2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案（十三）

2023年高考数学强基计划模拟题(十三)

7.

(满分100分，测试时间：60分钟)

记Qi={xeQ\x>1}.设函数/：Qi-R对于任意心yGQ1满足不等式|f(%+y)-/(x)-/(y)|<£,这里

一'填空题。(每小题10分)

£是某个大于零的实数.证明：存在q€R,使得对于任意XWQi,都有|竽-q|V2£.

1.

设集合S={1,2,…,15},A={%,。2，%}是5的子集，且(％,。2，。3)满足1<a1<a2<a3<15,a3-a2<6,

那么满足条件的集合4的个数为_____.

2.

在三棱锥P-4BC中，底面是边长为3的正三角形，旦|P*=3,|PB|=4,|PC|=5,则三棱锥P-ABC

的体积4_ABC=____-

3.

在区间(0,+8)上，若方程W-x=lnx有唯•解.则a的值为____.

a

4.

在△48。中，若鬻+萼=3,则sin4的最大值为_____.

tanatanc

二、解答题(每小题20分)

5.

已知分=〃1+打.小.+:

(1)。5是否为有理数•并写出证明过程.

(2)证明以为严格单调递增数列，且存在上界，并求出一个上界.

6.

在平面直角坐标系xOyU」，已知椭圆G:»+/=l(a>b>0),直线h：y=kx+与椭圆G交于48两

点,直线，2：y=依+7门2(7721Hg)与椭圆G交于C,D两点,且|AB|=|CD|.

(1)证明：m1+m2=0;

(2)求四边形A8C。的面积S的最大值.

答案.h2+c21a]c、、2

当且仅当b=c时取等号.故Sin4<争.

1.【答案】371

【解析】当2VazV9时，（<h，az）有点种选择方法，有6种选择方法，所以（即的,。3）共有6x量=216种

5.r答案】(l)as不是有理数.引理：若XCQ,yfEQ,则"万任Q.

选择方法;当10<a2<14时，一旦。2取定，%有。2-1种选择方法，。3有15-。2种选择方法，所以选择

证明：x=*(m,n)=1,若不然Jx+y=；,(p,q)=1,贝Ijy='即:3",(m,n)=1.(p,q)=1.所以(mp?-

（%,。2，。3）的方法有E恐1（。2-1）（15-a2）=9x54-10x4+llx3+12x2+13xl=155种.

ng2,mg2)=1,yEQ,矛盾.因为遥任Q,所以CQ.

综上所述，满足条件的子集共有371个.

(2)因为

2.【答案】g

【解析】易知SBC是直角三角形，取斜边PC的中点为0,因为|研二团8|=“|’所以点4在平面PBC上

的射影为宜角△P8C的外心。.连接力0,即有力。1平面P8C.

在RtAAOP中，

Vp-ABC=VA-PBC=1.S&P8C'|4°l=g.6•—VlT.所以“为严格单调递增数列.又

3.【答案】a=1或。<0

【解析】二—％=Inx<=>-=

aaxe-x+..

令f(%)=写竺，则,住)=土、普.由尸(%)=。得X=1.

当0V#V1时，/'(X)>0；当X>1时，/'(%)<0.所以fCOmax=/(I)=1.又/(%)一一8G-*0+),/(X)->

故6为一个上界.

0(%T+8),所以当方程有唯解时，：=1或：<0,即Q=1或QV0.

【解析】略

4.【答案】等6.【答案】(1)

\AB\=y/(x-x)2+(y-y)2=>/l-k2•+小一一4」必

(解析】=3=+^7)=tan4"“片?=3<=>tan4siiL4=3sinBsinC=siM4=1212

tanotanCvsin«sinC'smosinc

22

)------------I2a2kmi、a2m?—ab

3sinFsinCcos/lJl".(--------------------^)-4•—----------5-

22

Jb+dik臣+a2k2

<=>a2=3/JCCOSA.

/2abja2k2-m?+b2

又a?=b2+c2-2bccosA,于是可得5+短

同理,将此式与式③结合，可知

-----2abja2k2-m2+b2

2m/(l)—(m-1)£—(7i—1)£<7i/(^)<m/(l)+(m—1)£+(n—1)E,

因为|48|=|CD|,所以即

_lazk2-m?+b2______Ja2k2-ml+b2

m/(l)—(m+n—2)s<nf需)<m/(l)+(m+n—2)e,

2ab\!1+/c2----5——=2a6Vl+k2----———

"+a2k2/+a2F

因为7711装瓶2，所以卅1+巾2=。・两边除以m,得

_叫一吵|

(2)由题意得四边形4BCD是平行四边形，设两条平行线力8,CD间的距离为d,则4f⑴-(i+黑)”版令</(i)+a+詈尤.

J1+必,

」_12mli

因为拼1+机2=0，所以"一北言，故喏=x,则有

隋-/(1)|<(1+詈)e<(1+1)«<2e.

所以，令g=f(l)即可知结论成立.

因此