高中立体几何试题(答案)

高中立体几何试题1.在正方体ABCD-ABCD中，求二面角A-BD-C的大小.1111111解析：如图在平面D1C1B内作C1E丄Bq，交BD于E•连结*，设正方体棱长为8,在厶ABD和厶CBD中，AD=CD=a,AB=CB=〈2a,BD11111111111二BD1=\3a，.:△ABD竺厶CBD，丁CE丄BD，.:AE丄BD,/11111111ZAEC11面角A-BD-C的平面角.在RtABCD中，ZDCB=90°,/111TV--a・J2a迂C1E二乙55a，在△A1EC1中、:.3aDiBiABAE二CE二11芒a,AC—,cosZAEC=3111i—a

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2a•332_一（、：'2a）2=12'O°VZAEC11V180。,ZAEC二120。11的棱MN上，在面-MN-所成的角为的棱MN上，在面-MN-所成的角为30°,求二面角内引射线AP,使AP与-MN-的大小.N2.如图9-50,点A在锐二面角MN所成的ZP4M为45°,与面解析：如图答9-44,取AP上一点B,作BH丄于H,连结AH,则ZBAH为射线AP与平面所成的角，・•・ZBAH=30。,再作BQ丄MN,交MN于Q,连结HQ,则HQ为BQ在平面内的射影.由三垂线定理的逆定理，HQ丄MN,・ZBQH为二面角设BQ=a,在RtABAQ中，ZBQA=90°,ZBAM=45。，.：AB二J2a，在RtABAH中ZBHA=90°,ZBAH中ZBHA=90°,ZBAH=30°,ABH在RtABHQ中，ZBHQ=90°,BQ=a,BHZBQH是锐角，・•・ZBQH=45即二面角-MN-等于45°.13.如图，四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，AB〃DC,AB丄BC,且AB=-CD，侧棱PB丄底面ABCD,PC=5,BC=3,APAB的面积等于6,若平面DPA与平面CPB所成解析：平面DPA与平面CPB有一公共点P,要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA和CB的延长线的交点E是它们的另一公共点•由公理二，PE就是二面角的公共棱•有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解延长DA交CB的延长线于E,连PE,则PE就是平面DPA和平面CPB的交线.•.•AB〃DC,AB丄BC,・DC丄BC,PB丄底面ABCD.APB丄DC,・DC丄平面PCE.作CF丄PE于F,连DF由三垂线定理得PE丄DF,AZDFC=a.1VAB^-CD,PC=5,BC=3,・PB=4.2Sapab6,・.AB=3,CD=6,AEB=3,PE=5.•.•PB・EC=CF•.•PB・EC=CF・PE,24acf^5.在直角ADCF中,DCtana=乔6_524=5a=antan.44.在正方体4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，其棱长为a.⑴求证BD1丄截面AB1C；⑵求点B到截面AB1C的距离；(2)AB=BC=BB1=G为厶AB1C的中心.AC=2aagJ2,.32,6AG=a.\；3x—TOC\o"1-5"\h\z233.•・BG=-2-碍a)2.•・BG=-2-碍a)2=.a2一a2—a2=a993(3)ZBB]G为所求<6_gbTa46cosZBB,G=1———1BBa31如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于点O,求证：A1O丄平面MBD.解析：要证A1O丄平面MBD,只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB,先观察A1O垂直DB吗？方法1：发现A1O平分DB,想到什么？(△A1DB是否为等腰三角形)VA1D=A1B,DO=OB,・・・A]O丄DB.(易见DB丄平面故方法2：A1O丄DB吗？即DB丄A1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？A1ACC1(易见DB丄平面故行再观察A1O垂直何直线？DM？BM?因这两条直线与A1O均异面，难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO,因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进观察.

行证明取CC1中点M,连结MO,VDB丄A]A,DB丄AC,A]AAAC=A,.'.DB丄平面A1ACC1,J2而A1Ou平面A1ACC1,.A1O丄DB.在矩形A1ACC1中，TtanZAAiO=d2,2.'2tanZMOC^2,AZAA,O=ZMOC,则ZAQA+ZMOC=90°,.・.A】O丄OM,VOMADB2111=O,・・・A]O丄平面MBD.如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值.解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影,至此问题解法已明朗.解作AO丄平面BCD于O,连DO,作MN丄平面BCD于N,则N^OD.°.AO=、'AD2—OD2=――a，•:MN33设°.AO=、'AD2—OD2=――a，•:MN3332.•・CN=「CM-—MN-—a^21a•126・•・CM与平面BCD所成角的余弦值为■CN二乜.CM3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1A的中点，N在AB上，且AN:NB=1：3，求证：C1M丄MN.证明1设正方体的棱长为a,则MN=^a,4C]M=i、a2+a2+(3)2=a,C]N=「a2+a2+()2=a,122144VMN2+MC12=NC12,AC1M丄MN.如图，ABCD为直角梯形，ZDAB=ZABC=90。，AB=BC=a,AD=2a,PA丄平面ABCD，PA=a.求证：PC丄CD；求点B到直线PC的距离.证明(1)取AD的中点E,连AC,CE,则ABCE是正方形，△CED为等腰直角三角形..AC丄CD,TPA丄平面ABCD,・AC为PC在平面ABCD上的射影，・PC丄CD；解(2)连BE交AC于O,则BE丄AC,又BE丄PA,ACnPA=A,・BE丄平面PAC.过O作OH丄PC于H,连BH,贝VBH丄PC.•.•PA=a,AC=<2a,・PC=<3a，则OH=丄•=6a,TOC\o"1-5"\h\z2\!3a626*/BO=a，•:BH=\BO2+OH2=a23

兀V59.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=下,AB=a,AD=3a，且ZADC=arcsin—,又PA丄平面ABCD,AP=a•求：（1）二面角P—CD—A的大小（用反三角函数表示）；⑵点A到平面PBC的距离.IEIE解析：⑴作CD'丄AD于D',・・・ABCD'为矩形，CD'=AB=a，在RtACD'D中.ZADC=arcsm-5-，ZADC=arcsm-5-，即丄D'DC=arcsinCD寸5AsinZCDD'==—CD5.•・CD=\5a.•・D'D=2a*.*AD=3a,AD'=a=BC又在RtAABC中，AC=AB2+BC2=■2a,VPA丄平面ABCD,・PA丄AC,PA丄AD，PA丄AB.在RtAPAB中，可得PB=、还a.在RtAPAC中，可得PC=€PA2+AC2=•込a.在RtAPAD中，PD=Ja2+(3a)2=10a.VPC2+CD2=(、3a)2+(y5a)=8a2<(、；10a)2.•.cosZPCDVO,则ZPCD>90。・•.作PE丄CD于E,E在DC延长线上，连AE,由三垂线定理的逆定理得AE丄CD,ZAEP为二面角P—CD—A的平面角.V5在RtAAED中ZADE=arcsin—,AD=3a.V53(5・AE=AD・sinZADE=3a・一5=5a.

PA在RtAPAE中，tanZPEA=aAEaZAEP