电磁场与电磁波-第五章课件

第五章平面电磁波

电磁波：时变的电场与磁场在空间中以波的形式移动，可有效地传递能量。首先由麦克斯韦于1865年预测出来，而后由德国物理学家赫兹于1887年间在实验中证实存在。随时间变化的电荷、电流所激发的电场、磁场也随时间变化。随时间变化的电磁场简称为时变场。由麦克斯韦方程组可知，变化的电场和变化的磁场可以相互激发，从而时变电磁场可以脱离场源以波动的形式向远处传播。预言电磁波的存在是麦克斯韦方程组的重要成果之一。本章讨论电磁波被场源激励出来以后，远离场源在空间中的传播。该问题是无源空间中麦克斯韦方程组的解。我们首先由麦克斯韦方程组导出电磁波动方程，然后讨论平面电磁波在无界均匀介质中的传播特性。

5.1无源空间的电磁波动方程设空间充满各向同性非导电均匀介质，并且无电荷、电流分布。利用介质的本构方程，该无源空间的麦克斯韦方程组可写为对第一式取旋度，并利用第二式，有

再利用矢量恒等式以及

E的散度为零，可得同理可导出

上两式是齐次波动方程，这表明，在时变情况下，电场与磁场皆以波动的形式在空间传播。由麦氏方程可知，时变的电场和磁场可以互相激发。因此，时变电场和时变磁场构成不可分割的统一场——

电磁场，电磁场以波动的形式在空间传播，这就是电磁波。在真空中可得电磁波在介质中的传播速度为与标准齐次波动方程相比较可以说光也是电磁波.求解无源区域内的电磁波，通常采用下列形式的方程组：或麦克斯韦方程组波动方程波动方程麦克斯韦方程组即波动方程的解不一定是电磁波，需要验证或无源区域内的电磁波满足的方程组满足该方程组的每一个解都为一种可能存在的电磁波，其中最简单和最基本的形式是场矢量的分量随时间按正弦或余弦变化，称为时谐电磁场。时谐场可叠加成为任何周期性或者非周期性的的电磁场。5.2时谐电磁场的复数表示时谐电磁场场矢量的每一个坐标分量都随时间按正弦或余弦形式变化。时谐场在工程实践中最常用，而且，任何周期性或非周期性的电磁场都可以分解为许多不同频率的时谐场的叠加。以下只讨论时谐电磁场。5.2.1时谐电磁场量的复数表示

1．场量的复数表示在直角坐标系中，单一频率的时谐场电场强度的每一个分量为欧拉公式：振幅初相相位时谐量用复数表示更为方便：

于是有

为简便起见，采用记号来表示上式中方括号内的和：

称为电场强度复矢量，它仅是空间坐标的函数。这样，场强可表为

称为电场强度的复数表示。可见，在复数表示中，空间坐标与时间是分离的。这样有利于微积分运算。为书写方便，以后记复电磁场量时省去其上方的复数符号~，简写为

还常常省略

ejt，仅记为

E(r)。

同理，时谐场的其它场量D、B、H、J、，都可用复数类似地表示。[例5.2.1]

将下列场矢量的瞬时表示式、复数表示式互相变换。

先转换成为标准形式，后根据定义变换。解：转换成标准形式瞬时表达式：复数表达式：瞬时表达式：复数表达式：解：转换成标准形式瞬时表达式：复数表达式：解：转换成标准形式

2．复能量密度

复坡印廷矢量

电磁场的能量密度

和坡印廷矢量

S=EH

都是电磁场量的二次式，计算它们的瞬时值，只能代入场量的瞬时表达式，而不能用场量的复数表示代入计算后再取实部。在实际中，更有意义的是它们的时间平均值，时间平均值可以很方便地用复数表示。为此，先讨论时谐函数二次式求时间平均值的一般表达。设两个时谐函数分别为它们的乘积在一周期内的平均值为

显然有所以，时谐函数二次式对时间的平均值用复数表示为

因此，平均电场能量密度、磁场能量密度，平均坡印廷矢量以及平均损耗功率密度分别为：

上各式括号中的量分别称为复电场能量密度、复磁场能量密度、复坡印廷矢量和复损耗功率密度，它们均与时间无关，其实部分别为电场能量密度、磁场能量密度、坡印廷矢量以及损耗功率密度的时间平均值。

5.2.2场方程的复数形式

利用场量的复数表示以及微分、积分运算与复数的取实部可以交换顺序，可以得到，对于单一频率的时谐场，麦克斯韦方程组的复数形式为

5.2.2场方程的复数形式利用本构方程，在各向同性均匀非导电介质无源区域麦克斯韦方程组的复数形式变为无源区域内场方程的复数形式麦克斯韦方程组的复数形式5.2.2场方程的复数形式在各向同性均匀非导电介质无源区域麦克斯韦方程组的复数形式两边取旋度取同理可得得到时谐场复数形式的波动方程，也称为齐次亥姆霍兹方程。其中，k的大小是波数，表示长度内所具有的全波数目。或

因此，对于时谐场，在各向同性均匀介质的无源区域内，场方程复数形式为

5.2.3复介电常数和复磁导率

在时谐场作用下，表征介质电磁特性的参量

、一般为复数，且其实部和虚部都是频率的函数，即

式中，’、”、’、”

都是正数。复介电常数的虚部反映介质的极化损耗；复磁导率的虚部反映介质的磁化损耗。以极化为例来说明这一点。单位体积极化损耗功率的时间平均值为

复介电常数、复磁导率的幅角的正切称为损耗角正切，即

对于理想的无损耗介质，”

=0，”

=0。所以、为实数。对于导电介质，有

J=E，因此，H

的旋度写为

上式表明，导电介质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替，电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示，即

引入等效复介电常数后，导电介质的场方程与有损耗介质的场方程形式上完全相同。

5.2.4复坡印亭定理

将

E和H的旋度表达式代入，作体积分，并应用散度定理，有

上式即为复坡印亭定理。

时谐场情形下，由场量和场方程的复数形式，可以得到复数形式的坡印亭定理。利用矢量恒等式，有静电场的所以

等式右边实部体积分表示区域V中的总电磁损耗功率,其中是单位体积的平均导电损耗功率，后两项分别为单位体积的平均极化损耗功率和磁化损耗功率。总电磁损耗功率等于式左边面积分的实部所表示的通过封闭面流入区域中的平均功率。上式右边虚部表示的是流入区域中的无功功率，它不能转变为其他形式的能量。

而设介质的、为复数，电导率为，则有

5.3理想介质中的均匀平面电磁波均匀平面电磁波的等相位面为平面，且等相位面上各点的场矢量的方向和振幅都相等。严格地说，在物理世界中并不存在均匀平面电磁波。如果场点远离波源，实际的电磁波，无论是球面波还是柱面波，其波面上的一小部分就十分接近平面了。另外在数学上，无论是球面波还是柱面波，它们都可以表示为平面波的叠加。因此，均匀平面电磁波在理论和实践中都有着重要意义。

5.3.1均匀平面波解设无界空间中充满了各向同性均匀理想介质。建直角坐标系。在该坐标系中，电场复矢量表示为

解三个常微分方程，得

E满足矢量亥姆霍兹方程，因此，每个直角分量

Ei满足标量亥姆霍兹方程：

变量分离，令

，代入上方程，可得

于是有式中上式乘以

ejt

取实部，可得场强的瞬时表达式：

所以称为波矢量，其大小称为波数：

如右图所示。与

k

垂直的平面

S上，任一点的位矢在

k

上的投影都等于

rk，即对于

S上的任意点，有

同理可得，H的亥姆霍兹方程的均匀平面波解为

其瞬时表达式为

等相位面表达式两边对

t求导，可得平面电磁波的相速度

即

S是沿矢量

k

方向推进的等相位面，故表示沿

k

方向传播的均匀平面电磁波。

对均匀平面波场强表达式取散度，可得5.3.2均匀平面电磁波的特性1．E、H

的振动方向与电磁波传播方向之间的关系

因为

E=0，故

这表明电场强度矢量在垂直于传播的方向上振动。

可见，磁场强度矢量也在垂直于传播的方向上振动，并且

H与

E相互垂直。

综上可知，在无界空间传播的电磁波为横波，场矢量

E

和

H均与电磁波传播方向垂直，且

E与

H

相互垂直。这种波型称为

TEM

（TransverseElectromagnetic）波。

同理，由

H=0

可得

且有

仍有与上面相同的结论。2．E、H复振幅之间的关系由上述讨论可得，均匀平面电磁波电场和磁场复振幅的比值为

对于理想介质，为实数，这表明，E=H，即在理想介质中的传播的均匀平面电磁波，电场与磁场同相位。

具有阻抗的量纲，称为介质的波阻抗。真空的波阻抗为

3．相速度理想介质中的均匀平面波的相速为可见，相速度的表达式中不显含。如果介质的介电常数以及磁导率不是频率的函数，则相速度与频率无关。4．均匀平面电磁波的能量

对于各向同性理想介质中的均匀平面电磁波，电场、磁场的能量密度为均匀平面电磁波有电场、磁场的能量密度且对于各向同性理想介质中的均匀平面电磁波，电场、磁场的能量密度即在理想介质中，电场能量密度与磁场能量密度时刻相等。电场、磁场的平均能量密度为电磁场的总平均能量密度为均匀平面电磁波的平均能流密度为

根据平均能流密度和平均能量密度的关系，可得电磁能量传播速度的大小无界空间传播均匀平面电磁波的特性1．TEM波，场矢量E

和H均与电磁波传播方向垂直，且E与H

相互垂直。2．波阻抗为实数，电场与磁场同相位，且3．相速度4．电场能量密度与磁场能量密度时刻相等，相速=能速=群速。[例

1]

一均匀平面波传播方向沿z轴，电场振动方向沿x轴，写出电场磁场瞬时表达式和复数表达式，并画出示意图。

分析：[例

1]

一均匀平面波传播方向沿z轴，电场振动方向沿x轴，写出电场磁场瞬时表达式和复数表达式，并画出示意图。

解：[例

5.3.1]

理想介质中均匀平面电磁波的频率f=151018Hz，电场为试求(1)波的传播方向；

(2)波长、相速、理想介质的介电常数（设

=0）；

(3)电场振幅中的常数Ey0

；

(4)磁场强度表达式；

(5)通过与电磁波传播方向垂直的单位面积的平均功率。

分析：方向余弦(1)(2)(3)(4)(5)[例

5.3.1]

理想介质中均匀平面电磁波的频率f=151018Hz，电场为试求(1)波的传播方向；

(2)波长、相速、理想介质的介电常数（设

=0）；

(3)电场振幅中的常数Ey0

；

(4)磁场强度表达式；

(5)通过与电磁波传播方向垂直的单位面积的平均功率。

解：(1)

所以波矢量的三个方向余弦为

(2)

又因

，所以

(3)

所以(4)

(5)

所以，通过与电磁波传播方向垂直的单位面积的平均功率为

5.4导电介质中的平面电磁波

在导电介质中，电场将引起传导电流，这个传导电流会产生焦耳热，从而导致电磁波能量不断损耗。因此，导电介质中的电磁波是一种衰减波。此外，损耗还导致波阻抗、相速、能量和能流都与理想介质中的不同。

5.4.1

导电介质中自由电荷的分布

设导电介质中的电场为

E(r,t)，某区域内存在自由电荷分布

(r,t)。由麦克斯韦方程，有

在电场作用下，导体内将产生传导电流。根据欧姆定律，有

欧姆定律两边取散度，设介质均匀，即

、

皆为常数，利用

E

的散度表达式和电流连续性方程，有

解此微分方程，可得

可见，均匀导电介质中，电荷密度总随时间指数衰减。因此，即使在均匀导电介质中引入自由电荷，它将很快流散开去，最终停留在介质表面。故时变情形下，均匀导电介质内部电荷密度为零。

5.4.2

导电介质中的平面电磁波

导电介质中，=0，J=E。麦克斯韦方程组为

则

H的旋度表达式在形式上与理想介质中的相应方程完全一样，即

对于导电介质，引入等效复介电常数(这里仅考虑导电损耗)：

5.4.2

导电介质中的平面电磁波

引入等效复介电常数后，导电介质中场方程的复数形式

导电介质中的亥姆霍兹方程与理想介质中的亥姆霍兹方程形式也完全一样：其中

方程的平面波解为

则皆为复数，性质不同于理想介质中传播的电磁波。

导电介质中，平面电磁波的性质：(1)振幅沿传播方向指数衰减对于导电介质，k

是复矢量：

矢量

与

不一定同向。这里仅考虑它们同向的简单情况。设电磁波沿

z

方向传播，即

k=ezk=ez(-j)，则

可见，导电介质中，电磁波的振幅沿传播方向指数衰减。复波矢量的虚部描述波振幅的衰减，称为衰减常数；实部描述波传播的相位关系，称为相位常数。对式取平方，并利用，可得比较上式两边的实部和虚部，有

解得

和可如下求得：2．E

与

H不同相

电场和磁场的复振幅的比值为

而复波阻抗的模和幅角分别为

因为0，故0/4。可见，E

与

H

不同相，存在相差

EH=

。

如果电磁波沿

z方向传播、E

沿

x方向，则

E和

H的瞬时表达式分别为

3．相速度是频率的函数

可见，导电介质中，vp是

的函数，即不同频率的电磁波在导电介质中传播的相速不同，这一现象称为色散。导电性不仅导致了相速的降低，还导致了色散。也就是说，既使介质参数

、与频率无关，导电介质仍将发生色散。

可得，导电介质中平面电磁波的相速度为

4．磁场能量大于电场能量

导电介质中，电场、磁场平均能量密度分别为

可见，磁场平均能量大于电场平均能量。

平均坡印廷矢量为

由于导电作用，Sav

从两个方面被减弱了，一是由于场量振幅的衰减；二是由于

E与

H

的相位不同。

5.4.3

良导体

处于时变电磁场中的导电介质，其内部既存在传导电流也存在位移电流。若导电介质中的位移电流与传导电流相比较可以忽略，则称其为良导体。对于时谐场，位移电流，而传导电流

J=E。良导体条件表示为

若，则为不良导体；对于良导体，有

若，为良导体；，则称为电介质。

若

设电磁波从表面

z=0进入良导体，则在导体中深度为

z处，电场为

电导率越大、频率越高，电磁波进入导体后衰减就越快。因此，高频电磁波只能存在于良导体表面的一个薄层内，这一现象称为集肤效应。

即

定义电磁波场强衰减为表面处的

1/e时所透入的深度为穿透深度，用

表示，即

所以

对于理想导体，其电导率

∞，故

0，即电磁波不能进入理想导体。

【例5.4.1】一平面电磁波垂直向海里传播。海水的电磁参数为

r=80,r=1，

=4S/m。电磁波在紧切海平面(z=0)处的电场为求：(1)海水的损耗角正切，衰减常数，相位常数，波阻抗，相速，穿透深度；

(2)电场强度幅值减小为初值的十分之一时传播的距离；

(3)海平面下处电场和磁场的表达式，以及该处穿过单位面积的平均功率。【例5.4.1】一平面电磁波垂直向海里传播。海水的电磁参数为

r=80,r=1，

=4S/m。电磁波在紧切海平面(z=0)处的电场为求：(1)海水的损耗角正切，衰减常数，相位常数，波阻抗，相速，穿透深度；

(2)电场强度幅值减小为初值的十分之一时传播的距离；

(3)海平面下处电场和磁场的表达式，以及该处穿过单位面积的平均功率。解：（1）

，故该频率下海水可以视为良导体，所以

（2）规定海平面下

z>0，则距海平面为

z处的电场幅值为

E0e-z。由题意，令

e-z=0.1，得

(3)在海平面下

z处所以例1.微波炉磁控管输出2.45GHz的微波，该频率上牛排的求：1.牛排的趋肤深度。2.微波炉容器用发泡聚乙烯制作，其为何不会被烧毁。解：为不良导体热损耗小，不会被烧毁5.5

电磁波的极化

无界空间中平面电磁波是横波，因此有偏振现象。偏振也被称为极化。极化方式用电场矢量

E

的端点在垂直于波线的固定平面内的轨迹类型来表示：若

E

矢量端点轨迹是直线，称为线极化；若轨迹是圆，称为圆极化；若轨迹是椭圆，称为椭圆极化。设均匀平面电磁波沿

z方向传播，则

E在

xy平面内，其复数表达式为

相应的瞬时表达式为

联立上两式，消去

t，得到矢量端点的轨迹方程：

可见，矢量端点的轨迹取决于两分振动的相差

x-y

以及分振幅

Ex和

Ey。1.线极化若

Ex、Ey

同相，即

x-y=0，则有

I、Ⅲ

象限内过原点的直线。

上式表明，在给定的平面

z=z0上，矢量端点的运动可以分解为两个相互垂直的同频率简谐振动，其分振动分别为：

2．圆极化

若

x-y

=/2

，且Ex0=Ey0

=E0，有

任意时刻，矢量与

x轴的夹角

可见，E

矢量端点的轨迹为圆，E矢量的旋转角速度。“+”表示迎着传播方向观察，E

逆时针旋转，称为右旋圆极化波；“-”表示

E

顺时针旋转，称为左旋圆极化波。

若

Ex、Ey反相，即

x-y=

，则有

Ⅱ、Ⅳ象限内过原点的直线。2．圆极化

若

x-y

=/2

，且Ex0=Ey0

=E0，有

任意时刻，矢量与

x轴的夹角

可见，E

矢量端点的轨迹为圆，E矢量的旋转角速度。“+”表示迎着传播方向观察，E

逆时针旋转，称为右旋圆极化波；“-”表示

E

顺时针旋转，称为左旋圆极化波。

zxy

O右旋圆极化波zxyO左旋圆极化波3．椭圆极化

对于

x和

y、

Ex和

Ey之间为其他关系的情况，由式(5-5-4)可知，矢量端点的轨迹一般为斜椭圆。特别地，当

x-

y=

/2时，有

长短轴与坐标轴一致的正椭圆。

由上述讨论可知，无论何种极化波，都可以由两个极化方向相互垂直、具有恒定相差的线极化波叠加而成。

判断旋向的简单方法：右手的四指从相位超前的分量以小于的转角转向相位落后的分量，若拇指的指向与波的传播方向一致，则为右旋，反之为左旋。[例5.5.1]

判断下列电磁波的极化形式：解：(1)

电磁波沿

z方向传播，且

Ex、Ey相等，x-y=

/2，所以为右旋圆极化波。(2)Ex、Ey的相差为

，故为二、四象限的线极化波。

(3)

电磁波沿

y方向传播，

Ex0、Ez0

不相等，z

-x

=

/2，为右旋椭圆极化波。[例5.5.2]证明一个线极化波总可以分解为振幅相等、旋转方向相反的两个圆极化波。解：设线极化波的电场为，其极化方向与x

轴夹角为，则根据欧拉公式，有可得

上式第一项为右旋圆极化波，第二项为左旋圆极化波，它们的振幅均为E0/2。5.6

群速度

单一频率电磁波的传播速度为相速度。携带着信息的电磁波

(