几何证明-角平分线模型

几何证明——角平分线模型(高级)【经典例题】例1、已知如图，AABC中，BC=AC,AD平分/CAB，若/C=100。，求证：AB=AD+CD。例2、如图，已知在AABC中，/B=60。,AABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：AE+CD=AC。例3、如图，BD平分/ABC，ZADB=45。，AE±BC，求/AED.例4、已知，如图AABC中，AD为AABC的角平分线，求证：AB•DC=AC-BD.例5、如图，已知P为锐角△ABC内一点，过P分别作BC,AC,AB的垂线，垂足分别为D,E,F,BM为/ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N；如果PD=PE+PF，求证：CN是/ACB的平分线。例6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,ZABC=80。，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE,若ZACB=60。，/EBC=50。，求/EAC的度数.例7、已知：AABC中，AB<BC，AC的中点为M，MN±AC交/ABC的角平分线于N.(1)如图1,若/ABC=60。，求证：BA+BC=.吞BN；(2)如图2,若/ABC=120。，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明.【提升训练】1、在AABC中，AB>AC，AD是/BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC.

2、如图，在AABC中，/A等于60。，BE平分/ABC,CD平分/ACB，求证：DH=EH。3、如图所示，在AABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM±AD于M，求证：AB+AC=2AM。4、已知I是4、已知I是AABC内角平分线的交点，AI交对应边于D。求证:AI_AB+ACTDBC5、（1）如图，BD、CE分别是AABC的外角平分线，过点A作AF±BD，AG1CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，求证：FG=：（AB+BC+AC）。（2）若BD、CE分别是AABC的内角平分线（如图（2）），过点A作AF1BD，AG1CE，垂足分别为F、G，连接FG，线段FG与AABC三边有怎样的数量关系？；（3）若BD为/ABC的内角平分线，CE为AABC的外角平分线（如图（3）），过点A作AF1BD，AG1CE，垂足分别为F、G，连接FG，则线段FG与AABC三边又有怎样的数量关系？6、如图，已知BD，CE为AABC的角平分钱，F为DE的中点，点F到AC，AB，BC的距离分别为15FH=b，FM=c，若c2—FG=a，FH=b，FM=c，若c2—FG=a，（1）求a，b，c，m的值；（2）求证：DG=4（BC一CD）。.已知如图，CD是RtAABC斜边上的高，/A的平分线交CD于H，交/BCD的平分线于G,求证：HF//BC..如图，BD、CE为AABC的两条内角平分线，K为ED的中点，KFLAB于F,KG±AC于G,KH±BC于H,求证：KF+KG=KH.

9.已知AC9.已知AC=BC,"B=90。/DCB=15。BD=CD,CE±AD于点E,求证：BC=2CE..(1)如图1,BP为^ABC的角平分线，PM^AB于M,PN，BC于N,AB=30,BC=23,请补全图形，并求^ABP与ABPC的面积的比值；(2)如图2,分别以4ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,CD与BE相交于点O,判断NAOD与NAOE的数量关系，并证明；(3)在四边形ABCD中，已知BC=DC,且AB/AD,对角线AC平分NBAD,请直接写出NB和ND的数量关系..(1)已知：如图1,Rt^ABC中，NACB=90°,NBAC=60°,CD平分NACB,点E为AB中点，PELAB交CD的延长线于P,猜想：NPAC+NPBC=。(直接写出结论，不需证明).(2)已知：如图2,Rt^ABC中，NACB=90°,NBAC/45°,CD平分NACB,点E为AB中点，PELAB交CD的延长线于P,(1)中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由..如图1,分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN,且AM〃BN,NMAB、NNBA的角平分线交于点C,过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E.(1)求证：4ABC是直角三角形；(2)在图1中，当直线l^AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；(3)当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，(2)中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并选择一种情况给予证明..如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,CD，AB于D,AE平分NBAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点，且BF=CE,求证：FK〃AB..在AABC中，AD是NBAC的平分线.SAB(1)如图①，求证：-A4BD二一；SACAACD(2)如图②(3)如图③若BD=(2)如图②(3)如图③若AB=5,AC=4,BC=6.求BD的长..如图，在AABC中，NABC=90°,D为BC上一点，在4ADE中，NE=NC,N1=90°-NEDC.求证:(1)N1=N2；(2)ED=BC+BD．.如图，一个直角三角形纸片的顶点A在NMON的边OM上移动，移动过程中始终保持ABLON于点B,AC，OM于点A.NMON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.(1)点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由.(2)点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？(3)若NMON=45°,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可.不用证明..定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1,PH=PJ,PI=PG,则点P就是四边形ABCD的准内点.(1)如图2,NAFD与NDEC的角平分线FP,EP相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内点.(2)分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．(作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明)(3)判断下列命题的真假,在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点.(—)②任意凸四边形一定只有一个准内点.(—)③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.().如图，已知平行四边形ABCD中，AE平分NBAD交DC于E,DF，BC于F,交AE于G,且AD=DF.过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N.(1)若M为AG中点，且DM=2,求DE的长；(2)求证:AB=CF+DM..如图，在平行四边形ABCD中，NBAD、NABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G,AF与BG交于点E.(1)求证：AF^BG,DF=CG；(2)若AB=10,AD=6,AF=8,求FG和BG的长度.AB320、平行四边形ABCD中，--=-,/ABC的平分线交AD于点E,/BCD的平分线交AD于点F,BC4BE、CF交于点G，若FG=4BC。求证：BE2=3CF2。21、如图，在AABC中，D是/BAC外角平分线上一