太原理工微积分与数学模型10年修改版第九章理工大高数

第七节方向导数与梯度~方向导数的定义二方向导数的计算三梯度的概念讨论函数z=f

(x,y)在一点P

沿某一方向的变化率问题。oyxlQDxDyP设函数z

=f

(x,y)在点P

(x,

y)的某一邻域U

(P

)内有定义,自点P

引射线l设x

轴正向到射线l

的转角为j

,并设Q

(x

+Dx,y

+Dy)为l

上的另一点,且Q

˛

U

(P)一、方向导数的定义|

PQ

|

=

r

=(Dx)2

+

(Dy)2rrfi

0lim

f

(x

+Dx,y

+Dy)-f

(x,y)是否存在？且Dz

=f

(x

+Dx,y

+Dy)-f

(x,y)rDz考虑 当

Q

沿着

l

趋于

P

时，rrfi

0¶f

=

lim

f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)¶l记为定义函数的增量f

(x

+Dx,y

+Dy)-f

(x,y)与PQ两点间的距离r

=（Dx)2

+(Dy)2

之比值，当Q

沿着l趋于P

时，如果此比值的极限存在，则称这极限为函数在点P

沿l方向的方向导数。依定义,函数

f

(

x,

y)在点P

沿着x

轴正向

=

{1,0}y

轴正向e2

=e1{0,1}的方向导数分别为f+x

,f+y

,沿x

轴负向、y

轴负向的方向导数是-f-x

,-f-y¶x

¶yf

(x

+Dx,

y

+Dy)

-

f

(x,

y)

=

¶f

Dx

+¶f

Dy

+o(r),两边同除以 得到二、方向导数的计算定理如果函数z

=f

(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那末函数在该点沿任意方向l

的方向导数都存在，且有¶f

=

¶f

cosj

+

¶f

sinj¶l

¶x

¶y其中j

为x

轴正向到方向l

正向的转角。0

£

j

£

2p证明：由于函数可微，则增量可表示为cosjsin

jrr+

o(r)rrDy¶y+

¶fDx¶xf

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)

=

¶f=

¶f

cosj

+

¶f

sinj¶x

¶y故有方向导数rrfi

0¶f

=

lim

f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)¶l例1求函数z

=xe2

y在点P(1,0)处沿从点

P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数。解：这里方向l

即为PQ

={1,-1}4故x

轴到方向l

的转角j=-p(1,

0

)=

e2

y

=

1，¶x(1,

0

)¶z(1,

0

)=

2xe2

y

=

2¶y

(1,

0

)¶z所求方向导数4

4¶l¶z

=

cos(-p

)

+

2sin(-p

)

=

-22=

f

x

(1,1)cosa

+

f

y

(1,1)sina(1,1)¶l¶f解:由方向导数的计算公式知=

(2

x

-

y)

(1,1)

cosa

+

(2

y

-

x)

(1,1)

sina例2沿x轴方向夹角为a

的方向射线l

的方向导数。且在怎样的方向上此方向导数有求函数

f

(

x,

y)

=

x

2

-

xy

+

y2

在点(1,1)(1)最大值 (2)最小值(3)等于零？=

cosa

+

sina

=42

sin(a

+

p

)4故

(1)

当a

=

p

时，方向导数达到最大值244(3)

当a=3p

和a=7p

时，方向导数等于04(2)

当a=5p

时，方向导数达到最小值-2对于三元函数u

=f

(x,y,z)，它在空间一点

P(x,y,z)沿着方向l

的方向导数，可定义为rrfi

0¶f

=

lim

f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy,

z

+

Dz)

-

f

(

x,

y,

z)¶l推广可得三元函数方向导数的定义r

=

(Dx)2

+

(Dy)2

+

(Dz)2其中Dx

=

r

cosa

,

Dy

=

r

cos

b

,

Dz

=

r

cosg同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向l

的方向导数都存在，且有¶f

=

¶f

cosa

+

¶f

cos

b

+

¶f

cosg¶l

¶x

¶y

¶z设方向

l

的方向角为

a

,

b

,g2

+

3

y2

+

z2

=例3

设n是曲面

2

x

6

在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数11zu

=(6

x2

+8

y2

)2

在此处沿方向n

的方向导数。令F

(

x,

y,

z)

=

2

x2

+

3

y2

+

z

2

-

6=

4,

Fy

=

6

y

P

=

6,

Fz

PP解:Fx

P

=

4

x

P故=

2z

P

=

2x

y

zn

=

{F

,

F

,

F=

{4,

6,

2}n

42

+

62

+

22

=

2

14

=方向余弦为,

cos

b

=142cosa

=,3146141cosg

=P¶x

P6

x¶u=148=z

6

x

2

+

8

y28

yPPz

6

x2

+

8

y2¶y¶u=14=Pz

26

x

2

+

8

y2¶z¶u=

-=

-

14P7=

11P¶u=

(¶u

cosa

+

¶u

cos

b

+

¶u

cosg)n

P

¶x

¶y

¶z¶故例4沿椭圆在P(x,y)处：2求函数z

=x

2

+3

y24

6+ =

1x

2

y2（1）外法线方向的方向导数；（2）内法线方向的方向导数。x2

y2解：

F

(

x,

y)

=

4

+

6

-

12=

xx\

F3=

yFy

2 3

x y

n外

=

,-

,-=

x

yn内2cosa

=x

2

y2x4

+

93cos

b

=x

2

y2

2

3y4

+

9又¶x¶z

=

2

x¶y¶z

=

3

y4

9+

3

y4

9=

2

xx2

y2y3x2

y2x2¶n¶z++外4

9x2

y2+x2

+

y2=4

9+

3

y4

9=

2

xx2

y2x2

y2¶n¶z+-

y

3+-

x

2内4

9x2

y2+x2

+

y2=

-实例

一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)，在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热。假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比，在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质

应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行。三、梯度的概念问题

函数在点P沿哪一方向增加的速度最快?定义设函数z

=f

(x,y)在平面区域D

内具z

=f

(x,y)在点P(x,y)的梯度，记为都可定出一个向量j

,这向量称为函数i

+¶x

¶y¶f

¶f

有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)˛

Dgradf

(

x,

y)

=i

+

j¶x

¶y¶f

¶f

¶l

¶x

¶y¶x

¶y¶f

=

¶f

cosj

+

¶f

sinj

=

{¶f

,

¶f

}

{cosj

,sinj

}=

gradf

(

x,

y)

e

=|

gradf

(

x,

y)

|

cosq其中q

=(

gradf

(

x,

y),

e

)当cos(

gradf

(x,y),e

)1时，

=¶l¶f有最大值。设

e

=

cosji

+

sinjj是方向l上的单位向量，由方向导数公式知结论函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。梯度的模为gradf-

gradfP22gradf

(

x,

y)

=

¶y

¶x

¶f

+

¶f

¶x¶fx

轴到梯度的转角的正切为tanq

=¶y¶f¶f当

不为零时，¶x在几何上z

=f

(x,y)表示一个曲面曲面被平面z

=cz

=

cz

=

f

(

x,

y)所截得所得曲线在xoy面上投影如图oyxf

(x,

y)

=

c1f

(x,

y)

=

c等高线gradf

(

x,

y)梯度为等高线上的法向量f

(x,

y)

=

c2P梯度与等高线的关系函数z

=f

(x,y)在点P

(x,y)的梯度的方向与点P

的等

高线f

(x,y)=c

在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。¶x

¶y

¶zgradf

(

x,

y,

z)

=

¶f

+

¶f

+

¶f

i

j

k类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值。梯度的概念可以推广到三元函数三元函数u

=f

(x,y,z