第二章 时域离散信号和系统的频域分析

第二章

时域离散信号和系统的频率分析第二章时域离散信号和系统的频域分析2.1Fourier变换的几种可能形式

时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换第二章时域离散信号和系统的频域分析连续时间、连续频率—傅里叶变换FT时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析连续时间、离散频率—傅里叶级数FS

时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换DTFT

时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续性质见书P29-35第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析离散时间、离散频率—离散傅里叶变换DFT

一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的第二章时域离散信号和系统的频域分析四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)第二章时域离散信号和系统的频域分析

周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入对上式进行抽样，得：

导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：连续的傅氏级数离散的傅氏级数第二章时域离散信号和系统的频域分析因是离散的，所以应是周期的。

代入而且，其周期为，因此应是N点的周期序列。第二章时域离散信号和系统的频域分析

又由于所以求和可以在一个周期内进行，即

这就是说，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。第二章时域离散信号和系统的频域分析二.的k次谐波系数的求法

1.预备知识第二章时域离散信号和系统的频域分析

同样，当时，p也为任意整数，则所以亦即第二章时域离散信号和系统的频域分析

的表达式将式的两端乘

，然后从n=0到N-1求和，则：第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析的DFS第二章时域离散信号和系统的频域分析

通常将定标因子1/N移到表示式中。即：第二章时域离散信号和系统的频域分析3.离散傅氏级数的习惯表示法

通常用符号 代入，则：正变换：反变换：第二章时域离散信号和系统的频域分析4.的周期性周期性：第二章时域离散信号和系统的频域分析其中，a,b为任意常数。二、DFS的性质1、线性如果则有第二章时域离散信号和系统的频域分析2、序列的移位则有：如果第二章时域离散信号和系统的频域分析证明：令i=m+n,则n=i-m。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以*和都是以N为周期的周期函数。第二章时域离散信号和系统的频域分析3、调制特性

如果

则有第二章时域离散信号和系统的频域分析证明：时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。第二章时域离散信号和系统的频域分析4、周期卷积和

1）如果则：证明从略。第二章时域离散信号和系统的频域分析2）两个周期序列的周期卷积过程（1）画出和的图形；（2）将翻摺,得到

可计算出：第二章时域离散信号和系统的频域分析m计算区mm0123第二章时域离散信号和系统的频域分析（3）将右移一位、得到可计算出：m第二章时域离散信号和系统的频域分析计算区mm0123m第二章时域离散信号和系统的频域分析（4）将再右移一位、得到，可计算出：第二章时域离散信号和系统的频域分析（5）以此类推，

第二章时域离散信号和系统的频域分析n1344计算区31第二章时域离散信号和系统的频域分析3.频域卷积定理如果，则证明从略。第二章时域离散信号和系统的频域分析DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识1.余数运算表达式如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是的解,或称作取余数,或说作n对N取模值,或简称为取模值,n模N。第二章时域离散信号和系统的频域分析例如：(1)(2)第二章时域离散信号和系统的频域分析

先取模值，后进行函数运作;而 视作将周期延拓。2.第二章时域离散信号和系统的频域分析二.有限长序列x(n)和周期序列的关系=,0nN-10,其他n周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。第二章时域离散信号和系统的频域分析如：N-1nx(n)0......n0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。第二章时域离散信号和系统的频域分析三.周期序列与有限长序列X(k)的关系

同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。

而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。第二章时域离散信号和系统的频域分析四.从DFS到DFT

从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。

因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。第二章时域离散信号和系统的频域分析,0kN-1,0nN-1或者：第二章时域离散信号和系统的频域分析五、

DFT的性质1、线性1）两序列都是N点时如果

则有：第二章时域离散信号和系统的频域分析2）和的长度N1和N2不等时，选择为变换长度,短者进行补零达到N点。第二章时域离散信号和系统的频域分析2、序列的圆周移位1）定义一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：

第二章时域离散信号和系统的频域分析n0N-1第二章时域离散信号和系统的频域分析n0周期延拓n0左移2第二章时域离散信号和系统的频域分析n0取主值N-1第二章时域离散信号和系统的频域分析2）圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。第二章时域离散信号和系统的频域分析12345n=0N=6第二章时域离散信号和系统的频域分析3、圆周卷积和1）时域卷积定理设和均为长度为N的有限长序列，且如果，则第二章时域离散信号和系统的频域分析证明：相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。将周期延拓：则有：第二章时域离散信号和系统的频域分析在主值区间，所以：N同样可证：N第二章时域离散信号和系统的频域分析2）时域圆周卷积过程N-10nN-10n第二章时域离散信号和系统的频域分析0m0m0m0m第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析0233211N-1nN最后结果：第二章时域离散信号和系统的频域分析4、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1）线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为第二章时域离散信号和系统的频域分析的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是不为零的区间.例如:1012n1012n3第二章时域离散信号和系统的频域分析m-1-2-3mm1012m第二章时域离散信号和系统的频域分析mn2103145233211012m第二章时域离散信号和系统的频域分析2）用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.的长度为,的长度为,先构造长度均为L长的序列,即将补零点;然后再对它们进行周期延拓，即所以得到周期卷积：第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为L。由于有个非零值,所以周期L必须满足:又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即第二章时域离散信号和系统的频域分析5、共轭对称性1）周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为同样，有第二章时域离散信号和系统的频域分析2）有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为由于所以

这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。第二章时域离散信号和系统的频域分析3）共轭对称特性之一证明：第二章时域离散信号和系统的频域分析4）共轭对称特性之二证明：可知：第二章时域离散信号和系统的频域分析5）共轭对称特性之三证明：第二章时域离散信号和系统的频域分析6）共轭对称特性之四证明：第二章时域离散信号和系统的频域分析7）共轭对称特性之五、六8）X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性第二章时域离散信号和系统的频域分析9）实、虚序列的对称特性

当x(n)为实序列时，根据特性之三，则

X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：

当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则

X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：第二章时域离散信号和系统的频域分析2.2z变换及相关性质时域分析方法变换域分析方法： 连续时间信号与系统

Laplace变换

Fourier变换 离散时间信号与系统

z变换

Fourier变换第二章时域离散信号和系统的频域分析一、z变换的定义及收敛域1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：z是复变量，所在的复平面称为z平面例：第二章时域离散信号和系统的频域分析2、z变换的收敛域与零极点对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。

级数收敛的充要条件是满足绝对可和第二章时域离散信号和系统的频域分析1）有限长序列第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析2）右边序列第二章时域离散信号和系统的频域分析因果序列

的右边序列，Roc:因果序列的z变换必在处收敛在处收敛的z变换，其序列必为因果序列第二章时域离散信号和系统的频域分析3）左边序列第二章时域离散信号和系统的频域分析4）双边序列第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析二、z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)第二章时域离散信号和系统的频域分析1、围线积分法（留数法）

根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而

其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。第二章时域离散信号和系统的频域分析

若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：第二章时域离散信号和系统的频域分析留数的计算公式单阶极点的留数：多阶极点的留数：第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析三、z变换的基本性质与定理1、线性若则第二章时域离散信号和系统的频域分析2、序列的移位若则第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析3、乘以指数序列若则证：第二章时域离散信号和系统的频域分析4、序列的线性加权（z域求导数）若则同理：第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析5、共轭序列若则证：第二章时域离散信号和系统的频域分析6、翻褶序列若则第二章时域离散信号和系统的频域分析7、初值定理证：因为x(n)为因果序列第二章时域离