d2 3函数极限性质及运算法则

§2.3

函数极限的性质及运算法则一、局部有界性二、局部保序性三、极限不等式四、夹逼定理五、四则运算法则六、复合函数极限一、局部有界性1、局部有界：对函数y

=f

(x),若有Od

(x0

)\{x0},$M

>0,使得对"x

˛

Od

(x0

)\{x0},均有f

(x)£

M

,则称f

(x)在点x0局部有界2、局部有界性：xfi

x0若lim

f

(x)=A,则f

(x)在x0局部有界xfi

x0※证明：

lim

f

(x)

=

A"

e

>

0,

$d

>

0,’"

x

˛

Od

(x0

)

\{x0},有f

(x)-A

<e\取e

=1,则$d

>0,使对"x

˛

Od

(x0

)\{x0

},有f

(x)-A

<1,即A

-1

<f

(x)<A

+1,所以f

(x)局部有界二、局部保序性1、定理：

若lim

f

(x)

=

A,

lim

g(x)

=

B,且A

>

B,则$d

>

0,xfi

x0

xfi

x0使得当x

˛

Od

(x0

)\{x0}时,有f

(x)>g(x)2、※证明：

取e

=>

0(

A

>

B)2A

-

B100(x

)\{x

}时,dxfi

x0

lim

f

(x)=A,\$d1

>0,使当x

˛

O2有f

(x)-A

<e

=

A

-B

,即A

-e

<f

(x)<A

+e\

f

(x)

>

A

-e

=

A

-

A

-

B

=

A

+

B2

2200(x

)\{x

}时,dxfi

x0又

lim

g(x)

=

B,\

$d2

>

0,

使当x

˛

O2有

g(x)

-

B

<

e

=

A

-

B

,即B

-e

<

g(x)

<

B

+

e\

g(x)

<

B

+

e

=

B

+

A

-

B

=

A

+

B2

2令d

=min{d1

,d2},则当x

˛

Od

(x0

)\{x0}时有2g(x)

<

A

+

B

<

f

(x)3、推论1：xfi

x0若lim

f

(x)

=

A

>

B(或<

B),则$d

>

0,

使得当x

˛

Od

(x0

)\{x0}时,有f

(x)>B(或<B)4、推论2（局部保号性）：

若lim

f

(x)

=

A

>

0(或<

0),则$d

>

0,xfi

x0使得当x

˛

Od

(x0

)\{x0}时,有f

(x)>0(或<0)三、极限不等式若lim

f

(x)

=

A,

lim

g(x)

=

B,且$d

>

0,

使当xfi

x0

xfi

x0x

˛

Od

(x0

)\{x0}时,有f

(x)‡g(x),则有A

‡B证明：（用反证法）若有A

<B,则依局部保序性知,$d

>0,使得当x

˛

Od

(x)\{x}时,有f

(x)<g(x),与已知矛盾,故结论成立四、夹逼定理1、定理：00

0d设有d0

>

0,

使得当x

˛

O

(x

)\{x

}时有g(x)£

f

(x)£

h(x),且有lim

g(x)=lim

h(x)=A,xfi

x0

xfi

x0则有lim

f

(x)

=

Axfi

x02、※证明：10

0(x

)\{x

}时,dxfi

x0

lim

g(x)=A,\$d1

>0,使当x

˛

O有g(x)-A

<e,即A

-e

<g(x)<A

+e对"e

>02(x0

)\{x0}时,dxfi

x0又

lim

h(x)=A,\$d2

>0,使当x

˛

O有h(x)-A

<e,即A

-e

<h(x)<A

+e令d

=min{d0

,d1

,d2},则当x

˛

Od

(x0

)\{x0}时有A

-e

<g(x)£

f

(x)£

h(x)<A

+e,即f

(x)-A

<e\

lim

f

(x)

=

Axfi

x0注:上述四性质对x

fi

x

+,x

-,+¥

,-¥

,¥

均成立,0

0教材用x

fi

X

统一表示五、四则运算法则若lim

f

(x)

=

A,

lim

g(x)

=

B,则xfi

x0

xfi

x01.

lim

Cf

(x)

=

C

lim

f

(x)

=

CAxfi

x0

xfi

x0limxfi

x0limxfi

x0f

(x)

–

g(x)

=

lim

f

(x)

–

lim

g(x)

=

A

–

Bxfi

x0

xfi

x0f

(x)

•g(x)

=

lim

f

(x)

•lim

g(x)

=

AB4.若B

„0,则有limxfi

x0lim

f

(x)xfi

x0

xfi

x0f

(x)=

xfi

x0g(x) lim

g(x)

Bxfi

x0A=六、复合函数极限若lim

g(x)

=

A,且g(x)

„

A,

lim

f

(x)

=

B,则lim

f

[g(x)]

=

Bxfi

x0

xfi

A

xfi

x0七、性质理解举例例1

利用函数极限的性质证明limxfi

0sin

x=1x证明：2极限是在x

fi

0情形下,因此是在x周围，假定在0

<x

<p

范围内将要证明的问题放在单位圆中，通过单位圆中有关图形的面积的大小关系，直观地得到证明所需要的不等式2sin

x

<x

<tan

x,当0

<x

<p

时x如右图所示，在单位圆中当0

<x

<p

时有2SDOBC

<

S扇形OBC

<

SDOBD即1

OB

•AC

<1

OB2

•x

<1

OB

•BD2

2

2而OB

=1,\AC

=sin

x,BD

=tan

x\

sin

x

<

x

<

tan

x)2x\

cos

x

<

sin

x

<1,

x

˛

(0,pxfi

0\

cos

x

<

sin

x

<1,

x

˛

(-

p

,

0)x

2xxfi

0而lim

cos

x

=1, \

lim

sin

x

=1x而sin

x

是偶函数此例题的结论也称为第一重要极限，因为在极限的计算中经常被使用，当然，在使用时要注意灵活性，如limxfi

0

sin

x=1xu

(

x)fi

0lim

sin

u(x)

=1u(x)1xfi

0

x

例2

求极限lim

x

1

,

其中

1

x

是x

的取整函数解：对于取整函数有结论对"x

˛

R,有x

-1

<[x]£

xx

x

x

\

当

x

„

0时,

有

1

-

1

<

1

£

1

x

\当x

>0时,有1-x

<x

1

£1xfi

0+

x

因此有lim

x

1

=1

x

当x

<0时,有1-x

>x

1

‡1xfi

0-

x

因此有lim

x

1

=1xfi

0

x

所以有lim

x

1

=1例3

证明lim

f

(x)

=

0的充要条件是lim

f

(x)

=

0xfi

X

xfi

X证明：必要性

lim

f

(x)

=

0,\

x

fi

X f

(x)

fi

0xfi

Xxfi

X\

lim

f

(x)

y

=

f

(x)

lim

y

=

0xfi

X

yfi0充分性-

f

(x)

£

f

(x)

£

f

(x)

,

lim

f

(x)

=

0\

lim

f

(x)

=

0xfi

X例4

判别下列极限是否存在，如果存在求出其值x2-

11(1)

lim

2

xxfi

01(2)

lim

exxfi

¥(3)

lim

exfi

01解：（1）

lim

2

xxfi

0+

1lim

2

xxfi0-

1\lim

2

x不存在xfi

01

x

y

=lim

2yyfi

+¥=

+¥1

xy

=lim

2yyfi

-¥t

=

-y12tlim

=

0t

fi

+¥1(2)

lim

exxfi

¥1

x

y

=lim

eyfi

0y=

e0

=1x2-

1

(3)

lim

exfi01x

2y

=lim

e-

yyfi

+¥yfi

+¥

ey=

lim

1

=

0例5

证明1xxlim(1+

)

=

exfi

¥证明：当x

fi+¥

时,对"x

>1,$n

˛

N+,使得n

£

x

<n

+111x\

1+£1+n

+1n£1+

1

,\

1+1n1x1n+1n

+1

£

1+

x

£

1+

nn

n

nnfi

¥nfi

¥而lim(1+1

)n+1

=lim(1+1

)n

(1+1

)n

nnfi

¥nfi

¥=

lim(1+

1

)n

•lim(1+

1

)

=

e)n+1

•(1+)-1111lim(1+nfi

¥)n