函数的极值与导数

函数的极值与导数第1页，课件共24页，创作于2023年2月aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.一、知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.第2页，课件共24页，创作于2023年2月2.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数

f/（x）

;③解不等式f/（x）>0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）<0得f(x)的单调递减区间.第3页，课件共24页，创作于2023年2月关注用导数本质及其几何意义解决问题

3.思考：观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函数h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？第4页，课件共24页，创作于2023年2月二、新课讲解——函数的极值:

1.

观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。x2y0第5页，课件共24页，创作于2023年2月oaX1X2X3X4baxy如图，函数y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？Y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？2.探索思考：第6页，课件共24页，创作于2023年2月从而我们得出结论:若x0满足f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.第7页，课件共24页，创作于2023年2月oaX00bxyoaX0bxy如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即

同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0的右侧附近只能是增函数,即.第8页，课件共24页，创作于2023年2月三、例题选讲:例1:求y=x3/3-4x+4的极值.解:令,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y

↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.第9页，课件共24页，创作于2023年2月四.探索思考:

导数值为0的点一定是函数的极值点吗?

可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.

因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.第10页，课件共24页，创作于2023年2月

一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧f/(x)>0右侧f/(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧f/(x)<0右侧f/(x)>0,那么f(x0)是极小值.解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:第11页，课件共24页，创作于2023年2月x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)

↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2:求函数的极值.解:函数的定义域为令,解得x1=-a,x2=a(a>0).当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:第12页，课件共24页，创作于2023年2月练习1:求函数的极值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y

↘极大值-3↗极小值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.第13页，课件共24页，创作于2023年2月例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件.解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.由于当x<0时,当x>0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.(2)等价于当时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0对一切恒成立.由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切恒成立.所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.第14页，课件共24页，创作于2023年2月例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意,应有根,故5a=3b,于是:(1)设a>0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗由表可得,即.第15页，课件共24页，创作于2023年2月又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a<0,列表如下:x-1(-1,1)1-0

≥00-f(x)↘极小值↗极大值↘由表可得,即.又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.第16页，课件共24页，创作于2023年2月练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.当a=4,b=-11时,-3/11<x<1时,;x>1时,,此时x=1是极值点.从而所求的解为a=4,b=-11.第17页，课件共24页，创作于2023年2月第二课时第18页，课件共24页，创作于2023年2月一、复习:1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0

附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:第19页，课件共24页，创作于2023年2月(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.第20页，课件共24页，创作于2023年2月(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利用导数判断函数极值的基本方法.第21页，课件共24页，创作于2023年2月例1:已知函数f(x)满足条件:①当x>2时,;②当x<2时,;③.求证:函数y=f(x2)在处有极小值.证:设g(x)=f(x2),则故当时,x2>2,由条件①可知,即:当时,x2<2,由条件②可知,即:又当时,所以当时,函数y=f(x2)取得极小值.为什么要加上这一步?第22页，课件共24页，创作于2023年2月例3:已知:(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.解:(1)令,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a2>0,故有不相等的两实根α、β,