线性代数二次型讲义-课件

线性代数通识教育平台数学课程系列教材线性代数二次型讲义第五章二次型第一节二次型及其标准形第二节正交变换法化二次型为标准形第三节化二次型为标准形的其他方法第四节二次型的分类第五节二次型在直角坐标系下的分类线性代数二次型讲义精品资料1．了解二次型及其矩阵表示。2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形的配方法。3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。本章学习要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。线性代数二次型讲义二次型就是二次多项式.在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其一般方程是

ax2+2bxy+cy2=f (1)

方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式.为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通过基变换(坐标变换),把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程

a'x'2+c'y'2=f (2)

在二次曲面的研究中也有类似的问题.线性代数二次型讲义考察：方程表示xy平面上一条怎样的曲线？图形如何？将xy坐标系逆时针旋转π/4，即令则得此曲线在新的uv坐标系下的方程线性代数二次型讲义上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子中的交叉项，使之成为标准方程.而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换.综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项式.二次型就是二次齐次多项式.线性代数二次型讲义定义第七章二次型与二次曲面二次齐次多项式f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz称为实二次型.

其中aij为实常数.一、二次型的矩阵表示§1、二次型及其标准形取a21

=a12,a31

=a13,a32

=a23,从而,

2a12xy=a12xy+a21yx,2a13xz=a13xz+a31zx,2a23yz=a23yz+a32zy.f=a11x2+a12xy+a13xz+

a21yx+a22y2

+a23yz+

a31zx+a32zy+a33z2

=x(a11x

+a12y+a13z)+y(a21x

+a22y+a23z)+z(a31x

+a32y+a33z)线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形=XTAX.称A为二次型f的矩阵，它是一个对称矩阵.三元实二次型f三阶实对称矩阵A一一对应AX线性代数二次型讲义例2

第七章二次型与二次曲面例11251111解上一页,线性代数二次型讲义例2

第七章二次型与二次曲面上一页例2若二次型f

的矩阵为试写出f.解线性代数二次型讲义例2

第七章二次型与二次曲面练习1341010解上一页,线性代数二次型讲义例2

第七章二次型与二次曲面上一页练习若二次型f

的矩阵为试写出f.解线性代数二次型讲义定义1第七章二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形n元二次型及其矩阵表示称n

元实二次齐次式为n元实二次型.记aij=aji,则记X=(x1,x2,…,xn)T,A=(aij)nn,

则f(x1,x2,…,xn)=XTAX,其中A

称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面①由于aij=aji,

所以AT=A,②A中aii是xi2的系数,aij是交叉项xixj系数的一半.注:n元实二次型fn阶实对称矩阵A一一对应定义2称只含平方项的二次型为标准二次型.n元标准二次型fn阶对角矩阵一一对应线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形二、矩阵间的合同关系思考：二次型f=XTAX经过满秩线性变换X=CY后还是二次型吗?对于二次型f=XTAX，作满秩变换X=CY,则f=XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y.而(CTAC)T=CTAT(CT)T

=CTAC,所以f=YT(CTAC)

Y仍是关于新变量Y

的二次型,且二次型的矩阵为对称矩阵B=CTAC.满秩变换X=CYf=XTAXF=YTBY

B=CTAC线性代数二次型讲义定义3第七章二次型与二次曲面对于n阶实对称矩阵A和B，若存在可逆矩阵P使PTAP=B则称A

合同于B，记作AB因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.上一页合同矩阵的性质：XTAXYTBY经满秩的线性变换X=PYAB左乘以PT且右乘以P线性代数二次型讲义定义如果满秩变换X=CY将二次型f=XTAX化成了标准二次型的一个标准形.为f=XTAX上一页§1、二次型及其标准形三、二次型的标准形这样的矩阵C是否存在？定理1对任意的实二次型f=XTAX,一定存在满秩线性变换X=CY,使二次型化为标准形.推论1任意给定一个实对称矩阵A,一定存在可逆矩阵

C,使得CTAC为对角矩阵.线性代数二次型讲义定义§2.正交变换法化二次型为标准形回顾：正交变换的概念设是n维欧氏空间Rn上的线性变换，若对任意的X,YRn,有||(X)(Y)||=||XY||,则称为Rn上的正交变换.第七章二次型与二次曲面定理设是欧氏空间Rn上的线性变换，则下列四个条件等价(互为充分必要条件).(1)为正交变换.(2)把Rn的标准正交基变为标准正交基.(3)||()||=||||,

Rn(保持向量长度不变).(4)((X),(Y))=(X,Y)(保内积不变).线性代数二次型讲义定义正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵.第七章二次型与二次曲面定理A是正交矩阵

ATA=E(或AAT=E).正交矩阵有如下性质：定理

定理

设A是正交矩阵，则(1)|A|=1.(2)A

1

=AT.设A是正交矩阵

A

的列(行)向量组为相互正交的单位向量组.线性代数二次型讲义§2.正交变换法化二次型为标准形一、实对称方阵的对角化定理1实对称方阵的特征值都是实数.证设λ是实对称方阵A的特征值，X是对应的特征向量，即将上式两边同时转置，由A的对称性，得而因此，线性代数二次型讲义定理2实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交.证设λ1,λ2是实对称方阵A的两个不同的特征值，X1,X2是对应的特征向量，即因为A的对称性，得从而，因此，线性代数二次型讲义定理3若是n

阶实对称方阵A

的k

重特征值，则A

对应于的线性无关特征向量的最大个数均为k.实对称方阵相似于一个对角阵吗？回答是肯定的！！！单击此处可查阅进一步内容定理4对于任一个n阶实对称方阵A,必存在一个正交方阵P使PTAP为对角形，且PTAP的对角线上的元素均为A的n个特征值(重数计算在内),P的列向量为相应于n个特征值的标准正交特征向量.证线性代数二次型讲义证设实对称方阵A的特征值为（重根计算在内），则由定理3知，线性代数二次型讲义记从而，线性代数二次型讲义定理5任意一个n元实二次型都存在正交变换X=QY使得其中1,2,…,n

就是A的全部特征值,Q的n个列向量是A的对应于特征值1,2,…,n

的标准正交特征向量.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面例1求正交矩阵Q使QTAQ成对角形矩阵，并求此对角形矩阵.其中解=(2)(26+5

)=0,A的特征值为1=1,2=2,3=5.1=1时,由(EA)X=0,即上一页线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面解得对应的特征向量为1=(0,1,1)T;2=2时,由(2EA)X=0,解得对应的特征向量为2=(1,0,0)T;3=5时,由(5EA)X=0,解得对应的特征向量为3=(0,1,1)T.上一页将1,2,3单位化，得故所求的正交变换矩阵为线性代数二次型讲义Q=01000对应于特征值1对应于特征值2对应于特征值5且QTAQ

=第七章二次型与二次曲面上一页线性代数二次型讲义§2.正交变换法化二次型为标准形第七章二次型与二次曲面二、正交变换法化二次型为标准形1.写出二次型f的矩阵A,并求A的全部特征值1,2,…,n

(重数计算在内).2.求出各特征值的特征向量；若i是k重根时，找出i的k个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.步骤：3.将所得的n个正交向量再单位化，得n个两两正交的单位向量P1,P2,…,Pn,记P=[P1,P2,…,Pn].则X=PY为所求正交变换，f

的标准形为线性代数二次型讲义例1求一个正交变换X=QY化二次型成标准形.二次型的矩阵解A

的特征值是1=2=λ3=1,4=-3.上一页线性代数二次型讲义对于4=-3,从而可取特征向量ξ1=(1,1,0,0)T,

ξ2=(0,0,1,1)T

和ξ3=(1,-1,1,-1)T.上一页对于1=2=λ3=1,通过求齐次线性方程组(A-λE)X=0,得到其基础解系并正交化:线性代数二次型讲义从而可取特征向量ξ4=(1,-1,-1,1)T.将上述相互正交的特征向量单位化，得则在正交变换下，二次标准形为线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面例2求一个正交变换化二次型成标准形.二次型的矩阵解A的特征多项式为A

的特征值是1=2=0,3=9.上一页线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面对于1=2=0,从而可取特征向量p1=(0,1,1)T及与p1正交的另一特征向量p2=(4,1,1)T.上一页对于3=9,取特征向量p3=(1,2,2)T.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面将上述相互正交的特征向量单位化，得属于特征值0属于特征值9则存在正交变换使二次型化为标准形上一页线性代数二次型讲义练习解第七章二次型与二次曲面已知二次型通过正交变换化成标准形求参数a及有所用的正交变换矩阵.二次型f的矩阵特征方程为=(2)(26+9a2)=0,A的特征值为1=1,2=2,3=5.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面将=1(或=5)代入特征方程，得a24=0,a=2.因a>0,故取a=2.这时，1=1时,由(EA)X=0,即解得对应的特征向量为1=(0,1,1)T,2=2时,由(2EA)X=0,解得对应的特征向量为2=(1,0,0)T,线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面3=5时,由(5EA)X=0,解得对应的特征向量为3=(0,1,1)T.将1,2,3单位化，得故所求的正交变换矩阵为T=01000上一页线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面练习解已知二次型的秩为2,(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.(1)此二次型对应矩阵为因r(A)=2,解得c=3.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面这时，=(4)(9),故所求特征值为=0,=4,=9.(2)由上述特征值可知二次型f通过变换，可化为标准形为那么f(x1,x2,x3)=1表示椭圆柱面.线性代数二次型讲义§2.正交变换法化二次型为标准形三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用设X=

(x,y,z)T，则三元二次型XTAX可以看作空间向量α的函数，其中α在标准基ε1，ε2，ε3下的坐标就是X.作满秩线性变换X=CY，所得新的二次型YTCTACY就是关于空间向量α在另一组基η1，η2，η3下的坐标同一空间曲面在不同空间直角坐标系中的方程线性代数二次型讲义§3.化二次型为标准形的其他方法第七章二次型与二次曲面当n=1时，二次型已经是标准形.证一、配方法定理1对任意的实二次型f=XTAX,一定存在满秩线性变换X=CY,使二次型化为标准形.假设对n-1元的二次型，结论成立.考虑n元二次型当上面的二次型的矩阵A为零矩阵时，结论成立.下面假定A不为零矩阵.分两种情形讨论：情形I.A的主对角元中至少有一个不为零，不妨设a11不为零.这时线性代数二次型讲义其中，令或线性代数二次型讲义显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为由归纳假定，对于n-1二次型存在满秩线性变换使之成为标准形，即线性代数二次型讲义于是满秩的线性变换将原二次型化为标准形，即情形II.A的主对角元全为零.此时A中至少有一个元素aij

（i≠j）不为零，不妨设a12≠0.令线性代数二次型讲义则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为这时，上式右端关于变量的二次型中的系数不为零，故可视为情形I处理.定理得证.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面例1化二次型因为标准形中只含有平方项.因此逐个将变量配成一个完全平方的形式.令解为标准形，并写出所作的满秩线性变换.则线性代数二次型讲义所作的满秩线性变换为练习用配方法化二次型线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面因f

中含有x的平方项.可将含x的项归到一起,配成一个完全平方的形式.f=(x2+2xy+2xz)+2y2+6z2

+6yz=(x2+2xy+2xz+2yz+y2+z2)+(2y2–y2)+(6z2–z2)+(6yz–

2yz)=(x

+y+z)2

+y2+5z2+4yz

=(x

+y+z)2

+(y2+4yz)+5z2=(x

+y+z)2

+(y

+2z)2+z2,令解则线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面例2解用配方法化f=2xy+2xz–6yz为标准形.令再令上一页线性代数二次型讲义练习用配方法化二次型解令线性代数二次型讲义所用变换矩阵为线性代数二次型讲义§3.化二次型为标准形的其他方法第七章二次型与二次曲面二、初等变换法设A为n阶实对称矩阵，由第一节定理1知，存在可逆矩阵C,使得CTAC为对角阵，即而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即因此，定理1对任意实对称矩阵A,存在一系列初等矩阵P1，P2,…,Ps,使线性代数二次型讲义由于说明，若矩阵A经过一系列合同变换(进行初等列变换后再进行同样的初等行变换)化为对角矩阵D,则单位矩阵E经过相同的一系列列变换化为矩阵C.这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准形的方法，即初等变换法.或者，若矩阵A经过一系列合同变换(进行初等列变换后再进行同样的初等行变换)化为对角矩阵D,则单位矩阵E经过相同的一系列行变换化为矩阵CT.线性代数二次型讲义例3解线性代数二次型讲义故当时，可使线性代数二次型讲义例4解线性代数二次型讲义所以，线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面但是通过配方法将二次型f化成标准形后,对应矩阵的秩不变,即二次型f的秩就等于它的标准形的秩,也就等于标准形中的项数.配方法不能保持R3中向量的长度,从而不能保持几何图形不变.也就是变成了x'y'平面上一个半径为比如,xy面上圆周x2+y2=1,在变换x=x’+y’,y=x’–y’下,变成(x'+y')2+(x'–y')2=1.即上一页线性代数二次型讲义比如,第二节例题2中所给的二次型在正交变换下的标准形为而用配方法得到故经过满秩线性变换可将二次型化为标准形注：同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩相同，即平方项的个数相同，并且正系数的平方项个数也相同！这就是所谓的惯性定理.线性代数二次型讲义定义1§4二次型的分类第七章二次型与二次曲面一、惯性定理和二次型的规范形定理1一个n元二次型f=XTAX经过不同的满秩线性变换化为标准形后，标准形中正平方项的项数p和负平方项的项数q都是由原二次型唯一确定的，且其中r(A)为矩阵A的秩.称二次型f的标准形中正平方项的项数p为二次型f的正惯性指数，负平方项的项数q为负惯性指数.若二次型f的标准形为如下形式则称为规范标准形，简称规范形.其中r为二次型的秩.（规范形是唯一的）线性代数二次型讲义定义2第七章二次型与二次曲面对于两个n元二次型若它们的秩r相同，且正惯性指数p相同（从而负惯性指数也相同），则这两个二次型可以通过满秩线性变换相互转化.也就可以归为一类.参数r和p提供的分类的一个标准.设秩为r的n元二次型f=XTAX

经满秩线性变换化为规范形则(2)若p=r<n,则称f为半正定二次型，A为半正定矩阵.(1)若p=r=n,则称f

为正定二次型，A为正定矩阵.单击此处可查阅进一步内容§4二次型的分类二、正定二次型和正定矩阵线性代数二次型讲义定理2第七章二次型与二次曲面若A是实对称矩阵，则下列命题是等价的：(1)A是正定矩阵;(2)对任意的非零向量X,有XTAX>0;因A是正定阵,存在可逆阵P,使PTAP=EXRn,X0,而P可逆，即A=(PT)1P1,故XTAX=XT(PT)-1

P1X=XT(P1)T

P1X=(P1X)T(P1X)>0.故PX0,同理P1X0,(1)A是正定矩阵;(2)对任意的非零向量X,有XTAX>0.证(3)A的所有特征值都大于零.正定二次型的规范形的矩阵显然是个单位矩阵.即单位矩阵是正定矩阵.那么，怎么判断正定矩阵？线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面

若A有一个非正的特征值，不妨设i≤0,存在正交阵P,使得(2)对任意的非零向量X,有XTAX>0;(3)A的所有特征值都大于零.令X=P

1,其中=(0,0,…,0,1,0,…,0),XTAX=(P1)T

AP

1则的第i个分量是1，其余分量全为0.=i≤0.=

T(P1)TAP

1=

T

矛盾!=

TP

APT

证上一页线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面因为A的全部特征值都大于0，则A所对应的二次型的规范形的正惯性指数就是n,

故A是正定矩阵.(1)A是正定矩阵(3)A的所有特征值都大于零.证上一页例1解f的矩阵为所以f是正定二次型.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面(1)设证定理3若二次型XTAX正定，则上一页(2)又因为A正定，故存在可逆矩阵C,使CTAC=E,即线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面例2故A,B,C,D不是正定矩阵.解上一页另外，C的对角元线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面定理4

n元二次型f=XTAX正定的充要条件是A的各阶顺序主子式|Ak|>0,k=1,2,…,n.其中…,上一页线性代数二次型讲义例2解f的矩阵为因为A的顺序主子式为所以，二次型f是正定的.线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面练习f的矩阵由于A1=1>0,|A3|=|A|=3A2=3>0.故f

正定.解上一页线性代数二次型讲义定义3§4二次型的分类第七章二次型与二次曲面若p=0,r<n时,则称

f

为半负定二次型，A为半负定矩阵.(2)若p=0,r=n时,则称f

为负定二次型，A为负定矩阵.(3)若0<p<r≤n时,则称f

为不定二次型，A为不定矩阵.三、二次型的其他类型：设秩为r的n元二次型f=XTAX

经满秩线性变换化为规范形线性代数二次型讲义定理5设A是n阶实对称矩阵,则下列命题等价:

(i)XTAX是负定二次型(或A是负定矩阵);

(ii)对任意的非零向量X，XTAX<0;

(iii)A的所有特征值全都小于0;

(iv)A的顺序主子式负正相间，即

线性代数二次型讲义定理6设A是n阶实对称矩阵,则下列命题等价:

(i)XTAX是半正定二次型(或A是半正定矩阵);

(ii)对任意的非零向量X，XTAX≥0;

(iii)A的特征值有p个大于0，n-p个小于0;

(iv)A的顺序主子式大于或等于0，但至少有一个顺序主子式等于0.

线性代数二次型讲义例4设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n,Aij是A=(aij)nn中元素aij

的代数余子式(i,j=1,2,…,n)，二次型(1)记X=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A1;(2)二次型g(X)

=XTAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由.(1)二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵形式为A1解上一页线性代数二次型讲义第七章二次型与二次曲面因秩(A)=n,故A可逆，且从而故A1也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为A1.(2)因为所以A与A1合同，于是g(X)=XTAX与f(X)有相同的规范形.上一页线性代数二次型讲义练习解第七章二次型与二次曲面已知二次型通过正交变换化成标准形求参数a及有所用的正交变换矩阵.二次型f的矩阵特征方程为=(2)(26