2021年高考数学考点48圆的方程必刷题理【含答案】

考点48圆的方程

1.若过点(2,0)有两条直线与圆％2+>2-2》+2丫+加+1=0相切，则实数血的取值范围是(.)

A.(-8,-1)B.(T+8)C.(-1,0)1).(-1,1)

D

【解析】

圆的方程化为标准式为G-1/+G+1):=1一小

因为点(2,0滴两条直线与图(x-+(y+1尸=1-m相切

所以点(2Q充圆外

所以12-1)=+(0、IO>l-?n

解不等式组得

所以选D

2.在平面直角坐标系中，记d为点P(cosO,sinO)到直线％-my-2=0的距离，当0,m变化时，d

的最大值为

A.1B.2

C.3D.4

C

分析：P为单位圆上一点，而直线x-my-2=0过点A(2,0),则根据几何意义得d的最大值为0A+1.

详解：•.•cos2e+sin2®=i,...p为单位圆上一点，而直线x-my-2=0过点A(2,0),所以d的最大值

为0A+l=2+l=3,选C.

3.(》+1)2+(y-1)2=1的圆心在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

B

因为(x+1/+(y-if=1的圆心为(-1,1),所以圆心在第二象限，

选B.

4.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于4B两点，分别过4B作准线的垂线，垂足分别为两点,

以为直径的圆C过点M(-2,3),则圆C的方程为()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1/+(y+l)2=17

C.(x+l)2+(y-l)2=5D.(尤+1)2+8+2)2=26

C

【解析】设AB的斜率为k,得出AB的方程，与抛物线方程联立方程组，根据根与系数的关系得出圆的圆

心坐标和半径，把(-2,3)代入圆方程解出k,从而得出圆的方程.

抛物线的准线方程为x=-l,焦点F(1,0).

设AB的方程为y=k(x-1),联立方程组1-4=0,

设A(xi,yi),B(X2,yi),则yi+yz^,yiy：=-4.

yW(yx+先尸一4%)，：=4E+l.

NK

..以AB为直径圆的圆C的圆心为(-1,9半径为2七+1.

K7

圆C的方程为(X+D2+(y-2)2=4(TT+1).

把(-2,3)代入圆的方程得1+(3-pM(-Jr+1).解得k=2.

二圆c的方程为：(x+D2+(y-D2=5.故答案为：C

5.已知圆的方程—+丫2+20%+9=0圆心坐标为(5,0),则它的半径为()

A.3B.依C.5D.4

D

2aJ102+02-4X98

---=5,•'•a=-5.---------------=—=4.

由题得2所以圆的半径为22

故D

5

6.已知4-3,0),8(0,4),点C在圆。-加)2+/=1上运动，若△AEC的面积的最小值为2,则实数m的值

为

111111111111

A.5或2B.2或5c.5或2D.2或2

D

【解析】

直线AB:—+£=1,即4x-3y+12=0

-34

若△ABC的面积最小，则点C到直线AB的距离d最矩，

»|5+一二|1

drain=513

又AABC的面积的最小值为方

.­.lx5x(^^-l)=^

即14m+12|=10

..m=--IJ4-7

故选：D

7.圆心为(2,0)的圆C与圆.+丫2+钛-6丫+4=0相外切，则C的方程为()

A.x2+y2+4%+2=0B.x24-y2-4x+2=0

C.%2+y24-4x=0D.x2+y2-4%=0

D

圆x2+y2+4x-6y+4=0,即0+2)2+(y-3)2=9.圆心为(一2,3),半径为3

设圆C的半径为二

由两圆外切知，圆心距为&2+2)2+(0-3)2=5=3+r

所以r=2.

C的方程为。-2)2+/=4,展开得尤2+丫2-轨=0

故选D.

8.已知以圆C：。-1)2+/=4的圆心为焦点的抛物线G与圆C在第一象限交于4点，B点是抛物线。2：

/=8y上任意一点，与直线y=-2垂直，垂足为M,则|BM|-|4B|的最大值为()

A.1B.2C.-1D.8

A

【解析】

因为C:(x-1)=+y==4的圆心(LO)

所以，可得以(LO)为焦点的抛物线方程为尸=4x,

由C"4'解得4(L2),

1(x-1)-4-y-=4

抛物线Q：/=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,

即有|BM|-L4B|=\BF\-\AB\<|4F|=1,

当且仅当4&F(A在B.F之间)三点共线，可得最大值1,故选A

9.过抛物线/=钛的焦点F的直线交抛物线于4B两点，分别过4B作准线的垂线，垂足分别为公乃1两点，

以为直径的圆C过点M(-2,3),则圆C的方程为()

A.(%+i)2+(y-2)2=2B.(%+i)2+(y+l)2=i7

C.(x+l)2+(y-l)2=51).(x+l)2+(y+2)2=26

C

由抛物线的定义知以41%为直径的圆一定过焦点?(1,0),因此可设圆心坐标为则

V(-2+l)2+(3-y)2=7(-l-l)2+(y-0)2,解得y=l,于是有£?|=/，所以圆C的方程为

(x+l)2+(y-l)2=5.

故选C.

10.已知直线澡x-y-k+2=0与圆C:/+y2-2y_7=0相交于4晒点，则|4B|的最小值为.

2代

11.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和

谐美，定义：能够将圆°的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的一个“太极函数”，则下列有

关说法中：

①对于圆。：/+y2=1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；

②函数f(x)=sinx+1是圆。：,+(y-1)2=1的一个太极函数：

③直线(m+l)x-(2m+l)y-l=0所对应的函数一定是圆。：(》-2)2+(y-I)2=R2(R>0)的太极函数;

④若函数/'㈤=丘③-kx(keR)是圆0/+/=1的太极函数，贝肚G(-2,2).

所有正确的是

(2)(3)(4)

【解析】①显然错误，如图

②点(0,1)均为两曲线的对称中心，且fG)=sinx+1能把圆二+(y-l)==1一分为二，故正确

③直线(桁+l)x-(2?n+l)y-1=0恒过定点(21),经过圆的圆心，满足题意，故正确

④函数f(x)=k-—k式keR)为奇函数，

(y=kx3-kx

tx2+y2=1'

则小"―2k'x'+(1+fc2)x2-1=0

令得U-2Ht，+(1+—1=0

即(t一D(-+1)=0

・•.t=lip.i*=±1

对k"，一代+1,当女=0时显然无解，A<OBPO<k2<4时也无解

即kw(-22)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，目周长和面积均等分

若2=±2时，函数图象与圆有四个交点,

若标>4时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二

12.若圆。/+>2+2》-4'+3=0关于直线2"+"+6=0对称，则他的最小值为.由点

P(a，b)向圆所作两条切线，切点记为4B,当|4B|取最小值时，A4BP外接圆的半径为.

93^/2

-4~T

【解析】分析：首先根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐

标，代入直线方程，求得a-b=3,之后将其转化为关于b的关系式，配方求得最小值，通过分析图形的

特征，求得什么情况下是该题所要的结果，从而得到圆心到直线的距离即为外接圆的直径，进一步求得其

半径.

详解:由a，+yz+2x—4y+3=。可得(x+1):+(y-2)2=2,

因为圆关于直线对称，所以圆心(一L2)在直线2ax+by+6=0上，

即一2a+2b+6=0,化简得a-b=3,

则有ab=b(3+&)=b2+3b=(b+：)二一:，所以有ab的最小值为一：;

根据图形的特征，可知PC最短时，对应的AB最小，

而PC最短时，即为C到直线x-y-3=0的距离，

即IPCImm=七*1=3V2,此时ABRC四点共圆，

VAT*

此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是手.

13.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

x2+y2-2x=0

设圆的方程为f+y2+Dx+Ey+F=0,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则：

F=0(D=-2

1+1+。+£+/=0E=0

4+0+2D+F=0,解得："=0,则圆的方程为/+y2_2x=0.

7T37r

A=—,BC=2,M^AMC=——

14.A4BC为等腰直角三角形，2是A4BC内的一点，且满足4,贝的最小值为

市-1

【解析】

以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C(v20)，BCO.v'I),

设M(%y),因为"MC=券，所以军三=+(y+")二=1,

・十r-.EX-1

所以点M在以(李-勺为圆心，1为半径的圆上，且在AABC内勖

所以|MB的最小值为］(¥-0尸+(一三一丁-1=v5-1.

故答案为：、写-1

PA_1

15.在平面直角坐标xOy中，已知A(l,0),B(4,0),直线xy+m=0上存在唯一的点P满足PB-5,则

实数m的取值集合是.

{-2#,2#}

1

PA14-1)2+，-.„2,2_4

___—:...…二—,x-ry——

设P(x,y),则由心一编J(*-4)2+y22,

|m|

)=2,・•・m=±2®

根据题意得此圆与直线Xy+m=0相切，即隹

即实数m的取值集合是{-2或,2艰}.

16.已知两个圆G,‘2与两坐标系都相切，且都过点(1,-2),则/也2|=.

4M

【解析】分析：先根据两圆与坐标系都相切，确定两圆的圆心在直线)，=-》上，再利用两圆都过(L-2)进

行求解.

详解：由题意，得圆G，c二的圆心在射线，=-X,X>0上，

设圆的方程为(x-«):+(),+a)2=a;.(i>0,

因为圆过点(L-2),

所以(1-a)2+(-2-a):=a2,

解得a=1或(1=5,

即G(L—1),C,(5,-5)>

则C*GI=4V2.

x2y213

C:—+—=l(a>b>0)±_

17.已知椭圆«2b2的离心率为2,且椭圆过点(1,2)

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是圆/+/=7上任一点，由P引椭圆两条切线P&PB.当切线斜率

在时、求证两条斜率的积为定值。

22

土+匕=1

(1)43;(2)定值为-1,证明见解析.

(1)根据已知列方程组解之即得椭圆的标准方程.(2)设P(*。)。)，则过点P的切线方程为

222

y-yQ=k(xfo)耳关立直线和椭圆方程得到(3+4k)x+8k(y0-fcx0)x+4(y0-fcz0)-12=0,再根

22

据△=()得到(几二-4)k-2xoyoA+yo-3=0,再求k也=-唧得证.

(e=;=;

由题得]i+«_[a：=4,炉=3.二三+J=L所以椭圆的方程为？+J=1.

葭+正一14,43

la*=炉+c二

设P(/Jo)则过点P的切线方程为F-)o=k(x-xQ).

=

联立F3上':二:S=(3+4k=)x+8k(y'o-kx0)x+40-0-kx0)--12=0,

因为直线和椭圆相切，

22::

••-21=64fc(y0-kxo)-4(3+4fc)[4(y0-kx0)-12]=0

=

化简得g二-4)H-2xoyok+y0-3=0,

z::

所以的色=苦4，因为X。二+yo=7.y0=7-x0.

所以的生=期=*=-1.

所以两条斜率的积为定值-L

18.已知圆C：x2+y2+2x-3=0.

⑴若直线1在y轴上的截距为0且不与x轴重合，与圆C交于4(孙力)妣々必)，试求直线叫

y=(―+—)x+2

xix2在x轴上的截距；

(2)若斜率为1的直线n与圆C交于D,E两点，求使ACDE面积的最大值及此时直线n的方程.

(1)x=-3；(2)SACDE的最大值为2,直线”的方程为V=x+3或y=x-1.

2222

(1)圆C：(x+l)+y=4,设直线/：y=kx,联立M+y2+2x-3=o,则有：(1+fc)x+2x-3=0,

故%+如=一嗫7‘必不=一熹

则£+・=詈=彳，故直线)，

X।X2X|X2，n'=0l+2

令y=0,得*=-3为直线在x轴上的截距.

(2)设直线"的方程：y=x+b,则圆心C到直线??的距离为d=.

lb

弦长|DE|=2,=-d：=2」4-也三一,则ACDE面积的为：SJCDC=：|DE|d=l4-~~'•比U

w4(/二匹正产+(叫4=2,(当且仅当J匚匹正=。，即b=3或-1时取“=”).

故邑8£的最大值为2,此时直线“的方程为)，=x+3或)，=x-L

x2y2]

C:---1----l(a>b>0)_

19.已知椭圆«2b2的焦距为2c,离心率为2,圆。：,+y2=c2,4]&是椭圆的左右顶点，

4B是圆0的任意一条直径，A44B面积的最大值为21

(1)求椭圆C及圆。的方程；

(2)若/为圆。的任意一条切线，2与椭圆后交于两点BQ,求IPQI的取直范围.

x2y24^/6

(1)椭圆方程为疗+丁=)圆的方程为，+y2=i(2)⑶亍।

SAR=2SAACR=2—'h=a'h

⑴设B点到x轴距离为h,则AA1ABdAiOB2\1AA1O\1，易知当线段AB在y轴时,

ac2

hmax=\BO\=C>'•-SAA1AB=-=

c1

ve=-=-Aa=2c,a=2.c=l,b=3

a2v

x2y2

所以椭圆方程为43,圆的方程为-+y2=i

⑵设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，d=-=?.=1,m2=kz+1

y=kx+m

jr>-1,得（4k：+3）*二+8kmx+-12=0

{-H-----=1

-Bkm

+X-=TT-

判别式』=48（3炉+2）>0,由韦达定理得：「:-4fc2+3

4m2-12

'X-="2+2

所以弦长IPQI=Vl+FlXi-xJzxg'恋k,令t=4M+323,

所以IPQI=、疔-卜（丁+：+3e"汩

20.如图.，在平面直角坐标系X。〉中，椭圆「过点5,焦点尸1（一0，0）产2（居°）,圆。的直径为入尸2.

（1）求椭圆C及圆。的方程；

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点A

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点。的坐标；

2#

②直线/与椭圆。交于4B两点.若A04B的面积为〒，求直线/的方程.

2

X2

---FV=177

（1）4,x2+y2=3；（2）『-4r%-+3MI-

（1）因为椭圆。的焦点为&（一\区°）巴（小，0）,

x2y21

可设椭圆。的方程为Q/.又点、2在椭圆。上,

「31

孩+2=L

a24b2a2-4,

所以（。2-庐=3,,解得,2=1,

X2

---Fy2=1

因此，椭圆，的方程为4.

因为圆。的直径为乙七，所以其方程为/+y2=3.

（2）①设直线/与圆。相切于P（xo，yo）（x（）>O.y0>0）,贝加丁+/二=3,

所以直线/的方程为），=-^（x-x）+y，即y=-j

>000>0>0

-+y==1,

由4；3,消去已得

Vyflyo

::2:

（4x0+）,0^-24xox+36-4y0=0.（*）

因为直线/与椭圆C有且只有一个公共点，

2:：;::-

所以」=（-24x0）-4（4x0+3,o）（36-4yo）=48y0（x02）=0.

因为x（）,）b>0,所以x（）=、2）'o=1•

因此，点P的坐标为（收」）.

②因为三角形OAB的面积为乎，所以:•0P=乎，从而』B=乎.

设以4，儿）,8（4，%）,

出3何一―二―、

2:

所以AB：=(xx-x;)+5—y:)

=f1+土)48贝1.万02-3

一(短)°。y•

因为Xo'+yo==3,

所以收=信_324

=；?即2/—45x0-+100=0〉

解得"°2=2（*。2=20舍去）,则为=2,因此尸的坐标为（三'爹）

综上，直线，的方程为y=-@+3".

①=3cos0

21.已知曲线C的参数方程为ty=2sinS(。为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变

,1

X=-x

3

'=2、得到曲线Q

换

(I)求曲线C'的普通方程：

(H)若点4在曲线C'上，点B(3,0),当点4在曲线C'上运动时，求48中点P的轨迹方程.

(l)X2+/=l

(x--)2+y2=-

⑵24.

【解析】分析：(D根据坐标变换，代入变换方程，即可得到变换后的参数方程，进而转化为普通方程。

(n)根据中点坐标公式求出P点的参数方程，代入普通方程得到中点的轨迹，再化为标准方程即可。

代入:二;得广的参数方程城；篝,

详解:⑴

..•曲线C'的普通方程为炉+产=1.

<n)设P(x,y),4(x0,y0),又B(3Q),且4B中点为P,

所以有:rm，

又点儿在曲线C上，...代入C的普通方程潟+yj=1得

(2x-3)=+(2y)==1,

...动点P的轨迹方程为(x+尸=

22.设抛物线C：V=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线1与C交于4,B两点，|4B|=8.

(1)求/的方程；

(2)求过点4B且与C的准线相切的圆的方程.

(1)尸x-1,⑵—3)2+(y-2)2=16或(X-11-+(y+6)2=144.

【解析】

(1)由题意得/(1,0),/的方程为(D0).

设4(xi,yi),BCxi,ji).

由得"二炉―(2k，+4)x+k:=0.

:

A—16k+16=0,故A+x;=:.

所以b4B|=|^F|+|5F|=(x1+l)+(x;+l)=^.

由题设知聆=8,解得dl(舍去)，i

因此/的方程为y=x-i.

(2)由(D得4B的中点坐标为(3,2),所以.45的垂直平分线方程为

y—2=—(x—3),即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(XO,yo),则

%=-+5,J—

Mie)*0—

C°=,y--^ir+16I先=2

因此所求圆的方程为

(x—3尸+(y-2):=16或(戈—11):+(y+6):=144.

点睛：确定圆的方程方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

(2潸定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径「有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于。力，的方程组，从而求出

a麻的值;

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于小区厂的方程组,

进而求出D、E、尸的值.

23.已知抛物线C：­=2y的焦点为F,过抛物线上一点M作抛物线C的切线交冏］于点N.

(1)判断AMNF的形状；

(2)若4B两点在抛物线C上，点。(1,1)满足疝+应)=0,若抛物线C上存在异于4B的点E,使得经过

4SE三点的圆与抛物线在点E处的有相同的切线，求点E的坐标.

(1)△"可?为等腰三角形.

⑵点E的坐标为(一叼)

【解析】分析：(D利用导数求得切线方程，令戈=0,可求得N点坐标，根据抛物线的焦点半径公式，即

可求得网口=|二用，贝必MNF为等腰三角形；(2)根据向蚩的坐标运算，求得B点坐标，分别求得月E及

的中垂线方程，即可求得1月BE外接圆的圆心，由匕“丁4=-1，即可求得点E的坐标.

详解：(1)设

..X2.t

•y=w，・・y=K)

则切线/的方程为y-?=xAx-A-i),即)，=…•一F，

•••M。，-当,

VF(O.i),.\|MF|=^+i,|iVF|=^+i,\MF\=\NF\

所以dMNF为等腰三角形.

<2）设月（如.¥）,

•••布+而=6,.•.D（L1）是AB的中点，

.•而（2-42-当，

•..见2-米.2-§电抛