第五章速度运动学课件

2023/7/291第五章速度运动学2023/7/292本章将进一步讨论运动的几何学及与时间有关的量，即讨论机器人的速度运动学问题。速度运动学问题重要是因为操作机不仅需要达到某个（或一系列的）位置，而且常需要它按给定的速度达到这些位置。主要内容：

5.1微分关系

5.2操作机的微分移动

5.3微分转动的两个定理

5.4微分算子

5.5雅可比矩阵及其变换

5.6雅可比矩阵的力学意义

5.1微分关系2023/7/292023/7/292023/7/292023/7/2965.2

操作机的微分移动

所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的移动和无限小的转动。它既可以用指定的当前坐标系来描述，也可以用基础坐标系来描述。

对于微分移动（平动）的齐次变换矩阵T可表示为

式中是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的分量。

2023/7/2975.3

微分转动的两个定理

若绕x轴转微小角表示为，并考虑，则对x,y,z多轴微分转动的齐次变换矩阵R应该有如下形式：

2023/7/298上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。

2023/7/299定理1

绕任意单位向量转动的微分转动等效于绕轴x，y，z的3个微分转动，，，并有于是总的转动微分可由如下的齐次矩阵描述2023/7/2910证明：取以下的两个相继微分转动，则有

略去二阶无穷小量后得：

定理2

微分转动与微分转动的次序无关2023/7/29112023/7/29125.4

微分算子

已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述，经过微分运动后变为T+dT。应用相对于基础坐标系的左乘法则，T+dT可以表示为：

得2023/7/2913定义微分算子

得2023/7/2914例：设操作机的位姿为，求先实施转动，再实施移动的微分运动dT，以及其后操作机的新位姿T+dT。

解：由于=0.1，dx=1；=0，dy=0；=0，dz=0.5由定义式得：2023/7/2915则操作机实施微分运动后的新位姿为：

2023/7/29162023/7/29172023/7/2918操作机实施微分运动后的新位姿为：5.4.2微分变换的解释矩阵表示由于微分运动所引起的坐标系的变化，这个矩阵中的各元素为：

（5-22）dA意味着该x坐标系沿轴移动了-1.5个单位的微小量，沿y轴移动了0.8个单位的微小量，沿z轴移动了1.1个单位的微小量。同时它也意味着坐标系的旋转使得在n向量的nx分量上改变了-0.3，在分量nz上改变了0.2，而在向量o的分量ox上改变了0.1，分量oy上改变了-0.2，在向量a的分量ay上改变了0.3，在其分量az上改变了-0.1。

2023/7/29225.5

雅可比矩阵及其变换

5.5.1

雅可比矩阵

即为著名的雅可比矩阵。通过可以实现从关节速度到基坐标速度的变换。

考虑操作机的手爪位姿r

和关节变量的关系用正运动学方程表示的情况。

对于6关节的操作机，有

，……，

2023/7/2923展开为：同样对于m×n维的空间的机器人，其雅可比矩阵

2023/7/2924雅可比矩阵的一般形式：

一般地,对于n个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速度，在基坐标系中的描述记为,。如果写成一个向量具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式其中,Θ为n×1的机械手关节(旋转或平移关节)的位移向量。雅可比矩阵J(Θ)表明了机械手关节速度与末端(手爪)直角坐标速度之间的线性变换关系。2023/7/29255.5.2

雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时,雅可比矩阵J(Θ)为6×6方阵。如果J(Θ)可逆,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度,就可以求得相应的关节速度

但是,雅可比矩阵J(Θ)是随着机械手的形态变化的,某些形态下的Θ值就可能使J(Θ)成为奇异,这时的机械手末端位置称之为机械手的奇异点。当机械手处于奇异形态时,它在直角坐标空间的自由度就有所减少,这意味着在直角坐标空间的某些方向上,无论选取什么样的关节速度,机械手都不能沿着那些方向运动。奇异点可能处于机械手工作空间的边界或工作空间内部。2023/7/29265.5.3

操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵

对于操作机

根据雅可比矩阵的定义式有：则2023/7/2927由操作机几何关系得：

对t求导得

另外，有对t求导得

则求雅可比逆矩阵2023/7/29求雅可比逆矩阵根据逆矩阵的定义：2023/7/2929解：得例5-1试求图所示的2自由度机械手的雅可比矩阵2023/7/292023/7/29315.5.4

雅可比矩阵的物理意义

关节1关节2

和分别为和反时针转动而成。

将雅可比矩阵定义为列向量

以上述例题为例：

有如何验证？2023/7/2934解：已知，则，又知，则由已知矩阵式可知

分析：当x＝0时,。又因为已假设了y＝1，以致，即操作机手臂长度不为零，上式分母不为零，不会出现奇异问题。例5-2：已知：，当手部沿着y=1的直线以匀速运动，试将，表示为x的函数。2023/7/2935（1）对于，当r趋于0时，操作机出现奇异问题。此时操作机失控，即遇到速度趋于无穷大的困难。此时，若或为有限值时，和趋于无穷大。事实上 的条件是很容易辨别和避免的；（2）由以上操作机的雅可比矩阵及其逆阵的推导可以看出，当操作机具有6关节时，雅可比矩阵的推导将会更加复杂。由以上分析可以得出两点结论：2023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/29例5-3计算PUMA560机器人的雅克比矩阵由于PUMA560的6个关节都是转动关节，所以其雅克比矩阵含有6列。2023/7/29475.5

雅可比矩阵的力学意义类似于速度的雅可比矩阵形式,我们也可以得到一个力域中的雅可比矩阵形式,而且可以证明,在此,速度雅可比矩阵是以转置的形式出现的其中,为n×1向量,表示n个关节上的平衡力/平衡力矩,而为作用在手爪上的直角坐标力/力矩形成的6×1向量。因此,实际上表示把手爪上的直角坐标力/力矩映射为等价的关节力/关节力矩。

机器人静力分析2023/7/292023/7/2