工程力学8-刚体的平面运动课件

12一、平面运动的定义

在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。§8-1刚体平面运动概述合成

分解刚体的平行移动刚体的定轴转动简单运动刚体的平面运动复杂运动3例如:

曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB

杆的运动既不是平移也不是定轴转动，而是平面运动。理论力学5二、平面运动的简化

刚体的平面运动

到固定平面Ⅰ的距离不变平面图形S在与Ⅰ简化平行的平面Ⅱ内运动

平面图形S在其

自身平面内的运动

研究平面运动

不需考虑刚体的形状和尺寸，只

需研究平面图形的运动，确定平

面图形上各点的速度和加速度。理论力学6

三、平面运动方程

为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。

任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示。因此图形S

的位置决定于

xA,

yA,

三个独立的参变量。所以理论力学7

xA

f1(t)

平面运动方程

yA

f2(t)

f3(t)

对于每一瞬时

t

，都可以求出对应的

xA,

yA,，

图形S

在该瞬时的位置也就确定了。四、平面运动分解为平移和转动

当图形S

上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动；

当图形

S上角不变时，则刚体作平移。

故刚体平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。理论力学8

车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平移和相对车厢的转动的合成。车轮对于静系的平面运动（绝对运动）动系Ax

y

相对静系的平移

（牵连运动）车轮相对动系Ax

y

的转动

（相对运动）例如车轮的运动三种运动都是刚体运动理论力学9随基点A的平移绕基点A'的转动我们称动系上的原点Ａ为基点，于是

刚体的平面运动可以分

解为随基点的平移（牵

连运动）和绕基点的转

动（相对运动）。

车轮的平面运动理论力学10②

以B为基点:

随基点B平移到A''B'后,

绕基点转①以A为基点:

随基点A平移到A'B''后,

绕基点转

1角到A'B'；2角到A'B'。图中看出：AB

A'B''

A''B'

，1

2

；于是有

lim

lim

;

,

t0再例如:

平面图形S在t

时间内从位置I运动到位置II理论力学11刚体的平面运动分解合成

基

点

随基点的平移运动规律与基点的选择有关任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点

绕基点的转动

、与

基点无关

运动规律与基

点的选择无关理论力学13根据速度合成定理va

ve

vr,

则Ｂ点速度为：vB

vA

vBA

一、基点法（速度合成法）

已知：图形S内一点A的速度vA

，

图形角速度。求

vB

。

取A为基点,

将动系铰结于A点，

动系随基点作平移。

取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对

运动为圆周运动的合成，va

vB;ve

vA;vr

vBA,

其中vBA大小：vBA=BA·

；垂直BA并指向与

转向一致。§8-2平面图形内点的速度分析理论力学14AB上投影，有vBAB

vAAB—速度投影定理平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。这种求解速度的方法称为

速度投影法。（对任意一个刚体均成立）

即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称为速度合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。

二、速度投影法（对任意一个刚体均成立）

由于A,

B点是任意的，因此

vB

vA

vBA

表示了图形上任

意两点速度间的关系。由于恒有

vBAAB

，因此将上式在OABx已知：vA，AB=l，求：B端的速度以及AB的角速度y解：AB作平面运动OAB已知：OA匀角速度转动，求：当时，点B的速度解：AB作平面运动二、速度投影定理沿AB连线方向上投影同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。ABOABx已知：vA，AB=l，求：B端的速度以及AB的角速度y解：AB作平面运动由速度投影定理OAB已知：OA匀角速度转动，求：当时，点B的速度解：由速度投影定理AB作平面运动理论力学15.

三、速度瞬心法

1.问题的提出

若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化。于是，自然会提出，在某一瞬时图形（或其扩展部分）是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？

2.速度瞬心的概念

平面图形S，某瞬时其上一点A速度vA

,

图形角速度，沿vA

方向取半直线AL,

然后

o

度

AP

vA/

则：vPvAvPA

vPA

AP

vA

,

方向PA,

恰与vA反向

所以

vP

0理论力学16

即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。

3.几种确定速度瞬心位置的方法①

已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚

动（称为纯滚动）,

则图形与固定面的接

触点P为速度瞬心。②

已知某瞬间平面图形上A,B两点速度vA,vB

的方向，且vA

不平行

vB

。

过A,

B两点分别作速度

vA,vB的垂线,交点

P即为该瞬时的速度瞬心。17vA

vB

AB

vA

vB

AB

,

(a)

vA

与vB同向，

(b)

vA

与vB

反向

理论力学③

已知某瞬时图形上A,B两点速度

vA,vB

的大小,且

vAAB,

vBAB(b)(a)ABOPvAABvBP理论力学18

④

已知某瞬时图形上A，B两点的速度方向相同，且不与

AB连线垂直。此时,

图形的瞬心在无穷远处，图形的角

速度

=0。于是

图形上各点的速度在该瞬时相等,

这种情况称为瞬时平移。

特别注意瞬时平移在此瞬时各点的速度相等，刚体的角速度为零，但各点的加速度并不相等，角加速度不等于零。OvAABvB理论力学19而

aA

的方向沿AO的，

BaaA

瞬时平移与平移不同n例如:

曲柄连杆机构在图示位置时，连杆AB作瞬时平移。

此时连杆AB的图形角速度AB0

，

此瞬时AB

杆上各点的速度都相等。

但各点的加速度并不相等。设为匀角速，则

aA

aA

OA2()OvAABvBP

vA理论力学20确定瞬心的一般方法：AB

vA

vBA

vBB

PAB

vA

vBA

vA

P

BvBAB

vA

vB

P理论力学21４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。

平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。

若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度

大小

vAAP

；方向AP，指向与

一致。

５.注意的问题

①速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不

断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。

②

速度瞬心的速度为零,

其加速度一定不为零，不同于定轴转动。

③刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各点的加速

度是一定不相同的，不同于刚体作平移。OABx已知：vA，AB=l，求：B端的速度以及AB的角速度y解：AB作平面运动，作出速度瞬心CCOAB已知：OA匀角速度转动，求：当时，点B的速度解：AB作平面运动，作出速度瞬心CC理论力学23ABvBA/ABl/l

（）

[例2]

已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，

取柄OA以匀

转动。求：当

=45º

时,

滑块B的速度及AB杆的角速度。解：机构中，OA作定轴转动，AB作

平面运动，滑块B作平移。

基点法

研究

AB，以

A为基点，且vA

l

,

方向如图示。

根据

vBvAvBA,

在Ｂ点做

速度平行四边形，如图示。

vB

vA/cos

l/cos45

2l()

vBAvAtgltg45l理论力学24）

AB

vA/APl/l（

vB

BP

AB

2l()

试比较上述三种方法的特点。vAvBcosvBvA/cos速度投影法

研究AB,

方向OA,

vB方向沿BO直线

根据速度投影定理

vBAB

vAAB

l/cos45

2l()

不能求出AB

速度瞬心法

研究AB，已知vA,vB

的方向，因此可确定出P点为速度瞬心

vAl,APl理论力学27CABD[例4]图示曲柄连杆机构中连杆AB上固连一块三角板ABD，机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2时，AB∥O1O2

，且AD与AO1在同一直线上，

=30º

。试求三

vD

D

解：运动分析：O1A和O2B作定轴转动；vA

A

CACO

1

O

1A0.1866m

O2

CACD

CA

AD

0.2366mvD

CDABD

0.254m/sAB

vB

r理论力学28[例5]

图示机构，已知曲柄OA的角速度为，角a

=

b

=

60º,OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，求滑块C的速度。解：AB和BC作平面运动，11其瞬心分别为P1和P2点，则

vA

OA

r

vA

r

PA

r

vB

PBAB

r213BC

P

B

3r2

33rvC

PCBCOAB

bO1CP1vA

aAB

vBvCP2BCABvA

r

2

3rrl

2

3r

3

O

理论力学3011解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则

PA

ABcos30

3l

vB

PBAB

ABsin30

AB

2

3l

3[例6]

曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度转动，AB

=

BC

=

BD

=

l，当曲柄与水平线成30º

角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30º

角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C

的速度。vCBC

vA

A30ºP2BC连杆BC作平面运动，瞬心在P2点，则2

vBPB3r

3lBC23r

3vC

PCBC

D30º

P

AB1

vB理论力学31AOBC

D30º30ºvAvBvCP1ABP2BC

特别提示每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度，并且瞬心在刚体或其扩展部分上，不能认为瞬心在其他刚体上。

例如,

AB杆的瞬心在P1点，BC杆的瞬心在P2点，而且P1也不是DB杆上的点。

2

3

rad/s

(理论力学33122

7mPO2

OB2

2POOBcos120

22

42

224PBvB

PB

2

72

3

4

2118.3

m/s(

PB)）[例7]

平面机构中,

楔块M:

a

=30º,v=12cm/s

;盘:

r

=

4cm

,

与

楔块间无滑动。求圆盘的及轴O的速度和B点速度。

解：杆OC,

楔块M作平移,圆盘作平面运动，

由vA及vO方位可确定P为盘的速度瞬心。

vAv12cm/s

,

vA

12

12

PA

rcosa

4cos300

voPOrsina4sin302

34

3

m/s()理论力学34比较上述两图可以看出，不能认为圆轮只滚不滑时，接触点就是瞬心，只有在接触面是

固定面时，圆轮上接触点才是速度瞬心。理论力学56一、概念与内容

1.刚体平面运动的定义

刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。

2.刚体平面运动的简化

可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平

面内的运动代替刚体的整体运动。

3.刚体平面运动的分解

分解为随基点的平移（平移规律与基点的选择有关）

与绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）。

4.基点

可选择平面图形内任意一点，通常是运动状态已知的点。第八章刚体平面运动习题课理论力学575.速度瞬心(瞬心)

任一瞬时，平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点，瞬心位置随时间改变，即瞬心有加速度。

每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动。这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同。

瞬心位于无穷远处，

=0。各点速度相同，

刚体作瞬时平移，瞬时平移与平移不同。6.刚体定轴转动和平面平移是刚体平面运动的特例。7.求平面图形上任一点速度的方法基点法：速度投影法：A为基点vB

vA

vBA

,vBAB

vAAB

速度瞬心法：

vB

BP

,vBBP,与

一致.P为瞬心其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例。理论力学59二、解题步骤和要点

1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式。注意每一次的研究对象只是一个刚体。

2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度(图形角速度)问题的方法,

用基点法求加速度(图形角加速度)。

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。

(基点法:

恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；

速度投影法:只能求速度的大小，不能求出图形的

;

速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。刚体的平面运动习题课求平面运动刚体的瞬心AB的速度瞬心为B求平面运动刚体的瞬心AB的速度瞬心在无穷远处woAB设平面图形的角速度为，角加速度为，当平面图形作瞬时平移时，有

。(A)(B)(C)(D)正确答案是：C刚体作平面运动，某瞬时平面图形的角速度为

，角加速度为

，则其上任意两点A、B的加速度在A、B连线上的投影__。（A）必相等；（B）相差AB·2

；（C）相差AB·

；（D）相差（AB·2

＋AB·）正确答案是：B某一瞬时，作平面运动的平面图形内任意两点的加速度在此两点连线上投影相等，则可以断定该瞬时平面图形____。（A）角速度＝0

；（B）角加速度＝0

；（C）

、

同时为零；（D）

、

均不为零。正确答案是：A如图所示，菱形平面图形上A、B

两点的加速度大小相等、方向相同，则该平面图形的角速度及角加速度为

。(A)(B)(C)(D)正确答案是：A正确答案是：正确答案是：求：该瞬时点B的速度、加速度；杆AB的角速度、角加速度。已知：曲柄OA=r=0.5m，以匀角速度转动，，；图示瞬时OA水平，AB铅直，解：AB作平面运动已知：曲柄滚轮机构，纯滚动滚子半径OA=R=15cm,=2πrad/s。求：=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ解：AB作平面运动，根据速度投影定理已知：OA=0.15m,ω=10πrad/s,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平。求：该瞬时的vD解：AB作平面运动BD作平面运动平面机构如图所示，已知OA=r，在图示位置时，φ=300

，杆OA的角速度为0

，角加速度为零，求此时滑块B的速度和加速度。正确答案是：

在四连杆机构OABO1中，

。O1B杆以角速度作逆时针方向匀速转动。当时，O1B正好在OO1的延长线上。试求此瞬时：（1）AB杆的角速度和角加速度；（2）OA杆的角速度和角加速度。

如图所示，均质杆AB在铅直面内绕A轴转动，推动均质圆盘在水平面上作纯滚动。若已知圆盘在图示位置（）时的角速度为，角加速度为，且圆盘半径为R，则杆AB在此瞬时的角速度为

；角加速度为

。正确答案：正确答案是：理论力学60[例1]

导槽滑块机构理论力学61[例1]

导槽滑块机构

已知

曲柄OA=

r

,

匀角速度

转动,

连杆AB的中点C处连接

一滑块C可沿导槽O1D滑动,

AB=l,图示瞬时O,A,O1三

点在同一水平线上,

OAAB,

AO1C=

=30。

求：该瞬时O1D的角速度。

解：OA,

O1D均作定轴转动,

AB作平面运动

研究AB:

vA

r

，图示位置,

作瞬时平移,

所以

vB

r;vC

vA

r

用合成运动方法

求O1D杆上与滑块C

接触的点的速度

动点:

AB杆上C

(或滑块C

),

动系:

O1D杆,

静系:

机架/sin理论力学62vvv绝对运动：曲线运动，a

vc

r

，方向相对运动：直线运动，

r

?

，方向//

O1D牵连运动：定轴转动，e

?

，方向

O1D

根据

va

ve

vr

，作速度平行四边形r

32

3r2l

3

2r

l2

veO1C

O1D

vevCcos

rcos30又ve

O1CO1D

（）

这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。理论力学63[例2]

平面机构理论力学64

[例2]

平面机构图示瞬时

O点在AB中点,

a

=60º,BCAB,

已知O,C在同一水平线上,

AB=20cm,vA=16cm/s

,

试求该瞬时AB杆,

BC杆的角速

度及滑块C的速度。解:

轮A,

杆AB,

杆BC均作平面运动,

套筒O作定轴转动,

滑块C平移。