2023年高三数学寒假作业15（含答案解析）

2023年高三数学寒假作业15

一、单选题(每题5分，共30分)

1.AABC中，a,h,C分别为三个内角A,B,C的对边，若。=4,8=6()。，4=45。，则。=()

A.2&B.2也C.2屈D.3显

2.已知S,,为等比数列｛a,,｝的前〃项和，54=10,512=70,则Sg=().

A.30B.-20C.-30D.30或—20

3.角a终边经过点网2+6,1),若把a逆时针方向旋转(后得到夕，则tan”()

A.3B.y/3C.—3D.~\/3

4.已知等差数列｛4｝,｛〃｝的前"项和分别为S“和且卜白三，则合()

/〃z.n\D-J

A6「12-18n16

A.-B.—C.—D.—

7112521

5.已知空间四边形ABC。中，E,F分别是AC,BO的中点，若AB=2,CD=4,EF±AB,则E尸与

CD

所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰・泰勒(JohnTaylor,781-1864)在其《大金字

塔》

一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例(土5引.618),泰勒还引用了古希腊

2

历

史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若犷=as,

则

由勾股定理，as=s2-a2,即2-金一1=0,因此可求得士为黄

Viz；aa

金数.已知四棱锥底面是边长约为756英尺的正方形（2a=756）,

顶点户的投影在底面中心O，H为BC中点.根据以上信息，PH

长度（单位：英尺）约为（）

A.233.6B.481.4C.512.4D.611.6

二、多选题（每题5分，共10分）

7.己知向量4=（5吊了,-6）4=（£：0$占802》），则函数〃X）=2a*+G+l（）

A.最小正周期为乃B.图像关于直线x=对称

C.在区间（0,胃）单调递增D.图像关于点（g,l）中心对称

26

8.已知f（x）是定义域为R的函数，满足/（x）=.f（x+4）,/（l+x）=/（3-x）,当04x42时,

f（x）=x2-x,则下列说法正确的是（）

A.函数Ax）在［2,4］的解析式为/（力=（工-3）（*-4）B.函数f（x）的图象关于直线x=2对称

C.当04x44时，Ax）的最大值为2D.当64x48时，/5）的最小值为

三、填空题（每题5分，共20分）

9.在AMC中，角4,B,C的对边分别刀a,b,c若角A=(,sin8=3sinC,a=2j7,则A/WC的面积为

10.已知平面向量:，己满足〃=匕=1,aL^a-lby贝lJa+6=.

11.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为.

12.若函数/（力=1。氏俨_冰+3力在区间［2,+8）上是增函数，则实数〃的取值范围是.

试卷第2页，共3页

四、解答题(共40分)

13.已知等差数列｛4｝的公差d*0,其前"项和为S.，若包+4=22,且％,%,小成等比数列.

（2）若（=J+/+…+［，求，•

(1)求数列也,｝的通项公式;

14.如图，四棱锥P-ABC。中，AR4D为正三角形，AB//CD,AB=2CD,ABAD=9（）°,PAVCD,

E,尸分别为棱尸3,的中点.

(1)求证：FD//平面P8C；

(2)若4)=2,直线PC与平面PAO所成的角为45。，求四棱锥。-钻8

的

体积.

15.在正三角形ABC中，E、£P分别是AB、AC、BC边上的点，满足A£:£B=CF：ai=CP:P8=l:2(如图

1).将AAEF沿EF折起到“了尸的位置，使二面角A-EF-B成直二面角，连接4民4P(如图2)

(1)求证：4后，平面8£：尸；

(2)求直线AiE与平面48尸所成角的大小;

(3)求二面角B-AiP-F的余弦值.

图1图2

参考答案

1.c

【解析】••"60。'A"5。，"4,由正弦定理可得诉=病

解得b=+-=2#,故选：C.

J2

T

2.A

【解析】由几=70,S4=I0得几工3$4,则等比数列｛q｝的公比#1,

1一卢则★即…=7,

T尸7,令/…。

解得，=2或-3（舍去），q"=2,则S8=S4+/S4=30.故选：A.

3.B

【解析】角a终边经过点尸（2+6,1）,则tana=*万=2-百

TTrr

把a逆时针方向旋转》得到人所以"a+z

1+tana1+2-V3r-

所以tan/=tan----=-7-讣=’3,故选：B

1-tanal-（2-V3）

4.C

【解析】因为等差数列｛叫，也｝的前"项和分别为S“和Z,，且卷=才三,

13（q+々13）

1Q

所以生=2%_4+《3_______2_____^13__13+5

不，故选：C

~b^~2b^~b.+b}3"7^~-2x13-1

2

答案第4页，共9页

5.A

【解析】解：设G为AO的中点，连接GF,GE,则GRGE分别为AAB。，ZkAC。的中

线GF//AB,且G尸=gA8=l,GE//CD,且GE=gcD=2,则E/与CO所成角的度数

等于EF与GE所成角的度数，

XEFLAB,GF//AB,：.EF±GF,则AGE尸为直角三角形，GF=1,GE=2,

ZGFE=90°,

：.在直角AGEF中，sinNGE/二NGEF=30。.故选：A.

6.D

【解析】依题意仕T」-l=0,利用二次方程求根公式有士=±31.618,

\a）aa2

所以P"=sel.618a=611.604,故选：D.

7.ABD

【解析】由题意，向量。=（$足工,一6）4=（8$K8$2元），

可得2。•/?=2sin%cosx-26cos2x=sin2%—Gcos2x-乖＞,

所以f（x）=2a-b+\/3+\=sin2x-V3cos2x-V3++l=2sin（2x-y）+l,

可得函数/（X）的最小正周期为T=4=不，所以A正确；

^2x--=-+k^,k&Z,解得犬=至+包入Z,令&=-1,可得x=—互,

3212212

答案第5页，共9页

即X=-^是函数/(X)的一条对称轴，所以B正确；

由xe(O,5),可得(-土等)，在此区间上函数/(x)先增后减，所以C错误;

令2x-工=A;r,AeZ,解得》=工+文,ZeZ,令左=0,可得x=工，

3626

所以函数〃x)的图象关于点(J,1)对称，所以D正确.

6

故选：ABD.

8.ABC

【解析】f(x)=f(x+4)n/(x)是周期为4的周期函数，

/(l+x)=/(3—x)=/(2+x)=/(2—x)=/(x)的对称轴为x=2,B正确.

f(2+x)=/(2_x)=〃4+x)=〃—x),则〃x)=/(-x),/(x)为偶函数.

24x44时，—xe[-4,—2],—x+4e[0,2],

f(x)=/(-x)=_/'(-%+4)=(-x+4)2-(-x+4)=x2-lx+12=(x-3)(x-4),A正确.

由此画出〃x)在区间[0,8]的图象如下图所示，

当0Vx42时，=_x=-;e-：,2.

结合图象可知C正确，D错误.

故选：ABC

答案第6页，共9页

9.36

ch

【解析】,**sinB=3sinC,又一.0=二一三，Ab=3c,

sinCsinB

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA

A=5，〃=2近，；.28=9/+。2-3c2

***c=2,b=6,，△ABC的面积S=L/?csinA='x6x2x—^=3G,

222

10.y/3

【解析】因为

—>—>—>—2—>—>—>—>-4—>1t

所以a-(a—2b)=a-2ab=\-2ah=0,:.ah=—.

2

—»—>/—>2_>2TT]

所以a+b=Va+b+2fl-Z>=Vl+l+l-v3-

11.9兀

【解析】如图所示，正四棱锥P-A8CDPE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同

一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为。，半径为广，连接EB,OB,

则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.

因为棱锥的高为2,底面边长为2,所以PE=2,BE=近,设OE=〃，则QP=|2-/?|,

答案第7页，共9页

,1

由勾股定理得：0夕=。炉+£82=/+2,所以/+2=|2-好，解得：h=-,所以

r=\2-h\=^,所以该球的表面积为4万厂=4万*0=9万

12.(14］

【解析】由题设，令f=/-如+3。，而y=log2,为增函数，

要使f(x)在［2,«可上是增函数，即1在［2,一)上为增函数,

-<2

222

2或，A=a2-12a>0可得0<“44或-4<a?0,

A=6Z2-12^<04+a>0

的取值范围是(Y,4].故答案为：(T,4]

13.(1)a„=2n+l；(2)--—2，?+3

42/+6〃+4

解：(1)对于等差数列{%},

因为出+“6=22,且%，%，%成等比数列,

q+3(/+4+5d=22fa=3fa.=11

所以/a八/“八/A八2,解得：。或，n-

(%+33)(%+1Id)=(4+6d)[a=2[a=0

因为公差所以舍去，所以q=q+(〃_l)d=3+2(“-l)=2“+l.

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(2)因为｛q｝为等差数列，4=2〃+1,所以s〃=幽詈)=业誓D=〃S+2)

所以不=(孑----二b

Snn[n+2)2\nn+2J

=-1+---------=----------

2\_2〃+1〃+2」42n2+6n+4

14.(1)证明：因为E,尸分别为棱尸8,R4的中点，

所以EE//A8且

2

又因为CD〃AB且CO=gA8,

所以即〃CD且砂=CO,

所以四边形EQC为平行四边形，所以FD//CE,

又因CEu平面P3C,五。0平面P8C,所以尸£>〃平面P8C；

(2)解：-.AB/ICD,PA1CD,:.PAYAB,

又A?_LA£>,PA(^AD=A,PAD,

\CD八平面B4£),则NCPD为尸C与平面与平面PAD所成角，即NCPD=45。，则

CD=AD=2,

5L-.-AB=2CD,:.AB=4,

S四边彩ABCD=5*ADx(CD+AB)=—x2x(2+4)=6.

QA3L平面PAO,AB\平面ABC。，

・•・平面PA£)_L平面ABC£>,过P作POJ.AD,垂直为。，又平面PA。Cl平面

ABCD=AD,

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得PO_L平面ABC。,

QV/W)为等边三角形，:70=与D=冬2=后,

••^P-ABCD=§*POxS四以LCD=§x6x#=2#.

15.(1)证明：不妨设正三角形ABC的边长为3.

在图1中，取BE的中点。，连接OE

由AE：EB=CF：胡=1：2,贝ljAF=4£>=2,而NA=60。，

又AADF是正三角形，又AE=DE=1,所以EF,AD.

在图2中，AiELEF,BE1EF,所以/AiEB为二面角Ai-EF-B的平面角.

由题设条件知此二面角为直二面角，则AiE_LBE.

又BEHEF=E,所以4|E_L平面BEF,即AiE_L平面BEP.

(2)建立分别以EB、EF、EA为x轴、),轴、z轴的空间直角坐标系，

答案第1()页，共9页

则E(0,0,0),A(0,0,l),B(2,0,0),尸(0,6,0)，P(l,6,0),

则L,-A----E--