刚体和流体课件

1第三章刚体和流体1第三章刚体和流体2质点力学问题一：地球绕太阳光转可以看作是质点运动，那地球自转还能看作是质点运动吗？质点质点:把研究的物体看作是没有大小和形状，但具有一定质量的点。2质点力学问题一：质点质点:把研究的物体看作是没有大小和形状3问题二：汽车紧急刹车时，为何前轮在地上留下的车痕要比后轮留下的深？3问题二：4§3-1刚体及其运动规律刚体：它是指各部分的相对位置在运动中均保持不变的物体。即无论有无外力作用不发生形变，有一定大小和形状的物体。说明理想化的力学模型；任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；研究刚体时必须考虑物体的形状和大小。

4§3-1刚体及其运动规律刚体：它是指各部分的相对位置在5

刚体的运动——平动和转动。任何复杂的运动为两者的叠加。刚体是有一定大小和形状的物体。

它可以看成是无数个连续分布的质点组成的质点系。每个质点都服从质点力学规律。——基础5刚体的运动——平动和转动。刚体是有一定大小和形状的物体。63-1-1刚体的运动平动和转动平动：

刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。注：特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。63-1-1刚体的运动平动和转动平动：刚体在运动778转动：

刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动：转轴固定不动的转动。轴8转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运9

定点转动——转轴上只有一点相对参考系静止，转动方向不断变动。陀螺9定点转动——转轴上只有一点相对参考系静止，10刚体的复杂运动——平动和转动的叠加。刚体的定轴运动——本章的重点内容。10刚体的复杂运动——平动和转动的叠加。刚体的定轴运动——本11刚体定轴运动的特点轴上各点始终静止不动。轴外刚体上的各个质点，尽管到轴的距离不同，相同时间内转动的线位移也不同，但转过的角位移却相同。特征：刚体内所有的点转动半径，线速度，线位移不同，角位移、角速度和角加速度相同。

——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律为什么用角量描述定轴转动？11刚体定轴运动的特点轴上各点始终静止不动。特征：刚体内所有12刚体定轴转动：1.转动平面垂直于转轴.2.转动平面上各点均做圆周运动,角量相同,线量不同.3.定轴转动刚体上各点的角速度矢量

的方向均沿轴线.转动平面：定轴转动刚体上各质点的运动面描述刚体转动的物理量12刚体定轴转动：转动平面：定轴转动刚体上各质点的运动面描13角速度大小：

角速度的方向：右旋前进方向角位置:角位移:线速度与角速度之间的关系：角加速度矢量：1.基本物理量13角速度大小：角速度的方向：右旋前进方向角位置:14

注意：、是矢量,在定轴转动中由于轴的方位不变,故用正负表示其方向.在刚体作匀加速转动时,相应公式如下：

刚体定轴转动的运动学中所用的角量关系及角量和线量的关系如下：2.定轴转动中的基本关系式14注意：、是矢量,在定轴转动中由于轴的方位不变153-1-2刚体对定轴的角动量质元：组成物体的微颗粒元质点对点的角动量为沿转轴Oz的投影为153-1-2刚体对定轴的角动量质元：组成物体的微颗粒16刚体对Oz轴的角动量为令为刚体对Oz轴的转动惯量。16刚体对Oz轴的角动量为令为刚体对Oz轴的转动惯量。17转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度转动惯量的定义式：连续体的转动惯量：

转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的质量、质量分布以及转轴的位置有关。转动惯量17转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度转动惯量的定义18若质量连续分布在（SI）中，J的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布转动惯量的计算18若质量连续分布在（SI）中，J的单位：kgm2dm为质19对于质量连续分布的刚体：（面质量分布）（线质量分布）19对于质量连续分布的刚体：（面质量分布）（线质量分布）20

例1.

一长为L的细杆,质量m均匀分布,求该杆对垂直于杆,分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量.解:

(1)轴过中点(2)轴过一端端点20例1.一长为L的细杆,质量m均匀分布,求该杆21

例2.

求质量为m

、半径为R

的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量。P.81例3-2

解:

圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作为质量元dmROrdrO21例2.求质量为m、半径为R的均匀圆盘对22解:

圆环上取微元dmJ1

=mR2+m1R2思考1.

环上加一质量为m1的质点,J1

=?RO思考2.

环上有一个x的缺口，J2=?xROdmm1

例3.

求质量为m、半径为R

的圆环对中心垂直轴的转动惯量.22解:圆环上取微元dmJ1=mR2+m1R2思考123

平行轴定理:

若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc,则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是mRJzJc注意:对同轴的转动惯量才具有可加减性。正交轴定理对平面刚体

薄板型刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和等于这个物体对过该两轴交点并垂直于板面的那条轴的转动惯量。23平行轴定理:若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc24JJc

例1JC

:相对质心轴的转动惯量，J:相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2，有：24JJc例1JC:相对质心轴的转动惯量，J:相25o1.求圆绕轴L的转动惯量轴L轴L2.求正方形绕轴L的转动惯量25o1.求圆绕轴L的转动惯量轴L轴L2.求正方形绕轴L的26z（3）回转半径设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为：26z（3）回转半径设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯计算绕O轴的转动惯量?组合原则27计算绕O轴的转动惯量?2728计算绕O轴的转动惯量?定义平行轴定理垂直轴定理组合原则注意质量OR1R2烟囱为什么会折断？28计算绕O轴的转动惯量?定义OR1R2烟囱为什么会折断？29几种常见刚体转动惯量

圆环转轴通过中心与盘面垂直r圆环转轴沿直径r29几种常见刚体转动惯量圆环转轴通过中心与盘面30r2r1圆筒转轴沿几何轴

薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直30r2r1圆筒转轴沿几何轴薄圆盘转轴通过中心31lr圆柱体转轴沿几何轴lr

圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直31lr圆柱体转轴沿几何轴lr圆柱体转轴通过中32l

细棒转轴通过中心与棒垂直l

细棒转轴通过端点与棒垂直32l细棒转轴通过中心与棒垂直l332r球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径332r球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径34例4.

计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）ro解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：34例4.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为353-1-3刚体对定轴的角动量定理

和转动定律由质点系对轴的角动量定理，可得两边乘以dt，并积分刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。353-1-3刚体对定轴的角动量定理

和转36当J转动惯量是一个恒量时，有或刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动定律：转动惯量J是刚体转动惯性的量度36当J转动惯量是一个恒量时，有或刚体在作定轴转动时，刚37m是物体平动惯性的量度。J是物体转动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因比较：37m是物体平动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物38例5.

质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。解：MmmgT38例5.质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.1539例5.

质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。解：此做题写法不好，不建议！！！MmmgT39例5.质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.1540变形问题：mMm1m2RT1T2m1gm2gm2

>m1MgNm2MT1T2m2gRm1m1gN1N2Mg40变形问题：mMm1m2RT1T2m1gm2gm2>m41mm1m2R1T1T2m1gm2gM1R2M241mm1m2R1T1T2m1gm2gM1R2M242mm1m2T1T2m1gm2gm2

>

m1R1R2M2M1T42mm1m2T1T2m1gm2gm2>m1R1R2M243例6.一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。解：（1）coBA43例6.一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端44（2）coBA44（2）coBA45

例7.

一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上.若它的初速度为0,绕中心O旋转,问经过多长时间圆盘才停止.(设摩擦系数为)ORdrr解：考察半径为r宽度为dr的圆环简化模型：长R

、线密度=kr、总质量m

的细杆45例7.一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙4646473-1-4刚体对定轴的角动量守恒定律角动量守恒定律：刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变。物体系的角动量守恒：

对有几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守恒。473-1-4刚体对定轴的角动量守恒定律角动量守恒定律：48注：1)守恒条件为或不是2)与动量守恒定律彼此独立当时,恒矢量恒矢量当时,2.角动量守恒定律适用状况(1)对于系统:

Ji、均可以变化，但不变48注：1)守恒条件为或不是2)与动量守恒定律彼此独立当49(2)对于变形体：均可以变化，但不变花样滑冰张臂Jw大小先使自己转动起来收臂大小Jw中国跳水运动员郭晶晶49(2)对于变形体：均可以变化，但50转动快慢自如猫尾巴的功能

猫掉下，四脚朝天，脊背朝地会摔死。注意：猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。50转动快慢自如猫尾巴的功能猫掉下，四脚朝天，脊背朝51动量守恒定律：当时，有角动量守恒定律51动量守恒定律：当时，有角动量守恒定律52例8：一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R的滑轮（质量均匀分布在轮缘上），人和物体质量均为m。设人从静止开始向上爬，相对于绳以匀速u，问物体上升的速度为多少？解：系统所受合外力矩为零v·uNmgmgmg解得：52例8：一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R的滑轮（质量均匀53下图所示一半径为R的圆盘,汽车沿盘边开动时R出现什么现象？什么量守恒？轴对转盘的摩擦力矩可忽略53下图所示一半径为R的圆盘,汽车沿盘边开动时R出现什么现象54例9

一个质量为m0

，半径为R的水平转台（可看作匀质圆盘）可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为m的人站在转台边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上沿边缘走一周时，人和转台相对地面各转过的角度为多少？解：即

54例9一个质量为m0，半径为R的水平转台（可55标量式即令代入（1）式得两边乘dt

并积分得55标量式即令代入（1）式得两边乘dt并积分得56当人在盘上走完一周时，应有联立（2）、（3）式，得56当人在盘上走完一周时，应有联立（2）、（3）式，得573-1-5力矩的功力矩：力矩对刚体所作的功：功率：力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。573-1-5力矩的功力矩：力矩对刚体所作的功：功率583-1-6刚体的定轴转动动能和动能定理zmi第i个质元的动能：整个刚体的转动动能：平动动能：583-1-6刚体的定轴转动动能和动能定理zmi第i个59设在外力矩M的作用下，刚体绕定轴发生角位移d

元功：由转动定律有刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

59设在外力矩M的作用下，刚体绕定轴发生角位移d元功60刚体的重力势能结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能刚体的机械能60刚体的重力势能结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的61刚体系统的机械能守恒

小球能上升到多大的高度？H刚体定轴转动的功能原理61刚体系统的机械能守恒小球能上升到多大的高度？H刚62

例10.

一质量为M、半径R的圆盘,盘上绕有细绳,一端挂有质量为m的物体.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动,问物体由静止下落高度h时其速度为多大？mMm解：受力分析如图所示解得mgT对圆盘：对物体：62例10.一质量为M、半径R的圆盘,盘上绕有细绳63例11.质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可饶中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。ou解：由系统角动量守恒机械能守恒63例11.质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可饶中64例12.

一长为l，质量为M的杆可饶支点o自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。解：角动量守恒：机械能守恒：oalv30°64例12.一长为l，质量为M的杆可饶支点o自由转动。一质65oalv30°v'oalv30°65oalv30°v'oalv30°66区分两类冲击摆(1)OlmM

水平方向：Fx

=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

对

O

点：M=0，L守恒

mv0l=(m+M)vl质点质点柔绳无切向力OlmMFxFy(2)质点

定轴刚体(不能简化为质点)轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对

O

轴合力矩为零，角动量守恒66区分两类冲击摆(1)OlmM水平方向：Fx=067例13.

长为l的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在A处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：⑴细直杆的质量M；⑵碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）解

⑴按角动量守恒定律系统的动能守恒67例13.长为l的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下68解得系统的机械能守恒，有68解得系统的机械能守恒，有69

例14.

如图,已知滑轮的质量为m0,半径为R.斜面的倾角为,斜面上物体的质量为m,物体与斜面间光滑；弹簧的劲度系数为k.现将物体从静止释放,释放时弹簧无形变.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动,忽略轴间摩擦阻力矩,求物体沿斜面下滑x(m)时的速度.(滑轮视作薄圆盘)P.83

解：选取m、m0、k和地球为系统,重力和弹性力均为系统保守内力,其它外力和非保守内力均不做功,系统机械能守恒.k

设m未释放时为初态,此时重力势能为零.当m下滑x后为终态.69例14.如图,已知滑轮的质量为m0,半径为R.斜70初态能量：

设滑轮相对于零势点的重力势能为终态能量：k式(1)=(2)，又已知解得70初态能量：设滑轮相对于零势点的重力势能为终态能量711、刚体——形状和大小都不变的物体。刚体力学基础小结2、转动惯量转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即刚体的(1)质量,(2)质量分布,(3)转轴位置。711、刚体——形状和大小都不变的物体。刚体力学基础小结2、72平行轴定理正交轴定理4、刚体的转动定律5、角动量守恒定律3、刚体对定轴的角动量定理：72平行轴定理正交轴定理4、刚体的转动定律5、角动量守恒定律738、定轴转动的动能定理：6、转动动能：7、力矩的功和功率738、定轴转动的动能定理