,(cosα)2,(tanα)2分别记作sin2αcos2α,tan2α.特殊角的三角函数值α30°45°60°sin

αcos

αtan

α1【思考】

观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?(3)0<sinA<1,0<cosA<1.结论(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°,由此可知sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α).(教材107页例2)求下列各式的值:(1)2sin30°+3tan30°-tan45°;(2)(sin45°)2+tan60°sin60°.解:(1)2sin30°+3tan30°-tan45°=.(2)(sin45°)2+tan60°sin60°=.(教材107页例3)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12.求sinA,cosA,tanA的值.【思考】(1)根据各三角函数的定义,要求sinA,cosA的值,必须求出哪个边的值?(2)怎样求出AB的值?解：∵.∴，，.4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.[知识拓展]

1.正弦和余弦都是一个比值,没有单位.2.正弦值和余弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.sinA,cosA是一个整体符号,不能写成sin·A,cos·A.因此，sinA=cosB，cosA=sinB，

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，由于sinA=,cosA=,sinB=,cosB=tanA=,tanB=,=1.6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2,∵sinA=,cosA=,tanA=，∴sin2A+cos2A=1,tanA=.1.三角形在正方形方格纸巾中的位置如图所示,则sinα的值是(

)解析:观察网格图可得,在直角三角形中,α的对边为3,邻边为4,根据勾股定理可得斜边为5,所以根据正弦的定义可得sinα=.故选C.C检测反馈2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则下列各式正确的是(

)A.sinA=D.以上都不对B.cosA=C.tanA=解析:由勾股定理可得BC==5，

∴sinA==，cosA==，tanA==，故选B.B3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=20,则BC=

.

解析：∵AB=20，sinA=，∴sinA=，∴BC=×20=12.故填12.12解析:∵sinA=,cosB=,∴∠A=30°,∠B=45°,又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=105°,∴△ABC为钝角三角形.故填钝角.4.在△ABC中，sinA=，cosB=，则△ABC的形状为

三角形.钝角5.在△ABC中,∠C=90°,cosA=,AB=12,求△ABC的面积.解:∵cosA==,AB=12,∴AC=4.由勾股定理可得BC=∴S△ABC=AC·BC=×4×4=24.6.计算:(1);(2)tan30°-sin60°·sin30°.解:(1)=2×-×=1-1=0.(2)tan30°-sin60°·sin30°=-=-=.第二十六章解直角三角形26.2锐角三角函数的计算DABE1.6m20m42°C引例

升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？这里的tan42°是多少呢？

前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？

这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.按键顺序显示结果sin18°1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的键：sincostan（2）按键顺序◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：sin18sin180.309016994∴sin18°=0.309016994≈0.31=按键顺序显示结果tan30°36′1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：方法一：tan3036tan30°36′0.591398351方法二：先转化，30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法.◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解.（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.60808089∴AB=19.60808089≈19.61m即旗杆的高度是19.61m.

已知三角函数值求角度，要用到sin，cos，tan的第二功能键“sin－１

cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：按键的顺序显示结果SHIFT20917.301507834sin·7=如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，°′″即∠α＝17o18’5.43”例1求下列各三角函数值:(结果保留两位小数)（1）sin36°（2）tan50°26′37〞解：（1）在计算器开机状态下，按键顺序为2ndFcos-10.5237=显示结果为58.41923095即≈58.41923095°若将其化为度、分、秒表示，可继续按键：2ndF←→DEG显示结果为58□25□9.23即≈58°25′9〞注：显示屏上显示结果58□25□9.23，实际上表示的就是58°25′9.23〞.（2）在计算器开机状态下，按键顺序为2ndFtan-11.6480=显示结果为58.75078643即≈58.75078643°再继续按键：2ndF←→DEG显示结果为58□45□2.83即≈58°45′3〞.例2如图26-2-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4.（1）求sinA的值.（2）求∠B的度数.（结果精确到1〞）解：（1）在Rt△ABC中，sinA=

=0.8(2)∵sinA=0.8∴由计算器求得∠A≈53°7′48〞∴∠B=90°-∠A≈90°-53°7′48〞=36°52′12〞练习：

1、根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；（3）tanβ=1.4036.按键盘顺序如下:按键的顺序显示结果26°48’51”0.sin115=4SHIFT°′″即∠β

＝26048’51”2、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数.(精确到1′)【答案】∠A≈72°52′练习:3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）（1）sina=0.2476；（2）cosa=0.4；（3）tana=0.1890.【答案】(1)α≈14°20′;(3)α≈10°42′.(2)α≈65°20′;4．用计算器求下列锐角三角函数值；sin20°=0.34202014332567；

cos70°=

0.57357643635105

；sin35°=

0.57357643635105

；cos55°=

0.57357643635105；正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）计算器可用来：（1）由锐角求三角函数值（2）由三角函数值求锐角小结第二十六章解直角三角形26.3解直角三角形根据以上条件,你能求出塔身中心线与垂直中心线的夹角吗？如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.ABC5.254.5探讨比萨斜塔倾斜角的问题一个直角三角形有几个元素？(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:sinA=accosA=tanA=ＡＣＢabc有三条边和三个角，其中有一个角为直角bcab锐角三角函数它们之间有何关系？知识回顾30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

锐角a三角函数30°45°60°sinacos

atana对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）对于cosα，角度越大，函数值越小.复习在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素?知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?思考与探索在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形.解直角三角形的依据ＡＣＢabc(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:tanA=absinA=accosA=bc新知识例1如图26-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=34°，AC=6.解这个直角三角形.（结果精确到0.001）例题分析解：∠B=90°-∠A=90°-34°=56°∵∴BC=AC·tanA=AC·tan34°≈6×0.6475=4.047∵∴例题分析例2如图26-3-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.解这个直角三角形.（度数精确到1〞）解：∵∴∠A≈28°4′20〞∴∠B=90°-∠A≈90°-28°4′20〞=61°55′40〞∵AB2=AC2+BC2=152+82=289∴AB=17在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=

,解这个直角三角形.CAB？跟踪练习解：由勾股定理得：在Rt△ABC中，AB=2AC所以，∠B=30°，

∠A=60°.跟踪练习方法一：跟踪练习方法二：1.在下列直角三角形中不能求解的是（）A.已知一直角边一锐角

B.已知一斜边一锐角C.已知两边

D.已知两角2.Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．D8基础练习3.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别为∠A

、∠B、∠C的对边.根据已知条件，解直角三角形.(1)c=8，∠A=60°；(4)a=1，∠B=30°.(2)b=

，c=4；(3)a=

，b=6；如图，在△ABC中,∠A=30°,tanB=

,AC=2,求AB.ACB应用ACBDCABDABCE求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解.提示DBACDABCDABCDE解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函数关系式解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程归纳小结第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的应用（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°边角之间的关系（锐角三角函数）tanA＝absinA＝ac1、在Rt△ABC中，∠C＝90°cosA＝bcＡＣＢabc解直角三角形的依据2、30°，45°，60°的三角函数值30°45°60°sinαcosαtanα1┌┌4504503006003、基本概念（1）仰角和俯角:（2）方向角:30°45°BOA东西北南水平线铅垂线仰角俯角视线视线问题:小球沿与水平方向成300角的斜坡B处向下运动,运动100cm后到达A处停止,请问(1)∠ABC=____,(2)BC=______,(3)AC=________.60050cm50√3cmABC100cm3001、观察图中小球的一段运动过程,

思考下列问题:问题情境变形:如果水平方向与斜坡的夹角为α，AB=100cm,那么:（用含α的三角函数表示）

(1)∠ABC=________,(2)BC=________,(3)AC=__________.AC100cmαB90°-α100sinα100cosα2、学校操场上有一根旗杆，上面有一根升旗用的绳子（绳子足够长），小明同学拿了一把卷尺(测量长度)，并且向数学老师借了一把含30°的三角板（测量角度）去度量旗杆的高度。（1）若小明同学将旗杆上绳子拉成仰角为600，如图用卷尺量得BC=4米，则旗杆AB的高多少？AB4m600C解：过点A作AD⊥BC于D,3、如图，海岛A四周18海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行20海里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？∵∠ACD＝60°∠ABC=30°，∴∠CABD=30°∴AC=BC=20在Rt△ACD中，∵AD<18，∴有触礁的危险。ABDCNN130˚60˚20海里4、青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃。一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为45°。已知AC=20m，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后才能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）解：设BD=xm,在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴CD=BD=x,在Rt△ACB中，AC=40。∵∠ABD=60°，∴AD=tan60°BD=√3x即√3x=x+20，解得x=10√3+10∴t=4√3+4≈5(s)答：5秒后灰太郎才能抓到懒羊羊。1、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB。DABC45°60°x提高练习ABC2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：变式：沿着坡角为30°的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB。30°DEF先做辅助线!有两个直角三角形小结：问题1：本节课你有什么疑问？问题2：本节课你有哪些收获？问题3：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构建直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的应用（2）在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)知识回顾45°30°200米POBD45°30°PA200米CBO45°30°4506