第9章拉氏变换2课件

9.3拉氏变换的性质拉氏变换建立了信号时域和复频域之间的关系。信号的时域变化在复频域会有所反映，拉氏变换的性质体现了这种关系。其次，可以简化计算。许多与傅氏变换类似。需着重其收敛域的变化。1.线性则说明一般情况下，收敛域是的交。有可能公共区域是空的，这时它们的拉氏变换不存在。如果发生零极点抵消的情况，则收敛域可能会扩大。例1则的拉氏变换为收敛域是两者的公共部分

例2

则的拉氏变换为收敛域比两者的公共部分要大，这是因为在s=0处的极点被该处的零点抵消了。2.时域平移性质若则时域平移，在复频域乘以因子，乘以指数因子并不改变极点，故收敛域不变例利用时域平移性质则ROC为整个s平面，极点在相减过程中被抵消3.复频域平移性质若则乘以一个指数因子后，的收敛域应该是即例1

求的拉氏变换例2求解4尺度变换性质若则式中，a是一个不为零的常数尺度变换性质说明，信号在时域有一个尺度a的变换，在复频域内也有一个1/a的变换，并且幅度也变化。例1求的拉氏变换由时移特性由尺度变换特性例2收敛域如图9.13(a)所示，求a>0,a=-1,a<0时的收敛域。

解答如图9.13(b)-(d)。(a)(b)(c)(d)图9.13(a)ROC=R;(b)ROC:R1=aR(a>0);(c)ROC:R1=-R,(a=-1);(d)ROC:R1=aR,(a<0),5.卷积性质若则同傅立叶变换一样，时域卷积对应复频域乘积。收敛域同线性时类似。例则6时域微分则分子中的s有可能将s=0处的极点抵消，使收敛域扩大。例则收敛域s全平面7.时域积分若则积分实际上是x(t)和单位阶跃信号的卷积，对应复频域是相乘。例求图9.14(a)的拉氏变换有限信号，全s平面收敛先对x(t)求导，如图9.14(b),然后积分-10121x(t)-10121-1(a)(b)图9.14(a)x(t)的波形；(b)的波形有则由积分性质8.复频域微分性质若则在时域乘以自变量t，相当于在复频域对X(s)微分。对X(s)微分不改变极点位置，所以收敛域不变。例，求的拉氏变换重复使用微分性质，有9.复频域积分性质若则例，求的拉氏变换第二，可以看成单位阶跃函数的频移，有再利用复频域积分性质，10初值定理若因果信号x(t)存在拉氏变换，且存在则初值定理是说，因果信号x(t)在t=0时的值，可以在复频域求得，不需要求反变换。注意条件存在，要求在t=0时不能有冲击函数及其导数，这样才能保证有确定的初值（冲击函数幅度无限）证将x(t)在展开为泰勒级数两边取拉氏变换，有(注意)两边同乘以s，取极限11终值定理若因果信号x(t)存在拉氏变换，除了在s=0有一阶极点外，其余极点均在s左半平面，则终值定理是说，因果信号x(t)在t趋于无穷时的值，可以在复频域令s趋于零从sX(s)求得。在t趋于无穷时，x(t)不易求时方便。在s=0的一阶极点被抵消证时域微分性质的一般形式为由于是因果信号，代入定义式取是因为x(t)的微分有可能出现冲击信号令s趋于零，两边取极限sX(s)的收敛域在最右边极点的右边，在s=0处的一阶极点被抵消，所有极点都在s左半平面，收敛域包含s=0，交换次序应用定理时要求x(t)的终值存在，也即在正方向最终是衰减的。在复频域，这个要求与极点位置有什么关系？见图9-15例图9.15部分信号拉氏变换的极点分布与信号特性的关系9.4常用信号的拉普拉斯变换1利用尺度变换性质2应用复频域平移性质3应用复频域平移和尺度变换性质

先复频域平移，然后尺度变换若则有第一项收敛域第一项收敛域总收敛域是偶函数的拉氏变换也是偶函数若则总收敛域是奇函数的拉氏变换也是奇函数4.信号由复频域平移和线性性质复频域平移的实部为零，两部分都不变故总收敛域是5信号由于由复频域平移和线性性质9信号利用复频域微分性质再次利用复频域微分性质反复利用复频域微分性质当a=0时例7信号如图9-17所示，可以表示成x(t)T0T2Tt0Tt(a)(b)图9.17(a)例9.16中信号x(t)的波形；(b)例9.16中信号的波形时限信号，收敛域整个s平面则由时移和线性性质S=0为极点，x(t)是右边信号，故收敛域为9.5拉普拉斯反变换在进行系统分析时，需要求拉普拉斯反变换，需计算积分求解方法直接求复变函数积分，一般较困难通过留数方法求，（一般性方法，可应用于一些比较难求的情况，如X(s)是无理函数）部分分式展开，根据常用拉氏变换的结果与拉氏变换的性质（适用于有理函数）主要介绍部分分式展开方法有理拉氏变换的一般形式为其中，均为实数，m,n是整数，如果

m>n，用长除法可以将X(s)化成如下形式式中，F(s)的阶数低于D(s)，F(s)/D(s)称为有理真分式，可以用部分分式展开求拉氏反变换。前面各项拉氏反变换是冲击函数及其各阶导数。如果D(s)的根为单值根，则可以求得各系数为如果D(s)有重根，则式中，为其他单根的多项式，可以用前面的方法求，对于重根例1解例2解例3（）9.6连续时间LTI系统的复频域分析

9.6.1复频域分析连续时间LTI系统的时域分析法连续时间LTI系统的频域分析法知道系统单位冲击响应和输入，可以用时域和频域两种法求输出。连复频域分析与频域分析法类似，由卷积性质，得其中，称做系统函数或转移函数。知道两个，可以求另一个复频域分析与频域分析法相比，不仅可以分析稳定系统，