N8-4偏导数与全微分课件

第4节一、偏导数的定义及其计算二、高阶偏导数

偏导数与全微分第八章*四、全微分在数值计算中的应用三、全微分一、偏导数的定义及其计算1.偏增量与全增量在点的某邻域内有定义，设函数当改变量保持不变.在点称为函数关于x的偏增量.在点称为函数关于y的偏增量.在点称为函数的全增量.上页下页返回结束在点存在,的偏导数某邻域内有定义，则称此极限为若极限设函数注意:记为2.偏导数的定义上页下页返回结束同样定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,简称为偏导数

,记为或y

偏导数存在,上页下页返回结束例如：偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的求多元函数对一个自变量的偏导数时，只需要将其他变量看成常数，用一元函数求导法即可.注意：上页下页返回结束例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数上页下页返回结束例3.

设证:求证例2（P329-例2）求解:的偏导数上页下页返回结束即x＝y＝0时,例4.

设二元函数解:上页下页返回结束函数在某点各偏导数都存在,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例5.

讨论二元函数在(0,0）是否可导与连续。解:上页下页返回结束3.二元函数偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线的斜率.在点M0处的切线是曲线的斜率.上页下页返回结束二、高阶偏导数一般说来，函数z=f(x,y)的偏导数仍为x,y的函数.若它们关于x,y的偏导数也存在，则称这些偏导数为共有四个二阶偏导数.函数f(x,y)的二阶偏导数,上页下页返回结束类似可以定义更高阶的偏导数.z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为f(x,y)关于x的n

阶偏导数定义：例如：则定理.点连续，(证明略)上页下页返回结束例6.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及上页下页返回结束例7.二者不等上页下页返回结束应用1.一元函数

y=f(x)的微分回顾近似计算估计误差2.偏微分偏增量:f(x,y)关于

x偏微分f(x,y)关于

y偏微分三、全微分

上页下页返回结束用S表示边长分别为x与y的矩形的面积，问面积改变多少?分析：(1)关于△x,△y

的线性函数(主部)则有3.全微分引例x与y分别取得改变量设面积的增量为(2)比

的更高阶的无穷小量.如果边长上页下页返回结束如果函数z=f(x,y)在定义域D上点(x,y)处全增量可表示成其中A,B与x,

y无关,仅与x,y有关，若函数在域D

内每点都可微,更高阶无穷小量,则称函数

f(x,y)在点(x,y)可微.则称函数在D

内可微.称为函数在点(x,y)的全微分.记作4.二元函数全微分的定义上页下页返回结束(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微二元函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数z=f(x,y)在该点连续偏导数存在函数可微上页下页返回结束定理1.若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点同样可证证:

由全增量公式必存在,得到对x

的偏增量因此有

偏导数5.可微的必要条件（P332--TH8.1）且有即上页下页返回结束例8.函数由例5可知，在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.即：偏导数存在函数不一定可微!是否可导可微.解

:上页下页返回结束定理2.证明：设函数点的某一邻域内有连续的6.可微的充分条件（P333--TH8.2）偏导数则函数点可微.(证明略)上页下页返回结束所以函数在点可微.注意到故有整理可得上页下页返回结束推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是上页下页返回结束例9（P333-例6）计算函数的全微分，并计算解:例10.计算函数的全微分.解:

函数在(2,1)点的全微分值.上页下页返回结束*四、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义当较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)上页下页返回结束解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例11（类似P334-例8）一圆柱体受压后发生形变,半径由20cm增大到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,求此圆柱体体积的近似改变量.上页下页返回结束例12.计算的近似值.解:设则取则上页下页返回结束分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计（不讲）利用则z的绝对误差界约为z的相对误差界约为上页下页返回结束例13.

利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以S的相对误差约为计算三角形面积.现测得上页下页返回结束内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续导数值与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)上页下页返回结束3.微分定义4.重要关系函数可导函数可微偏导数连续函数连续二元函数上页下页返回结束5.微分应用•近似计算•估计误差绝对误差相对误差上页下页返回结束备例1.

证明函数满足拉普拉斯证：由对称性方程上页下页返回结束解:

利用故f

在(0,0)连续;得在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.备例2.证明:上页下页返回结束而所以f

在点(0,0)不可微!上页下页返回结束在点(0,0)可微.在点(0,0)连续且偏导数存在,不连续,证明:1)故函数在点(0,0)连续