第7章 无源网络综合

第7章无源网络综合第7章无源网络综合一、网络分析与网络综合的区别：1“分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是有解的)。而“设计”问题的解答可能根本不存在。第7章无源网络综合2“分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。3“分析”的方法较少，“综合”的方法较多。二、网络综合的主要步骤：按照给定的要求确定一个可实现的转移函数，此步骤称为逼近；(2)确定适当的电路，其转移函数等于由逼近所得到的函数，此步骤称为实现。第7章无源网络综合§7.1最小相位函数集总、线性、时不变元件构成的网络，其网络函数是复频率s的实系数有理函数。最小相位函数：在右半s平面无零点的转移函数。非最小相位函数：在右半s平面有零点的转移函数。如果一个转移函数的全部极点均在左半s平面。全部零点均在右半s平面，极、零点成对出现，且每一对极、零点对轴对称，则称该转移函数为全通函数。第7章无源网络综合§7.3正实函数1、正实函数定义：有理函数满足下列条件则是正实函数。当时，当时，定理7-1：当且仅当有理函数是正实函数时，才是可实现的无源网络的策动点函数。第7章无源网络综合下面用无源RLC网络论证定理7-1的必要条件

特勒根定理：

除+-无源RLC网络第7章无源网络综合第7章无源网络综合因此Z(s)是正实函数。

第7章无源网络综合正实条件(3)F(s)在轴上的极点是一阶的，且具有正实留数；(4)(2)D(s)、N(s)均为霍尔维茨(Hurwitz)多项式。定理7-2：当且仅当函数满足下列条件，

F(s)是正实函数：(1)当s是实数时，F(s)是实数；第7章无源网络综合霍尔维茨（Hurwitz）多项式的定义：如果多项式P(s)的全部零点均位于左半s平面，则称P(s)为严格霍尔维茨（Hurwitz）多项式。霍尔维茨（Hurwitz）多项式判别条件：设P(s)是一次的或二次的，如果它没有缺项且全部系数同符号，则是严格霍尔维茨（Hurwitz）多项式。两个或两个以上严格霍尔维茨（Hurwitz）多项式的乘积仍是严格霍尔维茨（Hurwitz）多项式。如果多项式P(s)的全部零点均位于左半s闭平面，且在虚轴上的零点是单阶零点，则称P(s)为霍尔维茨（Hurwitz）多项式。第7章无源网络综合霍尔维茨（Hurwitz）多项式判别方法：

罗斯-霍尔维茨数组检验法第7章无源网络综合例：罗斯-霍尔维茨数组如下：

P(s)是霍尔维茨多项式。第7章无源网络综合例：罗斯-霍尔维茨数组如下：P(s)不是霍尔维茨多项式。第7章无源网络综合例：P(s)是霍尔维茨多项式。第7章无源网络综合[例]判断下列函数是否为正实函数。(a)(e)(d)(c)(b)第7章无源网络综合正实条件(2)D(s)、N(s)的最高次幂最多相差1，最低次幂最多也相差1；(3)F(s)在轴上的极点是一阶的，且具有正实留数；(4)(5)D(s)、N(s)均为霍尔维茨(Hurwitz)多项式。定理7-2：当且仅当函数满足下列条件，

F(s)是正实函数：(1)D(s)、N(s)全部系数大于零；第7章无源网络综合(a)解:

显然满足(1)、(2)、(5)。又满足(3)、(4)

，是正实函数。(b)解：显然满足(1)、(2)。但不是正实函数。

不满足（3）。

(a)(b)第7章无源网络综合(c)分子与分母最高次方之差为2,不是正实函数。

(d)分子为二次式，不缺项且系数均为正，故为严格霍尔维茨多项式。

分母可写为故Z4(s)在轴上有两个单阶极点：

(d)(c)是正实函数。

第7章无源网络综合D(s)不是霍尔维茨数组。

因此不是正实函数。

(e)第7章无源网络综合一、LC一端口性质：

和是s的奇函数§7.4LC一端口（电抗网络）的实现

第7章无源网络综合对于任何有限实频率，上式右端均为正值，即第7章无源网络综合LC导抗函数的零极点分布图第7章无源网络综合LC导抗函数具有如下性质：（1）FLC(s)为奇函数，且是奇次（偶）多项式与偶次（奇）多项式之比。（2）分子与分母最高方次之差必为1（3）FLC(s)的全部极点和零点均为单阶的，且位于轴上。极点处的留数均为正实数。（4）在原点和在无限远处，FLC(s)必定有单阶极点或单阶零点。（5）对于任何，FLC(s)皆为纯虚数。（6）是的严格单调增函数，其极点和零点在轴上交替排列。1Z(s)或Y(s)为正实函数；2零、极点均位于轴上且交替出现。第7章无源网络综合二、

LC一端口的Foster（福斯特）实现

1、Foster第一种形式[串联形式，用Z(s)]

将电抗函数进行部分分式展开，然后逐项实现，这种方法称为福斯特实现。

第7章无源网络综合第7章无源网络综合2、Foster第二种形式[并联形式，用Y(s)]

第7章无源网络综合【例】5.2分别用Foster第一和第二种形式综合阻抗函数【解】(1)对Z(s)进行展开

第7章无源网络综合(2)对Y(s)进行展开

第7章无源网络综合三、LC一端口的Cauer(考尔)实现将给定的电抗函数展开为连分式，然后用梯形网络实现，这种方法称为考尔实现。Z1Z3Z5Y2Y4Y6第7章无源网络综合1Cauer第一种形式(特点：逐次移出处的极点。串臂为电感，并臂为电容)对的分子和分母多项式分别按降幂排序，然后连分式展开。第7章无源网络综合【例】7.3设。试用Cauer第一种形式综合。

【解】为Z(s)的零点，故首先用Y(s)。

第7章无源网络综合2Cauer第二种形式

(特点：逐次移出s=0处的极点。串臂为电容，并臂为电感)

对的分子和分母多项式分别按升幂排序，然后连分式展开。第7章无源网络综合例7.4设。试用Cauer第二种形式综合。

【解】

第7章无源网络综合§7.5RC一端口的实现

一、RC一端口的性质(必要条件)所有零极点位于负实轴上，而且是一阶的

第7章无源网络综合RC阻抗函数的零极点分布

第7章无源网络综合二、ZRC(s)的性质1、全部零极点位于负实轴上，而且是一阶的。2、严格单调减函数。零点和极点在负实轴上交替排列。3、ZRC(s)在原点可能有极点，但不可能有零点。在无穷处可能有零点，但不可能有极点。4、分子和分母的阶数相等，或分母较分子高一次。5、所有极点处的留数均为正实数。6、对于所有的第7章无源网络综合三、Foster综合(基于部分分式展开)1、Foster第一种形式(阻抗单元串联连接)第7章无源网络综合若Z(s)在原点无极点，则K0=0，电路中缺C0单元。若Z(s)在无穷远有零点，则，电路中缺单元。第7章无源网络综合2、Foster第二种形式(导纳单元串并联连接)若Y(s)在原点有零点，则K0=0，电路中缺R0单元。若Z(s)在无穷远无极点，则，电路中缺单元。第7章无源网络综合【例】试用Foster两种形式综合。【解】(1)Foster第一种形式展开

第7章无源网络综合(2)Foster第二种形式展开第7章无源网络综合四Cauer型综合(基于连分式)1、Cauer第一种形式(根据阻抗和导纳在时的特性展开，串臂为电阻，并臂为电容。分子分母按降幂排列。)

第7章无源网络综合2、Cauer第二种形式(根据阻抗和导纳在时的特性展开，串臂为电容，并臂为电阻。分子分母按升幂排列。)

第7章无源网络综合【例】试用Cauer两种形式综合。【解】(1)Cauer1第7章无源网络综合第7章无源网络综合Cauer2第7章无源网络综合第7章无源网络综合7-6双线性转移函数和双二次转移函数由线性无源RLC元件构成的二端口转移函数T(s)满足：T(s)是s的实系数有理函数；T(s)的全部极点都位于s平面的左半平面，或为jw轴上的单阶极点；T(s)的零点可以在s平面的任何位置；复数极点必共轭成对出现；复数零点也必共轭成对出现。第7章无源网络综合7-6-1双线性转移函数转移函数的分子、分母均为s的一次式称为双线性转移函数。T(s)的极点，即T(s)的自然频率，在滤波器设计中常称为自然模。T(s)的零点，在滤波器设计中常称为传输零点，或损耗极点。转移函数分子多项式的系数决定了它的零点，决定了网络的频率特性，即网络的稳态响应特性，对滤波器而言，决定了滤波器的滤波类型。第7章无源网络综合7-6-1双线性转移函数1.T(s)在s=∞处有一传输零点，幅频特性：以分贝为单位的增益函数：第7章无源网络综合7-6-1双线性转移函数从0至ω

0的频带宽度称为3分贝带宽。低通转移函数特性、实现电路如下：当ω=0时，增益为最大可能值，称为直流增益。当ω=ω

0时，增益第7章无源网络综合7-6-1双线性转移函数2.T(s)在s=0处有一传输零点，幅频特性：以分贝为单位的增益函数：第7章无源网络综合7-6-1双线性转移函数当ω=∞时，增益为最大可能值，称为高频增益。当ω=ω0时，增益高通转移函数特性、实现电路如下：第7章无源网络综合7-6-1双线性转移函数3.T(s)在s=ω0处有一传输零点，全通特性：第7章无源网络综合7-6-1双线性转移函数4.一般情况第7章无源网络综合§7.6RLCM一端口的实现一定义1不含轴上极点的阻抗(导纳)函数，称为极小电抗(电纳)函数。2在称为极小实部函数；

轴上某一点具有零实部的阻抗（导纳）函数，

3如果一个导抗函数同时是极小电抗函数、极小电纳函数，极小实部函数，则称之为极小函数。（极小函数是正实函数）。第7章无源网络综合二从正实函数中分解出极小函数1移出轴上的极点：移出上的极点：2电阻约简（移出实部最小值）第7章无源网络综合第7章无源网络综合三极小函数的布隆综合设为极小函数，则存在，使得。1以情况为例：提取串联元件，使余函数,

即要求。设串联元件为电容，则。

(a)

在s=0处存在极点，且极点留数为-1/C1<0,Z2(s)不是正实函数。(b)Z1(s)=Z2(s)+1/(sC1)在s=0处存在极点，Z1(s)非极小函数，矛盾。

故串联元件不能为电容。第7章无源网络综合(2)设串联元件为电感，则(a)

在处存在零点(一定成对出现)，移出之

第7章无源网络综合(b)

仍为正实函数，化为极小函数后重复上述过程。在处无极点。第7章无源网络综合（c）解决负电感问题可实