甘肃省武威市河西成功学校2023年数学高二下期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线y＝上一点M到x轴的距离为d1，到直线＝1的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A． B． C．3 D．22．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．4．若，则复数在复平面上对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知为虚数单位，则复数的虚部是A． B．1 C． D．6．设复数，是的共轭复数，则的虚部为A． B． C． D．7．利用反证法证明：若，则，应假设（）A．，不都为 B．，都不为C．，不都为，且 D．，至少一个为8．若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能确定9．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)10．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A． B． C． D．11．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．25012．函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则=________.14．若函数有且只有一个零点，是上两个动点（为坐标原点），且，若两点到直线的距离分别为，则的最大值为__________.15．设随机变量，随机变量，若，则_________.16．甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正四棱柱中，底面边长为2，，点在线段上.（1）求异面直线与所成角的大小；（用反三角函数值表示）（2）若直线平面所成角大小为，求多面体的体积.18．（12分）设函数（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2））讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.19．（12分）如图所示，在直角坐标系中，曲线C由以原点为圆心，半径为2的半圆和中心在原点，焦点在x轴上的半椭圆构成，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知射线与曲线C交于点M，点N为曲线C上的动点，求面积的最大值.20．（12分）在锐角三角形中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.21．（12分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数．(1)解不等式：；(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）过椭圆：右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍.（1）求的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据抛物线的定义，将的最小值转化为抛物线焦点到直线的距离减1来求解.【详解】根据题意的最小值等于抛物线焦点到直线的距离减1，而焦点为故，故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.2、B【解析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【点睛】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。3、A【解析】

利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．4、D【解析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果.详解：因为，，所以复数在复平面上对应的点在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5、A【解析】试题分析：根据题意，由于为虚数单位，则复数，因此可知其虚部为-1，故答案为A.考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。6、C【解析】

由，得，代入，利用复数的代数形式的乘除运算，即可求解.【详解】由题意，复数，得，则，所以复数的虚部为，故选C.【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的代数形式的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、A【解析】

表示“都是0”，其否定是“不都是0”.【详解】反证法是先假设结论不成立，结论表示“都是0”，结论的否定为：“不都是0”.【点睛】在简易逻辑中，“都是”的否定为“不都是”；“全是”的否定为“不全是”，而不能把它们的否定误认为是“都不是”、“全不是”.8、A【解析】试题分析：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．解：如图所示：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故选A．考点：三角函数线．9、B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．10、C【解析】

画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.11、A【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A考点：分层抽样12、C【解析】

函数的单调性确定的符号，即可求解，得到答案．【详解】由函数的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当时，函数单调递增，所以导数的符号是正，负，正，正，只有选项C符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由的图象看函数的单调性，得出导函数的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】，所以点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.14、【解析】

根据函数的奇偶性先求解出的值，然后根据判断出中点的轨迹，再根据转化关系将的最大值转化为圆上点到直线的距离最大值，由此求解出结果.【详解】因为的定义域为，且，所以是偶函数，又因为有唯一零点，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，设的中点为，，如下图所示：所以，又因为，所以，所以的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以当取最大值时，为过垂直于的线段与的交点，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查函数奇偶性、圆中的轨迹方程、圆上点到直线的距离最值，属于综合型题型，难度较难.圆上点到一条与圆相离直线的距离最值求解方法：先计算出圆心到直线的距离，则距离最大值为，距离最小值为.15、6【解析】因，故，即，则，又随机变量，所以，，应填答案。16、【解析】

利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点.【详解】甲赢得比赛的概率：，令，则，令，解得：当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减当时，取最大值，即取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用异面直线所成角的定义再结合正四棱柱中的性质可得直线与所成的角即为所求然后在三角形利用余弦定理即可得解．（2）由于多面体的不规则性故可利用因此需利用直线与平面所成角为来确定点的位置后问题就解决了．【详解】（1）连接则由于在正四棱柱中故异面直线与所成角即为直线与所成的角正四棱柱中，底面边长为2，，，异面直线与所成角即为（2）正四棱柱中面，直线与平面所成角为，，，，即多面体的体积为．【点睛】本题考查异面直线所成的角和几何体体积的求解．解题的关键是第一问要利用图形的性质将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；第二问对于不规则图形体积的求解常采用规则图形的体积差来求解（比如本题中的多面体的体积转化为正三棱柱的体积减去三棱锥的体积）.18、（1）（2）见解析（3），见解析【解析】

（1）根据单调区间判断出是极值点，由此根据极值点对应的导数值为求解出的值，并注意验证是否满足；（2）先求解出，然后结合所给区间对进行分类讨论，分别求解出的单调性；（3）构造函数，分析的取值情况，由此求解出的取值范围；将证明通过条件转化为证明，由此构造新函数进行分析证明.【详解】（1）由于函数函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，∵，故，此时满足是极大值点，所以；（2）∵，∴，①当时，在上单调递增.②当，即或时，，∴在上单调递减.③当且时，由得.令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，在上递减；当且时，在上递增，在上递减.（3）令，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得最小值为又当，由图象知：不妨设，则有，令在上单调递增，故即，【点睛】本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题，难度较难.（1）已知是的极值点，利用求解参数值后，要注意将参数值带回验证是否满足；（2）导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意，分别求出曲线上半部分和下半部分直角坐标方程，利用直角坐标系与极坐标的转化公式，即可得到曲线的极坐标方程；（2）由题可知要使面积最大，则点在半圆上，且，利用极坐标方程求出，由三角形面积公式即可得到答案。【详解】（1）由题设可得，曲线上半部分的直角坐标方程为，所以曲线上半部分的极坐标方程为.又因为曲线下半部分的标准方程为，所以曲线下半部分极坐标方程为，故曲线的极坐标方程为.（2）由题设，将代入曲线的极坐标方程可得：.又点是曲线上的动点，所以．由面积公式得：当且仅当，时等号成立，故面积的最大值为.【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化，利用极坐标的几何意义求三角形面积，考查学生基本的计算能力，属于中档题20、（1）；（2）1【解析】

(1)利用二倍角公式化简即得A的值.(2)先利用正弦定理化简得，再利用余弦定理求a的值.【详解】⑴,又因为为锐角三角形，，，.⑵，，，.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.21、(1);(2).【解析】分析：（1）解法一：写出分段函数的解析式，讨论的范围，求出分段函数不同自变量范围的不等式的解，再求这些解的并集即可.解法二：写出分段函数的解析式，绘制函数图象,计算函数与的交点坐标，根据函数图象确定不等式的解.解法三：根据绝对值在数轴上的几何意义，确定不等式的解.（2）将恒成立问题转化成问题，确定后，解关于的一元二次不等式，即可求出实数的取值范围．解法一：根据三角不等式，确定函数最小值解法二：根据函数图象，确定函数最小值.详解：（1）解法一：当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：，所以不等式的解集为；（1）解法二：令，两个函数的图象如图所示：由图像可知，两函数图象的交点为和，所以不等式即的解集为（注：如果作出函数的图象，写出的解集，可参照解法2的标准给分）解法三：如图，设数轴上与对应的点分别是，那么两点的距离是4，因此区间上的数都是原不等式的解．先在数轴上找出与点的距离之和为的点，将点向左移动2个单位到点，这时有,同理，将点向右移动2个单位到点，这时也有,从数轴上可以看到，点与之间的任何点到点的距离之