2022届高考数学考前押题

2022年高考数学考前押题

1.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面以C是等边三角形，ABLBC,PA=PB.

(1)证明：平面B4C_L平面A8C；

PM

(2)若AC=2AB,点M在棱PC上，且二面角M-A8-C的大小为45°,求二二.

【分析】(1)取AC的中点为O,连接PO,3。，证明△POA也△POB丝△POC,从而得

到POLOB,结合POVAC,由线面垂直的判定定理证明POJ_平面48C,即可证明结论；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，设PM="C=

(0,24,-2V3A)(0<A<1),然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的

夹角公式列式，求解即可得到答案.

【解答】解：(1)证明：取AC的中点为O,连接PO,BO,

在等边△eC中，有PO_LAC,

在直角三角形A8C中，有OA=OB=OC,

又PA=PB=PC,所以△POA也△P。％△尸OC,

故NPOB=NPOA=90°,BPPO1OB,

又ACAOB=O,AC,OBu平面ABC,

贝ijPO_L平面ABC,又POu平面PAC,

所以平面用C_L平面ABC-,

AD1

(2)不妨设方=4,在直角三角形ABC中，cosNCAB=^=*,故NCAB=60°,

在底面ABC内作0£>_LAC,由(1)可知，OD,OC,OP两两垂直，

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

所以4(0,-2,0),B(百，-1,0),C(0,2,0),P(0,0,2百),

故ZB=(遮，1,0),AC=(0,4,0),AP=(0,2,2遮)，PC=(0,2,-273),

设俞=病=(0,24,-2732)(0<A<1),

则京=/+俞=(0,2(1+2),2V3(1-A)),

设平面M4B的法向量为£=(x,y,z),

则，.京=o,即［2(1+Qy+2V3(i-a)z=o,

飞.成=o'1Kx+y=0

令彳=入-1,则)=遮(1一/1),Z=-l-入，

故71—(A-1,V3(l—A))—1—4),

又晶=(0,0,2遥)是平面A8C的一个法向量，

所以cos45°=|cos<OP,n>\=摩二L=□+4:=乌,

|OP||n|J(2-l)2+3(l-A)2+(l+/l)2

iPM1

解得a=3,故U=o'

JrCo

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理，二面角，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，

将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

2.如图，在三棱柱ABC-A山1。中，A4i_L底面481C1,ACLAB,AC=2,AB=4,AA\

=6,点E,尸分别为C4与A8的中点.

(1)证明：EF〃平面BCCiBi；

(2)求二面角E-BiF-A的平面角的正切值.

2

J

VI

【分析】（1）利用AA1CC是矩形，连接A。连接BC1,利用中位线定理证明E尸〃BCi,

由线面平行的判定定理证明即可；

（2）过H在平面AA181B内，作HGL81尸交BiF于点G,连接EG,利用二面角的平面

角的定义，得到/EGH为二面角E-8F-A的平面角，然后利用边角关系求解即可.

【解答】（1）证明：在三棱柱ABC-481cl中，因为A4J_底面4BiCi,

所以三棱柱是直三棱柱，故四边形441C1C是矩形，

又因为点E是C4的中点，连接AC1,则点E是ACi的中点，

连接8。，因为尸是48的中点，所以EF〃BCi,

因为BCiu平面BCCiBi,ERE平面BCC1B1,

所以EF〃平面BCCiBi；

（2）解：因为平面CAAi_L平面A41B交于A41,Eau平面CAA1,

所以EH_L平面A418,又BiFu平面441B,

所以EHLBiF,

过，在平面AAiBiB内，作尸交81F于点G,连接EG,

因为EHCHG=H,EH,”Gu平面EG”,

所以BiF_L平面EGH,又EGu平面EGH,

所以BiFLEG,

因此NEGH为二面角E-BiF-A的平面角，

又因为ACLA8,所以/C4B=90°,

故平面CA4i_L平面44iB,

由（1）可知，四边形A4C1C是矩形，

取44的中点H,连接E”，

因为E为C41的中点，所以EHLA41,

因为AC=2,所以E4=l,

又因为AB=4,AA\—（＞,尸是AB的中点,

所以在矩形A41B3内，利用等面积法可得，

11

24=*x(3x2+3x4+6x2)+泗FxGH,

又BiF=V62+22=2，IU,

Q

因此GH=^==»

在RtAEGH中，tan/EGH=需=等，

Vio

因此二面角E-B1F-A的平面角的正切值为丁.

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【点评】本题考查了简单多面体及其结构特征的应用，线面平行的判定定理以及面面垂

直的判定定理和性质定理的应用，解题的关键是利用二面角的平面角找到对应的角，考

查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题.

3.如图，四边形4BC。为正方形，QAmABCD,PD//QA,尸0=4,QA=AB=2.

(1)证明：PQ_L平面DCQ-,

(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.

【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出直线

的方向向量，由空间向量垂直的坐标表示证明PQ_L。。，PQLDC,然后由线面垂直的判

定定理证明即可；

(2)求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面P8C和平面P8Q

的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明：因为四边形A8C。为正方形，QA，平面ABC。,

故以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

所以。(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),

则访=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0),

所以々.而=0,PQ-DC=0,

即PQ±DQ,PQLDC,

又。QDOC=C,DQ,OCu平面OCQ,

故PQL平面。CQ；

(2)由题意可得8(1,0,1),

所以B=(l,0,0),BP=(-1,2,-1),

设％=(x,y,z)是平面PBC的法向量，

喏公,瞎'一。，

令y=-1,贝Uz=-2,

故几=(0,—1,—2),

设=(mb,c)是平面P8Q的法向量,

则何.另=0,即『号巴•』,

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