初中数学第四章《几何图形初步》总培训教程

PAGEPAGE66初中数学第四章《几何图形初步》培训教程第1课时：几何图形、几何体知识点精讲在我们的学习和生活中，可以见到各种各样的平面图形和立体图形。其中，比较常见的平面图形有：三角形、四边形、圆形、扇形，其中的四边形又包括正方形、长方形、平行四边形、梯形。比较常见的立体图形有：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体。这些图形都属于几何图形。问(1)：什么是几何图形？几何图形包括哪几种类型？答：几何图形就是点、线、面、体等各种图形的统称。答：几何图形包括平面图形和立体图形两中类型。平面图形就是组成图形的各部分都在同一平面内的图形。立体图形就是组成图形的各个面不都在同一平面内的图形。中学数学对图形的认识继续深化。在认识平面图形的基础上，中学数学强化了对立体图形的认识。问(2)：什么是立体图形？立体图形的展开图都是平面图形吗？答：立体图形就是组成图形的各个面不都在同一平面内的图形。立体图形从正面、侧面、上面各个方向看，都可以看到组成图形的各个平面。答：立体图形剪开之后，得到的图形叫做立体图形的展开图。有些立体图形的表面剪开之后，可以完全展开为平面图形。有些立体图形的表面剪开之后，展开图不一定都是平面，还有曲面。比如：球体表面剪开之后，依然是曲面，不能展开为平面图形。组成立体图形的各个面，包括平面或曲面，若是封闭的，就围成了一个几何体。问(3)：什么是几何体？如何判断一个立体图形是否是几何体？答：由平面或曲面围成的封闭的立体图形称之为几何体，简称体。答：看这个立体图形是否封闭，只有封闭的立体图形才是几何体。若不封闭，则不是几何体。【例】以下图形中能围成几何体的是哪个图形？并说明理由。ABCD解：几何体就是由平面或曲面围成的封闭的立体图形。观察图示，即可判断。A图中的两圆一大一小，不能封闭，不是几何体。B图折叠后有一个面不能封闭，不是几何体。C图中的两圆只有一大一小，才能封闭。大小相同，不能封闭，不是几何体。D图折叠后能封闭，是几何体。所以，只有D图能围成几何体。典型题型精编解析选择题：1.下列图形，属于平面图形的是（），属于立体图形的是（），属于几何体的是（）A.B.C.D.【答案】A、C；B、D；D【解析】平面图形就是组成图形的各部分都在同一个平面内。故属于平面图形的是A、C。立体图形就是组成图形的各部分不都在同一个平面内。立体图形可以是封闭的，也可以是不封闭的。故属于立体图形的是B、D。封闭的立体图形叫做几何体。故属于几何体的是D。2.如图放置的是一个由九个相同的长方体组成的立体图形，长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm，在立体图形上能看到的平面图形的面积是（）cmA.88B.100C.92D.108【答案】B【解析】分正面和后面、左侧面和右侧面和上面分别计算能看到的平面图形。因为图中是九个相同的长方体，所以每个方位看到的平面图形都是形状大小相同的长方形，面积都相等。正面和后面能看到12个面积相等的长方形，面积之和=3·1·12=36。左侧面和右侧面能看到8个面积相等的长方形，面积之和=2·1·8=16。上面能看到8个面积相等的长方形，面积之和=3·2·8=48。总面积=36＋16＋48=100。故选B。3.已知一个立体图形的展开图，3个面是形状相同的长方形，2个面是形状相同的正方形，要使它能够围成一个几何体，需要添加的形状可能是（）A.正方形B.长方形C.正方形或长方形D.不能确定【答案】C【解析】封闭的立体图形叫做几何体。由展开图可知，已知立体图形不能封闭。要使展开图能够围成一个几何体，这个立体图形必须是一个封闭的立体图形。如图，添加一个长方形，已知立体图形即可封闭。若2个正方形能够组成1个长方形，则可以添加2个正方形，也可封闭。故选C。4.下列平面图形经折叠不能围成正方体的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】B项中的平面图形折叠后有两个面重叠，不能围成封闭的正方体。其他各项中的平面图形经折叠，都能围成封闭的正方体。故选C。填空题：1.一个由多个相同的小长方体组成的立体图形，从正面和上面看，其平面图形如图所示。问：(1)组成这个立体图形的小长方体最少有______个。(2)若每个小长方体的长都为m，宽和高相等，都为n，则这个立体图形的最小体积为_______。正面上面【答案】13；13mn【解析】(1)从正面看到的是一个面上小长方体的个数，左边3个，中间4个，右边2个。从上面看到的是组成这个立体图形的结构，左边两组、中间三组、右边两组。相同的小长方体的个数最少，组成的立体图形的体积也最小。左边两组中，至少有一组3个，另一个组1个，共4个；中间三组中，至少有一组4个，另两组各1个，共6个；右边两组中，至少有一组2个，另一个组1个，共3个。所以，组成这个立体图形的小长方体的个数最少有4＋6＋3=13个。注意：统计个数的题目，能分组统计的，最好分组统计。(2)相同的小长方体的体积都相等。所以，这个立体图形的最小体积=13·每个小长方体的体积=13·(长·宽·高)=13·m·n·n=13mn。2.如图，把边长都为a的正方体摆成如图所示的形状。问：(1)这个几何体共有______个正方体；(2)能看到的几何体的表面积是________。【答案】10；30【解析】(1)计算个数时，可以把图中的几何体分成左、中、右三层，也可以分成上、中、下三层。①分成左、中、右三层时：如图，左层从高到低，正方体的个数分别为3、2、1，共6个。中层从高到低，正方体的个数分别为2、1，共3个。右层只有1个正方体。三个层面的正方体个数相加为10，即这个几何体共有10个正方体。②分成上、中、下三层时：如图，上层有1个，中层有3个，下层有6个。共10个。(2)从正面和后面、左侧面和右侧面、上面分别统计能看到的正方体的面，这些面的面积之和就是能看到的几何体的表面积。从正面和后面看，各有6个面，共12个面；从左侧面和右侧面看，各有6个面，共12个面；从上面看，共有6个面。每个面都是边长为a的正方形，面积为a。所以，能看到的这个几何体的表面积=(12＋12＋6)·a=30a。注意：统计个数的题目，能分组统计的，最好分组统计。3.图中是一个由两个相同的长方形组成的立体图形，展开后是一个______形，在里面减一个最大的三角形，有____种减法，减去后剩余的图形面积是_______。【答案】正方形，6种，50【解析】如图所示，展开后的平面图是一个长宽均为10的正方形。沿正方形两条对角线减有两种减法；沿正方形每条边的两端点和对边中点的连线减，四条边有四种减法。减去后剩余的图形面积=S正方形－S最大三角形=100－·10·10=50。4.设图中四面体的顶点数、面数、边长数的和为U，同理，设八面体的和为V，十二面体的和为W，U、V、W存在数量关系，用等式表示为______________。以此类推，4n(n是正整数)面体的顶点数、面数、边长数之和S等于________。【答案】V=，S=14＋(n－1)12【解析】如图，四面体、八面体、十二面体的顶点数、面数、边长数分别为4、4、6，6、8、12，8、12、18，则U=14，V=26，W=38。由此得出：26=，即V=。发现变化规律：14=14＋(1－1)12，26=14＋(2－1)12，38=14＋(3－1)12，…。∴S=14＋(n－1)12。解答题：1.如图，拿一张正方形的纸片（图①），将其沿虚线对折一次得图②，再沿图②中的虚线对折得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角再打开。画出打开后剪去的几何图形，写出作法，并说明理由。图①图②图③画图：图④作法：(1)如图④，用虚线分别连接正方形相对的两个顶点，两虚线交于点O。(2)由已知图示可知，线段AB就是图③中剪去的线段痕迹。如图④，在点A所在的虚线上取点A，使OA=OA。在点B所在的虚线上取点B，使OB=OB。(3)用实线连接四点A、A、B、B，得到的四边形就是打开后剪去的几何图形。理由：如图④，两虚线把正方形分成4个大三角形，又把四边形ABAB分成4个小三角形。由作法可知OA=OAOB=OB。由折叠可知，这4个大三角形沿虚线折叠两两都能互相重合，大小相等。同时，这4个小三角形沿虚线折叠两两也都能互相重合，大小相等。则：四边形ABAB的四条边重合相等。所以，四条边就是剪去的线段痕迹。四边形ABAB就是打开后剪去的几何图形。2.下图是一个底面为正方形的不透明的无盖包装礼盒的展开图。由展开图画出这个包装礼盒的立体图形，再画出其从正面、左面和上面看到的形状，并解析说明。【答案】画图：从正面看从左面看从上面看解析：(1)如图，由展开图可知：礼盒的下底面是一个正方形，无上底面。四个侧面分上下两部分，上、下两个梯形，都是底边重合、大小相同的等腰梯形。上、下两梯形同时和左右两侧梯形的腰一一重合。因为无盖礼盒不是透明的，被遮挡的不可见的边线可不画出，或用虚线画出。由此可以画出无盖礼盒的立体图形。(2)如图，观察无盖礼盒的立体图形。从正面和左面看，都是两个底边重合、大小相同的等腰梯形。从上面看，因为礼盒无盖，可以看到上、下两底面的正方形。近大远小，下底面形状较小。此外，从上面看，能看到礼盒外侧的等腰梯形，以及内侧的等腰梯形。由此画出礼盒从正面、左面和上面看到的形状。本课时培训收获通过本课时的培训，我们能做到：1、知道什么是几何图形。会区分几何图形中的平面图形和立体图形。2、知道什么是立体图形。会判断比较常见的立体图形展开图的形状。3、知道什么是几何体。会判断一个立体图形是否是几何体。4、会判断一个立体图形的展开图能否围成几何体。本课时培训结束。期待同学们在学习中不断进步、提高。第2课时：直线、射线、线段、反向延长线知识点精讲几何图形中有四种线，即：直线、射线、线段和反向延长线。问(1)：在平面内，如何作一条直线？如何确定两条直线相交？图1图2答：依据“直线公理”：两点确定一条直线。如图1，在平面内任取两点A、B，把点A、B用直线连接起来，再把这条线的两端延长，就作出了一条直线AB。答：当两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交。这个公共点叫做这两条直线的交点。如图2，直线AB和CD只有一个公共点O，则这两条直线相交，点O就是直线AB和CD的交点。问(2)：如何区分直线、射线、线段和反向延长线？答：依据定义区分，如图所示：①直线就是没有端点、可以向两边无限延伸、不能测量长度的线。如图，就是直线，没有端点，可以向两端无限延伸。②射线就是有一个端点，可以向另一边无限延伸、不能测量长度的线。如图，、就是射线，有一个端点O，向另一边无限延伸。③线段就是直线上任意两点之间的部分，有两个端点，可以测量长度的线。如图，AB就是线段，有两个端点A、B，可以测量长度。④反向延长线就是从一条射线或线段的端点出发，与从这个端点出发的射线或线段的方向相反，且和这条射线或线段在同一条直线上的射线或线段。任意一条射线或线段都有反向延长线，直线没有反向延长线。如图，射线OA从线段OB的端点O出发，与从点O出发的线段OB的方向相反，且和OB在同一条直线上且。此时，射线OA就是线段OB的反向延长线。【例1】直线上点的个数和及其对应的线段条数如下表所示。由表中的数据分析：当直线上增至9个点时，直线上有多少条线段？直线上点的个数23456直线上线段的条数1361015解：分析表中的数据，可以发现以下规律：如表所示：直线上点的个数增至n个时，直线上线段的条数则对应增加n－1条。∴当直线上增至7个点时，直线上线段的条数则对应增加6条，线段的条数=15＋6=21条。当直线上增至8个点时，直线上线段的条数则对应增加7条，线段的条数=21＋7=28条。当直线上增至9个点时，直线上线段的条数则对应增加8条，线段的条数=28＋8=36条。线段的长度就是线段两个端点之间的距离。线段之间，可以通过测量比较长短也可以不用测量比较长短。问(3)：不用测量线段的长度，如何比较两条线段的长短？图1图2图3答：如图，已知线段AB和。把AB移到上，使端点A、重合。①如图1，若端点B、也重合，则这两条线段两个端点之间的距离相等，所以两条线段的长度相等，即：AB=；②如图2，若端点B落在之内，则端点A、B之间的距离小于端点、之间的距离，所以线段AB的长小于线段的长，即：AB＜；③如图3，若端点B落在之外，则端点A、B之间的距离大于端点、之间的距离，所以线段AB的长大于线段的长，即：AB＞。由以上比较两条线段长短的方法可知：不用测量线段的长度，通过平移重叠的方式就可以比较两条线段的长短。问(4)：运用这种方法，如何表示两条线段之和、两条线段之差？答：如图，已知线段AB和。①将这两条线段AB、移到同一条直线上，使端点B、重合，线段AB、不重叠。由此得到的线段A的长度就是两条线段之和，即：AB＋=A。②若这两条线段长度不相等，AB＜，使端点A、重合，线段AB、重叠。因为线段AB比短，所以端点B落在之内。由此得到线段B就是两条线段之差，即：－AB=B。若这两条线段长度相等，AB=，则端点A、和B、都重合，所以两条线段重合，没有剩余部分，两条线段之差为0，即：AB－=0。在一条线段的两个端点之间取一点，把这条线段分成两条相等的线段，就得到了这条线段的中点。问(5)：什么是线段的中点？什么是线段的三分点、四分点？由此类推，从中可以发现什么规律？图1：AOB图2：ACDB图3：AEFGB答：将一条线段分成相等的两条线段的点叫做这条线段的中点，又称之为“二分点”。线段有一个“二分点”。如图1，AO=OB，点O就是线段AB的中点，即线段AB的“二分点”。答：由此类推：如图2，将一条线段AB分成相等的三条线段的点C、D叫做这条线段的“三分点”。线段有两个“三分点”。如图3，将一条线段AB分成相等的四条线段的点E、F、G叫做这条线段的“四分点”。线段有三个“四分点”。由此可知：把一条线段分成相等的n条线段的点叫做线段的“n分点”。线段的“n分点”有n－1个。【例2】已知一条线段上有12分点，线段长度是39厘米。求：从这条线段上从左起第一个端点出发的所有线段的长共有多少厘米？解：如图，12分点把线段分成了相等的13条线段，每条线段长=39÷13=3厘米。从这条线段上左起第一个端点出发，和其他13个点中的每一点都能形成一条线段，共13条线段。长度从小到大依为：3,6,9,12,15,18，21，24，27,30,33,36,39。∴所有线段的长=273厘米。【例3】已知两根木条，一根长60cm，一根长100cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，求此时两根木条中点之间的距离。解：这两根木条可以看作两条线段。设线段AB=60cm，=100cm。可以有两种放法： 第一种是线段AB和的端点B、重合，两线段不重叠，放在同一条直线上。如图，分别取线段AB和的中点C和D,两中点之间的距离CD=CB＋D。∵中点将线段分成相等的两条线段。∴CB=AB=30cm，D==50cm。∴CD=CB＋D=30＋50=80cm。第二种是线段AB和的端点A、重合，两线段重叠，放在同一条直线上。如图，分别取线段AB和的中点C和D，两中点之间的距离CD=D－AC。∵中点将线段分成相等的两条线段。∴AC=AB=30cm，D==50cm。∴CD=D－AC=50－30=20cm。两点之间的所有连线中，不仅有线段，而且有折线和曲线。问(6)：两点之间的所有连线中，哪一种连线最短？答：“两点之间的所有连线中，线段最短。”这一结论通常称之为“线段公理”。公理是经过长期反复的实践检验，已经证明是正确的事实，不需要再证明。【例4】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，D是斜边AB上的一定点，P是直角边AC边上的一动点。如何在直角边AC边上作一点P，使点P到点B、D的距离最短？写出作法，并说明理由。图1图2作法：①如图2，过点D作⊥AC，垂足为点E；②延长DE至点，使DE=E；③连接点B、，交AC于点P。点P就是AC边上到点B、D的距离最短的点。理由：如图2，△DEP和△EP的对应边DE=E，EP=EP，对应角∠DEP=∠EP=Rt∠,所以△DEP△EP沿公共边EP折叠能互相重合，则对应边PD和P重合，PD=P。所以，点P到点B、D的距离PB+PD等于两点之间的线段长B。依据线段公理“两点之间的所有连线中，线段最短”，则点P就是AC边上到点B、D的距离最短的点。典型题型精编解析选择题：1.以下判断错误的是（）A.若两条直线有一个交点，则这两条直线必然相交B.任意两点都能确定一条直线C.线段就是有两个端点、可以测量长度的直线D.只有射线和线段能反向延长，直线不能反向延长【答案】C【解析】A项是两条直线相交的定义。故A项正确。B项是“直线公理”。故B项正确。反向延长线是从同一个端点出发的、方向相反、且在同一条直线上的两条射线或线段。射线和线段有端点，可以反向延长。直线没有端点，不能反向延长，只能向两边无限延长。故D项正确。线段是直线上两点之间的部分，和直线有区别，不能把线段看作直线，故C项错误。选C。2.下列结论正确的一组是()OAB①直线AB与直线BA是同一条直线②射线OA、OB和AB是同一条射线③线段AB与线段BA是同一条线段④线段AO是线段BA的反向延长线⑤射线AO是射线AB的反向延长线A.②④B.①③⑤C.①⑤D.①③④【答案】B【解析】同一条直线可以用直线上的任意两点表示。点A、B在同一条直线上。所以，直线AB与直线BA表示的是同一条直线。故①正确。端点相同、方向相同、且在同一条直线上的的射线才是同一条射线。射线OA、OB的端点都是O，方向都向右，且在同一条直线上。所以射线OA、OB是同一条射线。射线AB的端点是A，和OA、OB不是同一个端点，和OA、OB不是同一条射线。故②错误。同一条线段可以用线段上的任意两端点表示。点A、B是同一条线段的两端点。所以，线段AB与线段BA表示的是同一条线段。故③正确。反向延长线就是和已知一条射线或线段的端点相同，向这条射线或线段的相反方向延伸，且与这条射线或线段在同一条直线上的射线。线段BA表示的方向是由右向左，和线段AO表示的方向相同，不是相反，且出发的端点也不同，所以，线段AO不是线段BA的反向延长线。故④错误。射线AO和射线AB符合反向延长线的定义。故⑤正确。故①③⑤正确。选B。3.如图，线段AB=CD，BD=BE，则线段AC和DE的大小关系是()ACBDEA.AC＞DEB.AC＜DEC.AC=DED.不能确定【答案】C【解析】如图，AC=AB－CB，BD=CD－CB。已知AB=CD，代换得：BD=AB－CB。所以，AC=BD。由已知BD=BE可知：点D是DE的中点，则BD=DE。代换得：AC=DE。故选C。4.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的三等分点。若AB=8，则线段CD的长等于（）ACDBA.2B.C.D.2【答案】D【解析】已知：点C是线段AB的中点。则：CB=AB。已知AB=8，则：CB=·8=4。由已知“点D是线段CB三等分点”可得：DB=CB。则CD=CB－DB=CB－CB=CB=·4==2。故选D。填空题：1.如图，直线上依次有5个点A、B、C、D、E，则图中线段有_____条，射线有_____条，线段DE的反向延长线有_____条。ABCDE【答案】10；10；1【解析】(1)线段是直线上任意两点之间的部分。如图，已知直线上依次有5个点A、B、C、D、E，其中任意两点之间的部分就是线段。以点A为端点，从左向右数，有AB、AC、AD、AE四条线段；以点B为端点，从左向右数，有BC、BD、BE三条线段；以点C为端点，从左向右数，有CD、CE两条线段；以点D为端点，从左向右数，有CE一条线段。共10条。注意：不要把重复的同一条线段计算在内。比如，线段AB和线段BA是重复的同一条线段。(2)如图，分别以点A、B、C、D、E五个点为端点，向左、向右延伸。从每个端点出发，各有左、右两条射线，五个端点共有10条不同的射线。注意：端点相同、方向相同、且在同一条直线上的射线是同一条射线。不要把重复的同一条射线计算在内。(3)反向延长线是一条射线，它与原射线或线段从同一个端点出发、方向相反、且在同一条直线上。如图，直线上线段DE表示的方向是从端点D出发，由点E方向延伸，其反向延长线就是从同一个端点D出发，向与线段DE相反方向延伸，且与线段DE在同一条直线上的射线。如图，这样的射线有DC、DB、DA，三条射线端点相同、方向相同、且在同一条直线上，其实是同一条射线，故线段DE的反向延长线有1条。2.如图，点M、C是线段AB上的点，点M是线段AB的中点，点C是线段MB的三等分点，若AC=12，则CB=______。AMCB【答案】【解析】由已知可得：AM=MB，且CB=MB，即MB=3CB，又AC=AM＋MC=12。如图，MB=MC＋CB，已知MB=3CB，代换得：3CB=MC＋CB，整理得：MC=2CB。已知AM=MB=MC＋CB，且MC=2CB，代换得：AM=2CB＋CB=3CB。已知AM＋MC=12，代换得：3CB＋2CB=12。解得：CB=。解此题的关键在于由已知数据和条件得出等式，进行等量代换。注意做到步骤清晰，不要乱。3.如图，若点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的二等分点，且点E是在线段AB的延长线上，BE=CB，则线段DB、CE的大小关系是___________。ADCBE【答案】相等【解析】由已知可得：AC=AB，DC=AC。如图，DB=DC＋CB，且DC=AC，代换得：DB=AC＋CB。如图，AB=AC＋CB，且AC=AB，即AB=3AC。代换得：3AC=AC＋CB，化简得：AC=CB，代入DB=AC＋CB得：DB=·CB＋CB=CB。。如图，CE=CB＋BE，且已知BE=CB，代换得：CE=CB＋CB=CB。所以，DB=CE=CB。解此题的关键在于由已知数据和条件得出等式，进行等量代换。注意做到步骤清晰，不要乱。4.已知“三角形的任意两边之和大于第三边”，这一定理成立的依据是___________________。【答案】线段公理。【解析】“两点之间的所有连线中，线段最短。”这就是线段公理。公理就是人类经过长期反复实践检验得出的不证自明的基本事实，不需要证明。把三角形的第三边看作是连接两点的线段，另两边看作是连接两点的两条折线。依据线段公理，另两边两条折线的长一定大于第三边线段的长。即：三角形的任意两边之和大于第三边。解答题：1.两条直线相交，最多有一个交点。三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？五条直线相交，最多有几个交点？依次类推，n条直线相交，最多有几个交点？解：两条直线相交，最多有1个交点。三条直线相交，最多有3个交点，对应增加2个交点。四条直线相交，最多有6个交点，对应增加3个交点。五条直线相交，最多有10个交点，对应增加4个交点。依次类推，从中发现规律：n条直线相交，对应增加n－1个交点。从1个交点算起，把增加的交点个数依次相加，得数就是n条直线相交最多的交点个数。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)个。设：W=1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n。①把①式从右向左相加写成：W=n＋(n－1)＋(n－2)＋……＋4＋3＋2＋1。②∵两等式左右两边同时相加，所得依然相等。∴①＋②得：2W=(n＋1)＋(n＋1)＋……＋(n＋1)。∵两等式右边一一对应相加，是n个n＋1相加，即：n(n＋1)。∴2W=n(n＋1)，则W=。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n=。∴1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)=－n=。即：n条直线相交，最多有个交点，n是正整数，n≥2。【注】解此题的关键在于探索发现规律，一定要注意发现规律。2.一条直线最多把一个平面分成两块，两条直线最多把一个平面分成四块，三条直线、四条直线呢？依次类推，n条直线最多把一个平面分成多少块？解：一条直线最多把一个平面分成两块。两条直线相交，最多把一个平面分成4块，对应增加2块。三条直线相交，最多把一个平面分成7块，对应增加3块。四条直线相交，最多把一个平面分成11块，对应增加4块。依次类推，从中发现规律：n条直线相交，对应增加n块。从两块平面算起，把增加的平面个数依次相加，得数就是成n条直线相交最多把一个平面分成的块数。即：2＋2＋3＋4＋……＋n块。2＋2＋3＋4＋……＋n=1＋1＋2＋3＋4＋……＋(n－1)＋n。由上题已知：1＋2＋3＋4＋……＋(n－1)＋n=。代换得：2＋2＋3＋4＋……＋n=1＋=。即：n条直线相交，最多把一个平面分成块，n是正整数。【注】解此题的关键在于探索发现规律，一定要注意发现规律。本课时培训收获通过本课时的培训，我们能做到：1、掌握直线公理“两点确定一条直线”，能够在平面内熟练作出一条直线。2、知道“两条直线相交，只有一个交点”，能够判定两条直线否相交。3、知道什么是直线、射线、线段和反向延长线，能够区分直线、射线和线段，知道如何作出一条直线、射线、线段和反向延长线。4、掌握“不用测量线段的长度，比较任意两条线段长度大小”的方法。5、掌握“不用测量线段的长度，表示任意两条线段之和、之差”的方法。6、掌握线段“二分点、三分点、四分点……n分点”的定义，发现其中的规律，并能运用规律解决问题。7、掌握线段公理“两点之间的所有连线中，线段最短”，会熟练运用线段公理解决问题。本课时培训结束。期待同学们在学习中不断进步、提高。第3课时：角、角度制知识点精讲第一节：角在小学数学中，我们已学过锐角、直角、钝角、平角和周角。中学数学对角的认识在小学基础上继续深化。问(1)：什么是角？始边始边终边答：如图，角就是由两条有公共端点的射线组成的图形。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。如图，角还可以看作是由一条射线绕着它的端点O旋转形成的图形。所以，角还可以定义为：角就是由一条射线绕着它的端点O旋转形成的图形。射线的端点O叫做角的顶点，旋转开始位置的射线叫做角的始边，旋转终止位置的射线叫做角的终边。问(2)：怎样表示一个角？答：角有三种表示方法：①可以用表示角两边上的点和顶点的大写字母表示，如图∠AOB；②在角的内部用圆弧把顶点围起来，在旁边标注数字，用数字表示，如图∠1；③单独的一个角可以用表示顶点的大写字母表示，如图∠O。【注】和其他角具有同一顶点的角不能只用表示顶点的大写字母表示。否则，不能把角区分开。如图∠AOB、∠AOC和∠BOC，不能用∠O表示。问(3)：角是如何分类的？答：角按从小到大的顺序依次可以划分为：零度角、劣角(包括锐角、直角、钝角)、平角、优角、周角。①零度角就是一条射线绕它的端点O没有发生任何旋转的角，当始边OB和终边OA重合，在同一条直线上，即“0”角。②劣角就是0～180之间的角，包括锐角、直角和钝角。其中，锐角就是0～90之间的角，直角就是90的角，钝角就是90～180之间的角。③平角就是180的角。即：一条射线绕它的端点O旋转，当始边OB和终边OA在同一条直线上，方向相反时，所形成的角叫平角。如图1。④优角就是180～360之间的角。⑤周角就是360的角。即：一条射线绕它的端点O旋转，当始边OB和终边OA重合，在同一条直线上，方向相同时，所形成的角叫周角。如图2。图1：图2：AOBOB(A)注1：由零度角、平角和周角的定义可知：零度角、平角、周角和其他任何角一样，都有顶点、始边和终边。不能把零度角、平角和周角看作是一条直线。注2：初中数学所学的角都是逆时针旋转形成的角，即：正角。高中数学还要学顺时针旋转形成的角，即：负角。此处作为了解。注3：角的度数随旋转的周数可以无限大，也可以无限小。比如：逆时针旋转一周的角是360的角，旋转两周的720的角，……，依次类推，可以无限大。顺时针旋转一周的角是－360的角，旋转两周的－720的角，……，依次类推，可以无限小。第二节：角度制为测量角的大小，特别规定了测量角的大小的制度——角度制。问(1)：什么是角度制？答：以度、分、秒为测量单位，用“度”、“度、分”、“度、分、秒”的形式表示角的大小的制度，叫做角度制。问(2)：什么是角的测量单位？答：度、分、秒是角的测量单位，度、分、秒之间可以互相转化。①把一个360周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1。即：=。②把一度的角平均分成60等份，每一份就是1分的角，记作。即：=。由此可以把度化成分。反之，，由此可以把分化成度。比如：30==，反之，=（1800×）=30③把一分的角平均分成60等份，每一份就是1秒的角，记作。即：=。由此可以把分化成秒。反之，=，由此可以把秒化成分。比如：==，反之，==。问(3)：怎样表示一个角的角度？答：角度有三种表示形式：①“度”的形式：由“度数位”一个数位组成。比如：15、45、75。②“度、分”的形式：由“度数位、分数位”两个数位组成。比如：7、21、63。③“度、分、秒”的形式：由“度数位、分数位、秒数位”三个数位组成。比如：14、28、56。问(4)：角度的进位和退位依据什么法则？答：角度的进位和退位法则：①“满60进1”其一：进位的顺序依次是秒数位→分数位→度数位。先由“秒数位”向“分数位”进位，再由“分数位”向“度数位”进位，顺序不能变，否则会出错。其二：“秒数位”向“分数位”进位：依据“满60进1”法则，秒数位上每满一个减去一个，分数位上相应加；满两个减去两个，分数位上相应加；……，依此类推。进位后剩余的秒数不满60则不进1，留在秒数位上，剩余的秒数为0则可以省略秒数位。比如：75=75，59=59=59。其三：“分数位”向“度数位”进位：依据“满60进1”法则，分数位上每满一个减去一个，度数位上相应加；满两个减去两个，分数位上相应加2；……，依此类推。进位后剩余的分数不满60则不进1，留在分数位上。剩余的分数为0则可以省略分数位。比如：30=30=31，45===。②“退1加60”其一：退位的顺序依次是度数位→分数位→秒数位。先由“度数位”向“分数位”退位，再由“分数位”向“秒数位”退位，顺序不能变，否则会出错。其二：“度数位”向“分数位”退位：依据“退1加60”法则，度数位上每减，即向分数位上退，则分数位上相应加；每减2，即向分数位上退2，则分数位上相应加；……，依此类推。退位后剩余的度数不为0则留在度数位上，剩余的度数为0可以省略度数位。比如：13=12，1==。其三：“分数位”向“秒数位”退位：依据“退1加60”法则，分数位上每减，即向秒数位上退，则秒数位上相应加；每减，即向秒数位上退，则秒数位上相应加。……，依此类推。退位后剩余的分数不为0则留在分数位上，剩余的分数为0则可以省略分数位。比如：=，==。问(5)：角度的三种表示形式“度”“度、分”“度、分、秒”之间如何互相转化？答：①“度”向“度、分”和“度、分、秒”的转化：其一：把“度”转化为“度、分”的形式。在度数位按“退1加60”的法则退位，度数位上每减，即向分数位上退，则分数位上相应加。由此，把“度”化成“度、分”的形式。比如：把15转化为“度、分”的形式，表示为：15=14。其二：把“度”转化为“度、分、秒”的形式。先把“度”化成“度、分”的形式。在分数位上按“退1加60”的法则退位，分数位上每减，向秒数位上退，则秒数位上相应加。由此，把“度”化成“度、分、秒”的形式。比如：把15转化为“度、分、秒”的形式，表示为：15=14=14。②“度、分”向“度”和“度、分、秒”的转化：其一：把“度、分”转化为“度”的形式。依据角度制，把分数位上的“分”化成“度”，再和度数位上“度数”相加。由此，省略分数位，把“度、分”化成“度”的形式。比如：把7化成“度”的的形式。解：由得：=（8×）=()≈0.13。则：7≈7＋0.13≈7.13。其二：把“度、分”转化为“度、分、秒”的形式。在分数位上按“退1加60”的法则退位，分数位上每减，向秒数位上退，则秒数位上相应加。由此，把“度、分”化成“度、分、秒”的形式。比如：把7化成“度、分、秒”的的形式。把7的分数位按“退1加60”的法则退位得：7=7。③“度、分、秒”向“度、分”和“度”的转化：其一：把“度、分、秒”转化为“度、分”的形式。依据角度制=，把秒数位上的“秒”化成“分”，再和分数位上“分数”相加。由此，省略秒数位，把“度、分、秒”化成“度、分”的形式。比如：把14化成“度、分”的形式。解：由=得：==。则：14=14＋=14。其二：把“度、分、秒”转化为“度”的形式先把“度、分、秒”化成“度、分”的形式，依据角度制，把分数位上的“分”化成“度”，再和度数位上“度数”相加。由此，省略分数位，把“度、分、秒”化成“度”的形式。比如：把14化成“度”的形式。解：由=得：==。则：14=14＋=14。又由得：=（32.75×）≈0.5。则：14=14≈14＋0.5≈14.5。第三节：角的比较与运算问(1)：用“度”“度、分”“度、分、秒”这三种形式表示的角如何比较大小？答：①同一表示形式的角比较大小：对应的“度数位”较大的角，度数也较大。比如：45＞15。对应的“度数位”相等，对应的“分数位”较大的角，度数也较大。比如：21＞21。对应的“度数位”“分数位”相等,对应的“秒数位”较大的角,度数也较大。比如：28＞28。对应的“度数位”“分数位”或“秒数位”都相等，则这两个角相等。注：按“度、分、秒”的排列顺序依次比较大小。顺序不能变，否则会出错。“度数位”相等时，比较“分数位”。“度数位”“分数位”相等时，比较“秒数位”。②不同表示形式的角比较大小，先转化为同一表示形式的角，再按以上规则比较大小。比如：比较7.05和7大小。解：先把7.05和7转化为同一表示形式。∵1=∴7.05=7＋0.05=7＋=7＋=77和7对应的“度数位”相等，其中7对应的“分数位”较大，则度数也较大。∴7＜7即：7.05＜7。问(2)：用“度”“度、分”“度、分、秒”这三种形式表示的角怎样相加或相减？答：用这三种形式表示的角，依据以下规则相加或相减：①把对应的度数位、分数位和秒数位上的角度数分别相加。相加时，对应的度数位、分数位和秒数位出现空缺时，用“0”代替补齐。按秒数位→分数位→度数位的顺序进位，秒数位上每满向分数位上进，分数位上每满向度数位上进，不满则不进位。比如：7＋3=10=11，14＋=14=14。②把对应的度数位、分数位和秒数位上的角度数分别相减。对应的度数位、分数位和秒数位出现空缺时，用“0”代替补齐。相减时，要用大角减小角。对应的度数位相减，出现小角减大角时，则两角不能相减。对应的分数位相减，出现小角减大角时，度数位上减，向分数位上退，不够减的，继续退位，直到对应的数位上能用大角减小角。同理，对应的秒数位相减，出现小角减大角时，分数位上减，向秒数位上退，不够减的，继续退位，直到对应的数位上能用大角减小角。比如：45－3030－29=45－30=29－29=44－30=29－29=43－30=0=13=【注】求一个角度数的几倍或几分之几，先把这个角的度数由“度、分”或“度、分、秒”的形式化成“度”的形式，再相乘或相除，不能直接与“度、分”或“度、分、秒”相乘或相除。除不开时，可四舍五入取约数，若题目无特别要求，通常精确到小数点后一位数。比如：求30的3倍和29的。30×329÷6=(30＋＋)×3=(29＋＋)÷6=[30＋＋]×3=[29＋()＋()]÷6≈[30＋1.25＋0.51]×3≈[29＋0.62＋0.48]÷6≈31.76×3≈30.1÷6≈95.28≈5.02【例1】已知：∠A=34，∠B=34.25，∠C=34。按从小到大的顺序比较这三个角的大小。解：先把度化成度、分的形式比较：∠B=34.25=34＋0.25=34＋0.25×=34。此时，34＜34，即∠B＜∠A。再把度、分化成度、分、秒的形式比较：∠A=34=34＋＋=34＋＋＋×=34。此时，34＜34。即∠A＜∠C。∴∠B＜∠A＜∠C。通过测量角的度数可以比较角的大小。不用测量角的度数，也可以比较角的大小。问(3)：不用测量角的度数，如何比较两个角的大小？答：把其中的一个角移到另一个角上，使两个角的顶点和始边重合。①若这两个角的终边也重合，则这两个角相等；②若其中一个角的终边落在另一个角之内，则这个角小于另一个角；③若其中一个角的终边落在另一个角之外，则这个角大于另一个角。如图，把∠1和∠2的顶点和始边重合。因为∠2的终边落在∠1之内，所以∠2＜∠1。因为∠1的终边落在∠2之外，所以∠1＞∠2。若∠1和∠2的终边也重合，则∠1=∠2。通过把两个角的顶点和始边重合的方法，不用测量角的度数，就可以比较两个的大小。问(4)：依据上述方法，不用测量角的度数，如何表示两个角之和、两个角之差？∠1＋∠1＋∠2∠3－∠4图1图2答：①表示两个角之和的方法：使两个角的顶点重合，再使其中一个角的始边与另一个角的终边重合，由此形成的角就是两个角之和。如图1，使∠1和∠2的顶点重合，再使∠1始边与∠2的终边重合，由此形成的角就是两个角之和∠1＋∠2。②表示两个角之差的方法：使两个角的顶点和始边重合。若两个角不相等，则其中一个较大角的终边与另一个较小角的终边形成的角就是两个角之差；若两个角相等，则两个角的始边与终边完全重合，两个角之差为零度。如图2，使∠3和∠4的顶点和始边重合，若∠4＜∠3，则∠4的终边落在∠3之内，所以∠3的终边和∠4的终边形成的角就是两个角之差∠3－∠4；若∠3=∠4，使∠3和∠4的顶点和始边重合，则∠3和∠4的终边也重合，∠3－∠4=0。角是由两条有公共端点的射线组成的图形。若过这两条射线的公共顶端再作一条射线，把角分成相等的两个角，就得到了角的平分线。问(5)：什么是角的平分线？由此类推，什么是角的三等分线、四等分线？从中可以发现什么规律？图1图2图3答：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的一条射线叫做这个角的平分线，又称之为角的“二等分线”。角的“二等分线”有一条。如图1，是从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成相等的两个角，就是这个角的平分线。答：由此类推：如图2：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的三个角的两条射线、叫做这个角的“三等分线”。角的“三等分线”有两条。如图3：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的四个角的三条射线、、叫做这个角的“四等分线”。角的“四等分线”有三条。由此类推可知：从一个角的顶点出发，把角分成相等的n个角的射线叫做这个角的“n等分线”。角的“n等分线”有n－1条。【例2】如图，∠AOC=Rt∠，从点O出发的射线OM、ON分别平分∠AOD和∠COD。求∠MON的度数。解：如图，设∠MON=∠1＋∠2。已知∠AOC=Rt∠，则∠1=90－∠AOM。由已知角平分线得：∠AOM=∠MOD∴∠1=90－∠MOD。由已知角平分线得：∠COD=2∠2。如图，∠MOD=∠1＋2∠2。代换得：∠1=90－(∠1＋2∠2)。整理得：∠1＋∠2=45。即：∠MON=45。注：解关于角的题型时，用数字和字母结合的方式表示角，会使解题思路更加清晰明了。典型题型精编解析选择题：1.下列关于角的判断错误的一组是（）①角都是经过旋转形成的②一条射线没有绕端点旋转，不能形成角③两条射线只要有公共端点，就能组成角④最小角是零度角，最大角是周角⑤直角是锐角和钝角的分界角A.②③⑤B.③⑤C.①②④D.①③【答案】C【解析】角不全是经过旋转形成的。0度角可以看作是两条有公共端点的重合的射线组成的图形。0度角没有经过旋转，依然是角。故①②错误。③符合角的定义。故③正确。角有度数。这个度数可以无限大，也可以无限小，没有最大角和最小角。故④错误。由锐角和钝角的定义可知：大于0小于90的角是锐角，大于90小于180的角是钝角。所以，直角是锐角和钝角的分界角。故⑤正确。故①②④错误。选C。2.如图，OB是∠AOC的二等分线，OD是∠BOE的三等分线。若∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，则∠DOC的度数为()A.20°B.35°C.40°D.45°【答案】A【解析】注意发现∠DOC和其他角度的等量关系，由此列等式求解。由已知得：∠AOB＝∠COB=∠AOC，∠DOE=∠BOE。且已知：∠AOB＝40°，∠DOE＝30°。则：∠COB＝40°，∠BOE＝30°，解得∠BOE＝90°。如图，∠DOC=∠BOE－(∠DOE＋∠COB)。代换得：∠DOC=90°－(30°＋40°)=90°－70°=20°。故选A。3.下列算式正确的是()①33=32②41≈41.95③50=50④33－21=12⑤33＋50=84⑥33.33=33A.②③⑤B.①③④⑤C.①③⑤D.①③⑤⑥【答案】D【解析】①式“33=32”是把度化成度数位33上减1，相应在分数位上加，即33=32。分数位上减，相应在秒数位上加，即33=32。故算式①正确。②式“41≈41.95”是把度、分、秒化成度的形式。已知=。则：=，所以=33×=。则：41=41＋＋=41＋。已知1=。则：=，所以=56.55×≈0.94。则：41≈41＋0.94≈41.94。算式②取约数时出现错误。故算式②错误。③式“50=50”是把度、分、秒化成度、分的形式。已知=。则：=，所以=36×=。则：50=50＋＋=50＋＋=50。故算式③正确。④式“33－21=12”是两角度相减。可以把缺位上的度数看作0，用0补位，算式④相减时，出现被减数秒数位上的度数小于减数，此时不能对应相减。故算式④错误。正确的运算是：33－21=33－21=33－21=12=12。⑤式“33＋50=84”是两角度相加。可以把缺位上的度数看作0，用0补位。33＋50=83=83=84。故算式⑤正确。⑥式“33.33=33”是把度化成度、分、秒的形式。33.33=33＋0.33=33＋0.33×=33＋=＋=＋×=＋所以，33.33=33＋＋=33。故算式⑥正确。故①③⑤⑥正确。选D。4.如图，若OD是∠COA的三等分线，OB是∠COA的四等分线，则以下关系式成立的是（）A.∠COB＞∠DOAB.∠DOA＋∠COB=∠COAC.∠BOD＜∠DOAD.∠COD－∠COB=∠COA【答案】C【解析】由已知得：∠DOA=∠COA，∠COB=∠COA。(1)在A项“∠COB＞∠DOA”中：∵＜。即：在同一个∠COA里，∠COB所占比例小于∠DOA。∴∠COA＜∠COA，即∠COB＜∠DOA。故A错误。注：通过在同一个角里，所占比例的大小，可以比较两个角的大小。在学习了不等式的性质之后，可运用不等式的性质比较两个角的

大小。(2)在B项“∠DOA＋∠COB=∠COA”中：∠DOA＋∠COB=∠COA＋∠COA=∠COA。且：∠COA=∠COA。∵＞，即在同一个∠COA里，∠DOA所占比例大于∠COB。∴∠COA＞∠COA。即：∠DOA＋∠COB＞∠COA。故B错误。(3)在C项“∠BOD＞∠DOA”中：∠BOD=∠COA－(∠COB＋∠DOA)=∠COA－(∠COA＋∠∠COA)=∠COA。已知：∠DOA=∠COA=∠COA。∵＞，即在同一个∠COA里，∠DOA所占比例大于∠COB。∴∠COA＞∠COA。即：∠BOA＞∠DOA。故C正确。(4)在D项“∠COD－∠COB=∠COA”中：∠COD=∠COA－∠DOA=∠COA－∠COA=∠COA。已知：∠COB=∠COA。则：∠COD－∠COB=∠COA－∠COA=∠COA。且：∠COA=∠COA。∵＜。∴∠COA＜∠COA。即：∠COD－∠COB＜∠COA。故D错误。填空题：1.如图，∠AOB被三条射线OC、OD、OE四等分，其中，∠1=24。根据图形填空：①图中是∠1的2倍的角是________________，是∠2的3倍的角是________________；②图中是∠AOD的的角有________________，是∠AOE的的角有________________；③射线OE是角________的平分线，是角________的三等分线，同时又是角________的四等分线；④∠AOB=_______度，∠3＋∠4=∠_______=____度，∠AOB和∠3＋∠4的数量关系式为_____________。【答案】①∠DOA、∠EOC、∠BOD；∠BOC、∠EOA②∠1、∠2、∠3、∠4；∠BOD、∠EOC、∠DOA③∠BOD；∠BOC；∠BOA④∠O=∠BOA=96；∠3＋∠4=∠BOD=48；∠O=2(∠3＋∠4)【解析】如图，由已知可得：∠1=∠2=∠3=∠4=24。①∠1的2倍=2∠1=2·24=48。如图，∠DOA=∠EOC=∠BOD=2∠1=48。∠2的3倍=3∠2=3·24=72。如图，∠BOC=∠EOA=3∠2=72。②如图，∠DOA=∠1＋∠2=2·24=48。则：∠AOD=·48=24。已知：∠1=∠2=∠3=∠4=24。则：∠1=∠2=∠3=∠4=∠AOD。如图，∠AOE=∠1＋∠2＋∠3=3·24=72。则：∠AOD=·72=48。如图，∠BOD=∠EOC=∠DOA=2·24=48。则：∠BOD=∠EOC=∠DOA=∠AOD。③如图，∠BOD=∠3＋∠4，且∠3=∠4=24，所以射线OE是∠BOD的平分线。如图，∠BOC=∠2＋∠3＋∠4，且∠2=∠3=∠4=24，所以射线OE是∠BOC的三等分线。如图，∠BOA=∠1＋∠2＋∠3＋∠4，且∠1=∠2=∠3=∠4=24，所以射线OE是∠BOA的四等分线。④如图，∠AOB=∠1＋∠2＋∠3＋∠4=4·24=96，∠3＋∠吗4=∠BOD=2·24=48。所以，∠AOB=2(∠3＋∠4)。2.如图1，上午6点45分，时针和分针形成的角是_______度。如图2，再过30分钟，时针和分针形成的角是______度。图1图2【答案】67.5；127.5【解析】表盘一圆周360分12大格60小格，每大格代表1小时，每大格30；每小格代表1分钟，每小格6。每60分钟，时针旋转一大格30，分针旋转60小格360。∴时针每分钟旋转的角度==0.5，分针每分钟旋转的角度==6。图1图2∴如图1，，上午6点45分，∠1=0.5·45=22.5。钟点数6和9之间含3大格，形成的角度=3·30=90。∴∠=90－22.5=67.5。如图2，再过30分钟，即上午7点15分，∠2=0.5·(45＋30)=37.5。钟点数3和6之间含3大格，形成的角度=3·30=90。∴∠=90＋37.5=127.5。3.从小到大比较∠A=16.6，∠B=，∠C=16的大小，结果为____________。【答案】∠A＜∠C＜∠B【解析】把已知∠A、∠B、∠C的度数都化成“度”的统一形式，即可比较大小，化成“度”的统一形式比较大小最简便。已知：∠A=16.6。∠B==()≈16.7，∠C=16=16＋=16＋()=16.65。∴∠A＜∠C＜∠B。4.计算：(1)40+30÷5=___________；(2)15×4－57=___________。(注：除不尽保留小数点后一位数)【答案】(1)46；(2)3【解析】(1)40+30÷5≈40+30.5÷5≈40+6.1≈40+6≈46(2)15×4－57≈15.3×4－57≈61.2－57≈61－57≈60－57≈60－57≈3注：度数相加、相减时，相加时缺位可用“0”补位，相减用“0”时，要使被减数的“度”“分”“秒”大于减数，先退位，再相减，不能直接用“0”补位。比如：把61－57写成61－57，用“0”补位后，对应的“秒”数位和“分”数位出现被减数小于减数，要先退位，再相减。即：61－57=61－57=60－57。度数相乘、相除时，都要先化成“度”，再相乘、相除。解答题：如图，三个长方形叠放在一起，其中，∠2=24，∠3=35。求∠1的度数。解：∵长方形的四个角都是直角。∴如图，∠1＋∠2＋∠4=90，①∠1＋∠3＋∠5=90，②∠1＋∠4＋∠5=90。③①＋②得：2∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180。移项得：∠4＋∠5=180－(∠2＋∠3)－2∠1。已知：∠2=24，∠3=35。代入上式得：∠4＋∠5=180－(24＋35)－2∠1，=180－59－2∠1，=120－2∠1。由③得：∠4＋∠5=90－∠1。代换得：120－2∠1=90－∠1。解得：∠1=120－90=30。2.如图，∠AOB=90，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，要使OA成为∠COD的三等分线，求将∠COD绕顶点O顺时针最小旋转多少度？最大旋转多少度？【答案】图1图2【解题思路】①如图1，∠COD此时的旋转角度最小。转度的角度=∠COC=∠COA－∠AOC。由已知得：∠COA=60，∠AOC=20。∴∠COC=60－20=40。②如图2，∠COD此时的旋转角度最大。转度的角度=∠COC=∠COA－∠AOC。由已知得：∠COA=60，∠AOC=10。∴∠COC=60－10=50。本课时培训收获通过本课时的培训，我们能做到：1、知道什么是角。2、知道角是如何表示和分类的，能够区分各种不同类型的角。3、知道什么是角度制。4、会熟练进行角度的进位、退位和转化。5、已知两个角的度数，会比较两个角度大小，会进行角度的加减运算。6、不用测量角的度数，会比较任意两个角的大小，会表示任意两个角之和或差。7、知道什么是角的平分线、三等分线、四等分线、……n等分线及其规律。本课时培训结束。期待同学们在学习中不断进步、提高。第4课时：互余角、互补角，方向角、方位角知识点精讲第一节：余角和补角若两个角之和等于90直角，就形成了余角。问(1)：什么是余角？余角具有什么性质？答：若两个角之和等于90直角，则这两个角互为余角，其中一个角就是另一个角的余角。即：若∠1＋∠2=90，则∠1和∠2互为余角。答：余角具有以下性质：①互为余角的两个角之和等于90直角。即：若∠1和∠2互为余角，则∠1＋∠2=90。②等角的余角都相等。已知：任意两等角∠1=∠2，∠1的余角为∠A，∠2的余角为∠B。求证：∠A=∠B。证明：∵互为余角的两个角之和等于90直角。∴∠1＋∠A=90，∠2＋∠B=90。∴∠A=90－∠1，∠B=90－∠2。∵∠1=∠2。代换得：∠A=90－∠1，∠B=90－∠1。则：∠A=∠B。即：等角的余角相等。若两个角之和等于180平角，就形成了补角。问(2)：什么是补角？补角具有什么性质？答：若两个角的和等于180平角，则这两个角互为补角，其中一个角就是另一个角的补角。即：若∠1＋∠2=180答：补角具有以下性质：①互为补角的两个角之和等于180平角。即：若∠1和∠2互为补角，则∠1＋∠2=180。②等角的补角相等。已知：任意两等角∠1=∠2，∠1的补角为∠A，∠2的补角为∠B。求证：∠A=∠B。证明：∵互为余角的两个角之和等于180的平角。∴∠1＋∠A=180，∠2＋∠B=180。∴∠A=180－∠1，∠B=180－∠2。∵∠1=∠2。代换得：∠A=180－∠1，∠B=180－∠1。则：∠A=∠B。即：等角的补角相等。【例1】①已知：∠1＋∠2=90，且∠1是锐角。求证：∠2一定是锐角。②已知：∠3＋∠4=180，且∠3是钝角。求证：∠4一定是锐角。分析：运用反证法。①假设∠2不是锐角，由此推出∠1＋∠2≠90。②假设∠4不是锐角，由此推出∠3＋∠4≠180。①②推出的结论与题目中的已知条件相矛盾，由此得出假设不成立，原结论成立。证明①：假设∠2不是锐角。则：∠2是0角，90角，或大于90的角。已知：∠1是一个大于0小于90的锐角。则：∠1＋∠2一定小于或大于90，即∠1＋∠2≠90。这显然与题目中的已知条件“∠1＋∠2=90”所以，假设不成立，原结论成立，锐角∠1的余角∠2一定是锐角。即：锐角的余角一定是锐角。证明②：假设∠4不是锐角。则：∠4是0角，90角，或大于90的角。已知：∠3是大于90小于180的钝角。则：∠3＋∠4一定小于或大于180，即∠3＋∠4≠180。这显然与题目中的已知条件“∠3＋∠4=180”所以，假设不成立，原结论成立，钝角∠3的补角∠4一定是锐角。即：钝角的补角一定是锐角。【注1】同理也可以证明：锐角的补角一定是钝角。已知：∠5＋∠6=180，且∠5是锐角。求证：∠6一定是钝角。证明：假设∠6不是钝角。则：∠6可能是0角，大于0小于90的锐角或90的直角，180的平角或是大于180的角。已知：∠5是大于0小于90的锐角。则：∠5＋∠6一定小于或大于180，即∠5＋∠6≠180。这显然与题目中的已知条件“∠5＋∠6=180”所以，假设不成立，原结论成立。即：锐角的补角一定是钝角。【注2】以上证明中运用了间接证明结论的一种常用方法——反证法。反证法，又称归谬法。其基本步骤是：一、先假设要求证的结论不成立；二、再由假设推理得出与题目中的已知数据和条件，已知的定义、公理或定理相矛盾的结论，即“归谬”；三、最后得出结论：假设不成立，要求证的结论成立。当要证明的题目直接证明比较困难，可尝试运用“反证法”间接证明，注意掌握这一方法。第二节：方向角和方位角当组成一个角的两条射线用于表示方向时，这个角就不仅有角度，而且还有方向。这个角就是用于确定物体方向的角——方向角。问(1)：什么是方向角？如何划分各种不同的方向角？观察点O观察点O（注：图中大写字母是英文缩写，N代表“北”，S代表“南”，W代表“西”，E代表“东”，即“上北下南，左西右东”。）答：如图，WE是水平线，NS是水平线的垂线。WE和NS垂直相交，交点是观察点O。通常规定：地图上从观察点出发，指向某一方向的射线称之为方向线，指向某一目标的方向线就是目标方向线。如图，从观察点O出发：垂直于水平线的向上的射线ON指向正北方向，就是正北方向线，垂直于水平线的向下的射线OS指向正南方向，就是正南方向线；向左的水平射线OW指向正西方向，就是正西方向线；向右的水平线OE指向正东方向，就是正东方向线。如图，从观察点O出发，射线OP、OP、OP、OP指向目标方向，就是目标方向线。由此可以把方向角定义为：方向角就是地图上从观察点出发，以正北或正南方向线为起始线，以偏向正东或正西的目标方向线为终止线，按顺时针或逆时针方向旋转形成的0～90的角。方向角的顶点是观察点，起始线是从观察点出发的正北或正南方向线，终止线是目标方向线。答：依据方向角的定义，可以把方向角划分为两种类型。①北偏东、北偏西的方向角：北偏东的方向角就是从观察点出发，以正北方向线为起始线，顺时针旋转到偏向正东的目标方向线形成的角。如图：射线ON和OP之间形成的角∠1就是北偏东的方向角。北偏西的方向角就是从观察点出发，以正北方向线为起始线，逆时针旋转到偏向正西的目标方向线形成的角。如图：射线ON和OP之间的形成的角∠2就是北偏西的方向角。②南偏东、南偏西的方向角：南偏东的方向角就是从观察点出发，以正南方向线为起始线，逆时针旋转到偏向正东的目标方向线形成的角。如图：射线OS和OP之间的形成的角∠3就是南偏东的方向角。南偏西的方向角就是从观察点出发，以正南方向线为起始线，顺时针旋转到偏向正西的目标方向线形成的角。如图：射线OS和OP之间的形成的角∠4就是南偏西的方向角。除方向角之外，还有一个常用的确定物体方位的角——方位角。问(2)：什么是方位角？如何区分“方向角”和“方位角”？观察点O观察点O答：方位角就是地图上从观察点出发，以正北方向线为起始线，以目标方向线为终止线，按顺时针方向旋转形成的0～360的角。如图，从观察点O出发，以正北方向线ON为起始线，以目标方向线OP、OP、OP、OP为终止线，按顺时针方向旋转形成的∠NOP、∠NOP、∠NOP、∠NOP就是方位角。答：“方向角”和“方位角”不同。①起始线不同：方向角以从观察点出发的正北或正南方向线为起始线，有两条起始线。方位角以从观察点出发的正北方向线为起始线，有一条起始线。②旋转方向不同：方向角的起始线按顺时针或逆时针方向旋转到目标方向线。方位角的起始线按顺时针方向旋转到目标方向线。③角度不同：方向角是0～90角。方位角是0～360角。观察点O观察点O如图：从观察点O出发的、代表“东、南、西、北”四个方向的方向线ON和OE，OE和OS，OS和OW，OW和ON都垂直相交于点O，形成的四个角都是90直角。从观察点O出发的方向线OP、OP、OP、OP分别是四个直角的平分线。其中：ON代表正北方向，其方向角度数为“北偏东0”或“北偏西0”，方位角度数为“方位角0”。OE代表正东方向，其方向角度数为“北偏东90”或“南偏东90”，方位角度数为“方位角90”。OS代表正南方向，其方向角度数为“南偏东0”或“南偏西0”，方位角度数为“方位角180”。OW代表正西方向，其方向角度数为“北偏西90”或“南偏西90”，方位角度数为“方位角270”。其中：OP代表东北方向，其方向角度数为“北偏东45”，方位角度数为“方位角45”。OP代表东南方向，其方向角度数为“南偏东45”，方位角度数为“方位角135”。OP代表西南方向，其方向角度数为“南偏西45”，方位角度数为“方位角225”。OP代表西北方向，其方向角度数为“北偏西45”，方位角度数为“方位角315”。【例2】如图，海中有一小岛PA、B、C处分别测得小岛P在北偏东60、北偏东35和北偏西30方向上。图中横向虚线代表东西方向线，竖向虚线代表南北方向线。问：(1)若以小岛P为观察点，A、B、C分别在小岛P的什么方向上？(2)若以小岛P为观察点，A、B、C分别在小岛P的什么方位？(1)解：如图，由方向角的定义可知：以小岛P为观察点，要求的方向角分别是：∠QPA，∠QPB，∠QPC。已知方向角：∠NAP=60，∠DBP=35，∠FCP=30。∵各条南北方向线互相平行。∴内错角相等，∠QPA=∠NAP=60，∠QPB=∠DBP=35，∠QPC=∠FCP=30。即：以小岛P为观察点，A、B、C分别在小岛P的南偏西60，南偏西35，南偏东30方向上。(2)解：如图，由方位角的定义可知：以小岛P为观察点，要求的方位角分别是：∠RPA=180＋∠QPA，∠RPB=180＋∠QPB，∠RPC=180－∠QPC。已知：∠QPA=60，∠QPB=35，∠QPC=30。∴∠RPA=180＋60=240，∠RPB=180＋35=215，∠RPC=180－30=150。即：以小岛P为观察点，A、B、C的方位角分别是240，215，150。典型题型精编解析选择题：1.已知∠和∠互补，且∠>∠，若∠是锐角，则下列判断正确的一组是（）①∠－∠一定是锐角②∠只有补角，没有余角；∠既有补角，又有余角③∠的补角和∠的余角互补④∠一定是钝角A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④【答案】D【解析】由已知得：∠＋∠=180，且∠>∠，∠是锐角。则：∠一定是钝角。钝角减锐角可能是锐角、直角或钝角，不一定是锐角。所以①判断错误。钝角只有补角，没有余角。锐角既有补角，又有余角。已知∠是钝角，∠是锐角。所以②判断正确。∠的补角=∠，∠的余角=90－∠。∠的补角＋∠的余角=∠＋90－∠=90。即：∠的补角和∠的余角互余。所以③判断错误。因为锐角和钝角相加才能互补，所以满足已知条件的∠一定是钝角。④判断正确。故②和④正确。选D。2.已知锐角，则∠的补角和余角之差等于∠的补角和余角之和的，则∠的度数为（）A.15B.30C.45D.90【答案】C【解析】∠的补角=180－∠，∠的余角=90－∠。由已知列等式：(180－∠)－(90－∠)=[(180－∠)＋(90－∠)]。整理得：90=(270－2∠)。解得：∠=45。故选C。3.以下结论错误的是（）A.反证法的第一步是提出假设B.方向角和方位角只能确定目标的方向C.等角的余角和补角都相等D.钝角和锐角之差的补角是锐角【答案】D【解析】反证法的第一步就是先提出假设，提出与要证明的结论相反的假设。方向角和方位角显示的是从观察点出发目