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文档简介
目录CONTENTS一、解析函数的零点第四节零点与极点二、孤立奇点的分类三、零点与极点的关系第四节零点与极点由Taylor展开定理我们知道,如果函数在点解析,则在点的某个邻域内可以展开为的幂级数.如果其中
,则幂级数展开式中的常数项为,此时,我们把点称为零点.引入第四节零点与极点一、解析函数的零点定义3-5
设函数在点解析,且,则称点为函数的零点.
如果点为函数的零点,那么一定可以在的某邻域内展开成幂级数,并且.
在幂级数中,如果系数满足,,则显然有.第四节零点与极点
定义3-6
设点是函数的零点.如果在点的某邻域内的Taylor展开式为,其中,为正整数,则称点为函数的m级零点,当时,也称为单零点.一、解析函数的零点反之,如果不恒为零,那么幂级数展开式中一定存在不为零的系数.设第一个不为零的系数为,即,,则展开式为.第四节零点与极点例1判断点是下列函数的几级零点:(1);(2)
;(3)
;(4).
解由,故点是的1级零点;
故点是的1级零点;一、解析函数的零点第四节零点与极点
由,故点是的2级零点;故点是的4级零点.一、解析函数的零点第四节零点与极点
利用Taylor展开定理和幂级数的性质,立即可以得到
级零点的两个充分必要条件.定理3-9
(1)函数以点为级零点的充分必要条件是在点解析,且
,
;
(2)函数以点为级零点的充分必要条件是存在在点解析的函数,使得,且.一、解析函数的零点第四节零点与极点证
(1)利用Taylor级数的系数公式立即可得结论(1),留给读者做练习,这里仅证(2).
先证必要性.已知以点为级零点,则在的充分小邻域内可以展开为的幂级数:,其中.利用级数的性质,得到一、解析函数的零点第四节零点与极点一、解析函数的零点在的这个邻域内,当时,幂级数
收敛.由幂级数的收敛性可知,必为该幂级数的收敛点,从而该幂级数在整个邻域内收敛.记其和函数为,则在点解析,且有从而.第四节零点与极点一、解析函数的零点再证充分性,即已知存在在点非零、解析的函数,满足.由在点
解析,知在的充分小邻域内可以展开为幂级数:
,从而
,第四节零点与极点一、解析函数的零点
其中,故点为的级零点.
第四节零点与极点一、解析函数的零点
若函数在点解析,且,则称点
为函数的非零解析点.推论1
不恒为零的函数的零点必是孤立的,即对任何零点,均存在充分小的去心邻域,使函数在该去心邻域内恒不为零.证若不恒为零,点是它的零点,则必存在正整数,使为的级零点,由定理3-9(2),在的充分小邻域内可表示为
,其中以为非零解析点.第四节零点与极点一、解析函数的零点利用解析函数的连续性,知在充分小邻域内均有,而时,因此在对应的去心邻域内.推论2若点分别是函数与的级和级零点,则是的级零点.推论2的证明留给读者作为练习.比如例1(4),易知是函数的3级零点,是的1级零点,因此由推论2知是的4级零点.第四节零点与极点二、孤立奇点的分类若点为函数的孤立奇点,则在的充分小的去心邻域(特殊的圆环域)内解析,从而可以展开为Laurent级数:
.根据展开式中主要部分即的情况,将孤立奇点分为三类:可去奇点、极点及本性奇点.第四节零点与极点
定义3-7若函数在孤立奇点的某去心邻域内能展开为Laurent级数:,即展开式的主要部分为0,则称为的可去奇点.二、孤立奇点的分类1.可去奇点第四节零点与极点注意到,该展开式为幂级数,其和函数为
由和函数性质可知是解析函数.二、孤立奇点的分类如,以为孤立奇点,其在
内可以展开为Laurent级数:
,因此是的可去奇点.第四节零点与极点像这样将函数在可去奇点处重新定义函数值,使之成为某邻域内的解析函数的过程,称为解析延拓,这里为在的去心邻域内的Laurent展开式中的常数项.由于可去奇点在解析延拓之后变为解析点,因此常常将可去奇点视为解析点.显然,若在可去奇点的去心邻域内的展开式为,则由幂级数的解析性,可知极限存在:.二、孤立奇点的分类第四节零点与极点
定义3-8若函数在孤立奇点的某去心邻域内的Laurent级数展开式的主要部分为有限多项(指系数非零的项,下同),则称为的极点;若展开式为
,即主要部分为
,二、孤立奇点的分类2.极点第四节零点与极点二、孤立奇点的分类其中,则称为的m级极点,当时也称为单极点.如,当时,
,主要部分为,因此为函数的2级极点.第四节零点与极点二、孤立奇点的分类若以点为级极点,则在的某去心邻域内,
其中.第四节零点与极点二、孤立奇点的分类由于为幂级数,记其和函数为,则在解析,且.于是有,而.证
前面已证明了其必要性,现在证明其充分性.第四节零点与极点二、孤立奇点的分类定理3-10点是函数的级极点的充分必要条件是可以表示成的形式,其中以为非零解析点.设,由以为非零解析点知,在的充分小邻域内可以展开为幂级数:
,其中.第四节零点与极点二、孤立奇点的分类于是
,从而点是的级极点.第四节零点与极点
定义3-9若函数在孤立奇点的某去心邻域内的Laurent级数展开式的主要部分为无穷多项,则称为的本性奇点.如,,,有无穷多项负幂项(即主要部分为无多项),因此
是函数的本性奇点.二、孤立奇点的分类3.本性奇点第四节零点与极点二、孤立奇点的分类在数学上可以证明(Weierstrass),若是的本性奇点,则对任何复常数(包括的情形),均存在点列,使,且.由此可知,极限既不存在也不是.第四节零点与极点二、孤立奇点的分类综合以上三种情况,由于三种情况的互补性,可知极限状况均为充要条件,即有定理3-11设点为函数的孤立奇点,则为的可去奇点、极点、本性奇点的充分必要条件分别是存在、、不存在也不是.第四节零点与极点三、零点与极点的关系
对于极点的级数的判断,前面讲了两种方法(其中是正整数):(1)若函数在孤立奇点的去心邻域内的Laurent展开式为
则为的级极点;第四节零点与极点三、零点与极点的关系(2)若函数在孤立奇点的去心邻域内可表示成的形式,其中以为非零解析点,则为的级极点.下面再来介绍一种常用的利用零点的方法.第四节零点与极点定理3-12若点是函数的级零点,则
是函数的级极点.的形式,三、零点与极点的关系证
由点是函数的级零点,可知在的某邻域内可以表示成的形式,这里以为非零解析点.于是可以表示成第四节零点与极点而显然在点解析且,因此是函数的级极点.三、零点与极点的关系第四节零点与极点例2求函数的奇点并判断类型.解令,得到的奇点为,.由于,而
知是函数的1级零点,从而是的1级极点.三、零点与极点的关系第四节零点与极点三、零点与极点的关系
推论设函数,点分别是和的级和级零点,则当时,点为的级极点;当时,点为的可去奇点.证明留给读者作为练习.读者还可以将推论推广到分子分母有多个因子的情形.第四节零点与极点解(1)函数及均在复平面上解析,令,得到的唯一奇点为
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