复变函数与积分变换教学课件10

目录CONTENTS一、解析函数的零点第四节零点与极点二、孤立奇点的分类三、零点与极点的关系第四节零点与极点由Taylor展开定理我们知道，如果函数在点解析，则在点的某个邻域内可以展开为的幂级数．如果其中

，则幂级数展开式中的常数项为，此时，我们把点称为零点．引入第四节零点与极点一、解析函数的零点定义3-5

设函数在点解析，且，则称点为函数的零点．

如果点为函数的零点，那么一定可以在的某邻域内展开成幂级数，并且．

在幂级数中，如果系数满足，，则显然有．第四节零点与极点

定义3-6

设点是函数的零点．如果在点的某邻域内的Taylor展开式为，其中，为正整数，则称点为函数的m级零点，当时，也称为单零点．一、解析函数的零点反之，如果不恒为零，那么幂级数展开式中一定存在不为零的系数．设第一个不为零的系数为，即，，则展开式为．第四节零点与极点例1判断点是下列函数的几级零点：(1)；(2)

；(3)

；(4)．

解由，故点是的1级零点；

故点是的1级零点；一、解析函数的零点第四节零点与极点

由，故点是的2级零点；故点是的4级零点.一、解析函数的零点第四节零点与极点

利用Taylor展开定理和幂级数的性质，立即可以得到

级零点的两个充分必要条件．定理3-9

(1)函数以点为级零点的充分必要条件是在点解析，且

，

；

(2)函数以点为级零点的充分必要条件是存在在点解析的函数，使得，且．一、解析函数的零点第四节零点与极点证

(1)利用Taylor级数的系数公式立即可得结论(1)，留给读者做练习，这里仅证(2)．

先证必要性．已知以点为级零点，则在的充分小邻域内可以展开为的幂级数：，其中．利用级数的性质，得到一、解析函数的零点第四节零点与极点一、解析函数的零点在的这个邻域内，当时，幂级数

收敛．由幂级数的收敛性可知，必为该幂级数的收敛点，从而该幂级数在整个邻域内收敛．记其和函数为，则在点解析，且有从而.第四节零点与极点一、解析函数的零点再证充分性，即已知存在在点非零、解析的函数，满足．由在点

解析，知在的充分小邻域内可以展开为幂级数：

，从而

，第四节零点与极点一、解析函数的零点

其中，故点为的级零点．

第四节零点与极点一、解析函数的零点

若函数在点解析，且，则称点

为函数的非零解析点．推论1

不恒为零的函数的零点必是孤立的，即对任何零点，均存在充分小的去心邻域，使函数在该去心邻域内恒不为零．证若不恒为零，点是它的零点，则必存在正整数，使为的级零点，由定理3-9(2)，在的充分小邻域内可表示为

，其中以为非零解析点．第四节零点与极点一、解析函数的零点利用解析函数的连续性，知在充分小邻域内均有，而时，因此在对应的去心邻域内．推论2若点分别是函数与的级和级零点，则是的级零点．推论2的证明留给读者作为练习．比如例1(4)，易知是函数的3级零点，是的1级零点，因此由推论2知是的4级零点．第四节零点与极点二、孤立奇点的分类若点为函数的孤立奇点，则在的充分小的去心邻域（特殊的圆环域）内解析，从而可以展开为Laurent级数：

．根据展开式中主要部分即的情况，将孤立奇点分为三类：可去奇点、极点及本性奇点．第四节零点与极点

定义3-7若函数在孤立奇点的某去心邻域内能展开为Laurent级数：，即展开式的主要部分为0，则称为的可去奇点．二、孤立奇点的分类1．可去奇点第四节零点与极点注意到，该展开式为幂级数，其和函数为

由和函数性质可知是解析函数．二、孤立奇点的分类如，以为孤立奇点，其在

内可以展开为Laurent级数：

，因此是的可去奇点．第四节零点与极点像这样将函数在可去奇点处重新定义函数值，使之成为某邻域内的解析函数的过程，称为解析延拓，这里为在的去心邻域内的Laurent展开式中的常数项．由于可去奇点在解析延拓之后变为解析点，因此常常将可去奇点视为解析点．显然，若在可去奇点的去心邻域内的展开式为，则由幂级数的解析性，可知极限存在：．二、孤立奇点的分类第四节零点与极点

定义3-8若函数在孤立奇点的某去心邻域内的Laurent级数展开式的主要部分为有限多项（指系数非零的项，下同），则称为的极点；若展开式为

，即主要部分为

，二、孤立奇点的分类2．极点第四节零点与极点二、孤立奇点的分类其中，则称为的m级极点，当时也称为单极点．如，当时，

，主要部分为，因此为函数的2级极点．第四节零点与极点二、孤立奇点的分类若以点为级极点，则在的某去心邻域内，

其中．第四节零点与极点二、孤立奇点的分类由于为幂级数，记其和函数为，则在解析，且．于是有，而．证

前面已证明了其必要性，现在证明其充分性．第四节零点与极点二、孤立奇点的分类定理3-10点是函数的级极点的充分必要条件是可以表示成的形式，其中以为非零解析点．设，由以为非零解析点知，在的充分小邻域内可以展开为幂级数：

，其中．第四节零点与极点二、孤立奇点的分类于是

，从而点是的级极点．第四节零点与极点

定义3-9若函数在孤立奇点的某去心邻域内的Laurent级数展开式的主要部分为无穷多项，则称为的本性奇点．如，，，有无穷多项负幂项（即主要部分为无多项），因此

是函数的本性奇点．二、孤立奇点的分类3．本性奇点第四节零点与极点二、孤立奇点的分类在数学上可以证明（Weierstrass)，若是的本性奇点，则对任何复常数（包括的情形），均存在点列，使，且．由此可知，极限既不存在也不是．第四节零点与极点二、孤立奇点的分类综合以上三种情况，由于三种情况的互补性，可知极限状况均为充要条件，即有定理3-11设点为函数的孤立奇点，则为的可去奇点、极点、本性奇点的充分必要条件分别是存在、、不存在也不是．第四节零点与极点三、零点与极点的关系

对于极点的级数的判断，前面讲了两种方法（其中是正整数）：(1)若函数在孤立奇点的去心邻域内的Laurent展开式为

则为的级极点；第四节零点与极点三、零点与极点的关系(2)若函数在孤立奇点的去心邻域内可表示成的形式，其中以为非零解析点，则为的级极点．下面再来介绍一种常用的利用零点的方法．第四节零点与极点定理3-12若点是函数的级零点，则

是函数的级极点．的形式，三、零点与极点的关系证

由点是函数的级零点，可知在的某邻域内可以表示成的形式，这里以为非零解析点．于是可以表示成第四节零点与极点而显然在点解析且，因此是函数的级极点．三、零点与极点的关系第四节零点与极点例2求函数的奇点并判断类型．解令，得到的奇点为，．由于，而

知是函数的1级零点，从而是的1级极点．三、零点与极点的关系第四节零点与极点三、零点与极点的关系

推论设函数，点分别是和的级和级零点，则当时，点为的级极点；当时，点为的可去奇点．证明留给读者作为练习．读者还可以将推论推广到分子分母有多个因子的情形．第四节零点与极点解(1)函数及均在复平面上解析，令，得到的唯一奇点为