高中数学：第三章 三角恒等变换疑难规律方法 Word版含答案 -1

技巧点拨qi三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧一、利用条件中的角表示目标中的角例1已知cos（6+j=斗3，求心（普一a）的值.分析将6+a看作一个整体，观察6+a与活~a的关系.(6+a)+伴-a)=n••罟一宀一（6+a•cos=-COS•cos=-COS专+«)=-¥，即cos二、利用目标中的角表示条件中的角sin3a13例2设a为第四象限角，若證=扌，则tan仆¥中，首先求出cos2a的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2a.分析要求tan分析要求tan2a的值，注意到sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina,代入到sin3asina=sin(2a+a)sin2acosa+cos2asinasinasina=2cos2a+=2cos2a+cos2a=132cos2a+cos2a=1+2cos2a=13.•.cos2a=4.3nTa为第四象限角，..2kn+^<a<2kn+2n(k£Z),4kn+3n<2a<4kn+4n(k£Z),••・2a可能在第三、四象限，4又•cos2a=5,•.2a在第四象限，.•33•«sin2a=—5,tan2a=—4.3★答案★—4三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3已知sin(f—J=1|，0<x<4，求\的值.cos|^+xJ分析转化为已知角(4一J的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现许一J这个角的三角函数.sin(2+2』2sin(^+Jcos(4+J解原式=品打cos討他J(nJ=2sin^十x丿=2cos(j—耳，(nJ5日nnAnJTsinlj—xj=13，且0<x<4，.•.4—4丿..cos1213,.cos1213,.•原式=2X12=2413=13.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4求函数夬朗=1J’sin(x—20°)—cos(x+40°)的最大值.分析观察角(x+40°)-(x-20°)=60°,可以把x+40°看成(x-20°)+60。后运用公式展开，再合并化简函数f(x).

1—迈解fx)=2sin(x—20°)—cos[x—20°+60°]=*sin(x—20。)一¥sin(x—20。)一cos(x—20°)cos60°+sin(x—20°)sin60°=1[sin(x-20°—cos(x—20°]=寻鞘一65°),2当x—65°=k・360°+90°,即x=k・360°+155°(kGZ)时，y(x)有最大值专2方法活用4方法活用42三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．一、灵活降幂例1例13—sin70°_2—cos210°解析3—sin70°_3—sin70°_3—cos20°_解析2—cos210°1+cos20°3—cos20°2222★答案★2点评常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin20+cos20=1进行降幂：如COS40+sin40=(cos20+sin20)2—2cos20sin20=1—gsin220，等等.二、化平方式例2化简求值：12解n,所以cos«>0,sin^12解n,所以cos«>0,sin^>0,1+cos2a22—2cosa=.asmj点评一般地，在化简求值时，遇到1+cos2a、1—cos2a、1+sin2a、1—sin2a常常化为平方式：2cos2a、2sin2a、(sina＋cosa)2、(sina—cosa)2.三、灵活变角例3已知sin(?—a)_3，则cos建+2a)_.解析cos俘+2a)_2cos2(3+a)—1

=2sin2(6—aj—1=2X匕丿2—1=—9-7★答案★—9点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角"n_a"表示待求角“2n+2a”，善于发现前者和后者的一半互余．四、构造齐次弦式比，由切求弦例4已知tane=——2,则]d爲的值是•cos2ecos20—sin20牛1+sin2ecos2e+sin2e+2sinecose1—tan21—tan201+tan20+2tane1-41+!+2X口n=3.★答案★3cos2e点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“]+sin2e”化为关于sine和cose的二次齐次弦式比．五、分子、分母同乘以2nsina求cosacos2acos4a・cos8a・・・cos2n—・a的值n2n3n4n5n4n8n;yjcosjjcos8n5ncosjjcos5n11例5求cosyposyycosypos1ycos5n11牛军原式=—cos*cos普cosnn2n4n—24sm1jcos1ycosyycos乔24sin11.16n5n—sin11cos11.5n5n1.10nsin]]Cos112，sm1124sin+24sinh24sin+sin112525sinyj32点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.技巧点拨q技巧点拨q3聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y=A一、化为y=Asin(ex+y)+B的形式求解2－sin2x2－sin2x解原函数变形得沧)」m2X+c0T)2；Sin22－sin2x=gsin2x+2・_3=1maxmin=4-例2求函数y=sinx+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.解原函数化简得y=sin2x+cos2x+2=\：2sin（2x+4）+2.n35当2x+n=2^n+^n,kWZ，即x=kn+§n,k^Z时，尹罰=2—迈.f5〕此时x的集合为<xx=kn+§n,kwZ>.点评形如y=asin2ex+bsinexcosex+ccos2ex+d（a,b,c,d为常数）的式子，都能转化成y=Asin（2ex+y）+B的形式求最值.二、利用正、余弦函数的有界性求解例3求函数y=2sinx_］的值域•解原函数整理得sinx=和.•••|sinx|•••|sinx|Wl,・•・y+1Wl,解出y<3或y±3.・函数的值域为<yyW§或y23>.例4解原函数整理得sin例4解原函数整理得sinx—ycosx=—4y—3,•・・|sin(x+0)|Wl,解不等式|*1詈卜1得—12—26一一一12+26—方—X—方—点评对于形如y=a点评对于形如y=asinx+bcsinx+dasinx+b的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界ccosx+d性去求最值．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5设关于x的函数y=cos2x~2acosx~2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.解y=cos2x—2acosx~2a=2cos2x—2acosx—(2a+1)=2(cosx-1)2-岸+2a+l)当a<—1,即a<—2时，f(a)=ymin=l,此时cosx=—1.aa2a当一lW^Wl,即一2WaW2时，,f(a)=ymin=—2—2a—1,此时cosx=2-当2>1，即a>2时，f(a)=ymin=l—4a，此时cosx=1.1，a<—2，、<1综上所述，f(a)=—^a2—2a—1，—2WaW2，1—4a，a>2.点评形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数可转化为二次函数y=a/2+bz+c在区间［—1,1］上的最值问题解决．例6试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最值.解设sinx+cosx=t，t^［—'2,'2］，则2sinxcosx=t2—1，原函数变为y=t2+t+l,［一迈‘返］,13当t=—2时，ymin=4；当t=，，2时，ymax=3+\2点评一般地，既含sinx+cosx(或sinx—cosx)又含sinxcosx的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sinx+cosx=t,则sinxcosx=g(t2—1)；sinx—cosx=t,则sinxcosx=g(1—12).四、利用函数的单调性求解例7求函数尹=巴+¥严的最值.sin2x+4sinx+3(sinx+2)2—1牛ysinx+2sinx+2=sinx+2—sinx＋2令t==sinx+2—sinx＋2令t=sinx+2,则t^［1,3］,;y=t—|.利用函数单调性的定义易证函数y=t—-1在［1,3］上为增函数.故当t=1，即sinx=—1时，ymin=0；8当t=3，即sinx=1时，ymax=3-例8在Rt^ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a,ZABC=0,△ABCP的面积为F,正方形面积为Q.求Q的最小值.11a解AC=atan3,P=2AB・AC=2°2tan0.设正方形的边长为x,AG=xcos0,BC=cosgBC边上的髙h=asin0,…AGh—xxcos0asin0—x°AB=h，卩a=asin0'•»x=asin01+sin0cos0,a2sin20Qx2(1+sin0cos0)2从而P=sin0(1+sin0cos0)2从而Q=2cos0'sin20(2+sin20)2+4sin20=1(sin20+I4+易知函数y=7+j在区间（0,1］上单调递减,从而，当sin20=1时0min94.点评一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决．易错警示单调性巧妙解决．易错警示44行百里者半九十《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1已知sina=¥,sin〃=+0,a和“都是锐角，求a+0的值.［错解］因为a和B都是锐角，且sina=¥，sin10所以cosa=cos片3f,sin（a+〃）=sinacos〃+cosasinB=逅乂巫丰虫5乂迈=T2=5x10十5x10=2-因为a,”丘（0，2），则a+Be（0，n）.n3n所以a+B=4或才・［剖析］由sina=考,sin〃=晋，a和B都是锐角，可以知道a和B都是定值，因此a+B也是定值，因此上述解法出现两个★答案★，其中就有一个是错误的.这是因为sin（a+B）在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos（a+B）的值.10［正解］因为a和B都是锐角’且sina=-5，sinB=片0，所以cosa=，cos#=儿cos(a+B)=cosacosB_sinasin“二2^5*310nn因为a，BW（0,2），所以a+Be（0，n），所以a+B=j.温馨点评根据条件求角，主要有两步：（1）求角的某种三角函数值；（2）确定角的范围，从而确定所求角的值•完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2已知tan2a+6tana+7=0,tan2“+6tanB+7=0,a,Be（0，n）,且a上B，求a+B的值．［错解］由题意知tana，tanB是方程也十6兀十7=0的两根，由根与系数的关系，得

TOC\o"1-5"\h\z「tan«+tan〃=一6,①<tan«tan〃=7,②,tan«+tanB—6•••tan（a+〃）=1一tanatan“=口=*.*0<a<n,0<B<n,0<a+B<2n,n、5.°.a+B=4或a+B=4n.［剖析］由①②知tana<0,tanB<0,角a,B都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.,「tana+tanB=—6,易知tana<0，tan易知tana<0，tanB<0.tanatanB=7Va,BG（0，n）..n.，.n.，2<a<n,n<B<n,.*.n<a+B<2兀又Vtan(a+B)=1,.a+B=4n.温馨点评在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大•解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.三、忽略三角形内角间的关系而致错35例3在厶ABC中，已知sinA=J,cosB=73，求cosC.［错解］由sinA=5，得cosA=±5，由cosB=由cosB=513得sinB=1213,4当cosA=5时,65.cosC=—cos（A+B）=sinAsinB一cosAcosB65.4当cosA=—5时,cosC=—cos(A+B)=sinAsinB—cosAcosB=6^・［剖析］在AABC中，三个内角A,B,C的和为n,解题时要充分利用这一定理•本题得到44cosA=±5后，没有对cosA=—5这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.［正解］由cosb=］53>0,且sinB=34由sinA=5，得cosA=±5,2n・・A>亍lz2n・・A>亍当cosA=—5时，cosAv—2,TsinB=|3>23,BW(O，2)，4故当cosA=—5时，A+B>n,与A,B是AABC的内角矛盾.4•：cosA=5,cosC=—cos(A+B)=sinAsinB—cosAcosB=£.温馨点评涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A+B+C=180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现四、忽略三角函数的定义域而致错例4判断函数沧尸苒爲二耕:的奇偶性・［错解］f(x)=1十sinx—cosx1十sinx十cosx1+2sin2cos2一(1—2sin22,xXx1+2sin2cos2+(2cos22—12sin2(cos2+sin2)=tan,(.x,x)22cos2(sm2十cos刃由此得f—x)=tan(—2)=—tan2=一fx)因此函数fx)为奇函数.［剖析］运用公式后所得函数fx)=tan§的定义域为{x|xWR,xM2kn+n,kWZ}.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错［正解］事实上，由l+sinx+cosxMO可得sinx+cosxM—1,即\；2sin卜+4Jm—1,从而sin’+4)M—n5nn7n所以x+4工2kn+才且x+4工2kn+工'(k^Z),故函数夬x)的定义域是-3n*xx工2kn+n且x工2kn+?,k^Z>,显然该定义域不关于原点对称．因此，函数夬x)为非奇非偶函数.温馨点评判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.五、误用公式asinx+bcosx=\；a2+b2sin(x+0)而致错例5若函数fx)=sin(x+0)+cos(x—0),x^R是偶函数，求0的值.［错解］•:fx=sin(x+0)+cos(x—0),.°.f(0)=sin0+cos0=\/2sin(0+4)Tfx)=sin(x+0)+cos(x—0)是偶函数.・•・|f(0)|=^x)max—2../O)=迈sin(0+4)=士迈，(n\nn・.sin(0+4J=±l,.•.0+4=kn+2,k^Z.n即0=kn+4，k^Z.［剖析］Vx+0与x-0是不同的角.・•・函数fx)的最大值不是迈，上述解答把fx)的最大值误当作V2来处理.［正解］*/f(x)=sin(x+0)+cos(x—0)是偶函数.・.fx)=f—x)对一切x^R恒成立.即sin(x＋0)＋cos(x—0)=sin(—x＋0)＋cos(—x—0)恒成立..［sin(x＋0)＋sin(x—0)］＋［cos(x—0)—cos(x＋0)］=O..2sinxcos0＋2sinxsin0=O恒成立.即2sinx(cos0＋sin0)=O恒成立..cos0＋sin0=O.*.*cos0+sin0=p2sin(0+4)=0.nn0+4=kn，即0=kn—4,k^Z.温馨点评注意公式asinx+bcosx=\r(a2+b2)・sin(x+y)的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.例如：函数fx)=sin(x+0)+\r(3)cos(x—0)(xWR)的最大值不是2.

思賂点拨q思賂点拨q5平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想．这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解．一、平面向量平行与三角函数交汇例1已知a=(2cosx+2"../3sinx,1),b=(y,cosx),且a〃b.若夬兀)是y关于x的函数，则f(x)的最小正周期为．解析由a〃b得2cos2x+2p3sinxcosx—y=0,即y=2cos2x+2\3sinxcosx=cos2x+\；3sin2x+1=2sin(2x+6)+1，所以fx)=2sin(2x+6)+1,2n所以函数fx)的最小正周期为T=e=n.★答案★n点评解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解．二、平面向量垂直与三角函数交汇例2已知向量a=(4,5cosa),b=(3,—4tana),aW(0,申)若a丄b,则cos(2a+4)=.解析因为a丄b,所以4X3+5cosaX(—4tana)=0,3解得sin3解得sina=g.又因为aW2)所以cosa=5.c12417迈50cos2a=1—2sin2a=25,sin2a=2sinacosa=17迈50于是cosn于是cos=cos2acos4—sin2asinj=★答案★点评解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理．三、平面向量夹角与三角函数交汇n例3已知向量加=(sin0,1—cos0)(0＜衣n)与向量n=(2,0)的夹角为3，则0=,解析由条件得m=\''sin20+(1—cos0)2=72—2cos0,

|n|=|n|=2,mn=2sin3,于是由平面向量的夹角公式得cos2sin3mn3—|m||n|—2冷2—2cos3—2'整理得2cos23—cos3—1=0,解得cos3=—2■或cos3=1（舍去）.因为0<因为0<3<n，所以3=2n亍★答案★23n点评解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式,然后由三角函数的知识求解．四、平面向量的模与三角函数交汇例4若向量a=（cos3,sin3）,b=（寸3,—1）,则|2a—b|的最大值为.解析由条件可得|a|=1,|b|=2,ab=i；3cos3—sin3,则12a—b|=l：|2a—b|2=\；4a2+b2—4ab=\''8—4（\/3cos3—sin3）=8—8cos（3+6）W4,所以|2a—b|的最大值为4.★答案★4点评解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a|2=a2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解．五、平面向量数量积与三角函数交汇（nn6%+寸（一2<%<10）的图象与x轴交于点力，过点A的直线l与函数fx）的图象交于B，c两点，则（5B+5C）等于（）A．—32B．—16C．16D．32解析由fx）=0,解得x=4,即A（4,0）,过点A的直线l与函数fx）的图象交于B,C两点，根据对称性可知，a是bc的中点，所以OB+OC—2OA,所以（OB+OC）・OA=2OA・OA=2|OA〔2=2X42=32.★答案★D点评平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出