湖南省株洲市莲塘坳中学高二数学理摸底试卷含解析

湖南省株洲市莲塘坳中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形，则椭圆离心率为（

）

A、 B、 C、 D、参考答案：A略2.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则=

(

)A.33

B.84

C.72

D.189参考答案：B3.已知、之间的数据如下表所示，则与之间的线性回归方程过点（

）．

．

．

．参考答案：D4.已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（

）

A.3

B.

C.

D.2参考答案：D5.已知向量，若，则实数m的值为

（

）A．0

B．2

C．

D．2或

参考答案：C略6.若复数，则z=(

)A.i B.1+2i C.2+2i D.－1+2i参考答案：B【分析】根据复数除法和模长的运算法则整理出.【详解】本题正确选项：B

7.参考答案：D略8.已知，，，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据条件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，从而得出a，b，c大小关系．【详解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故选：A．【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．9.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取样本容量为36的样本，最适合的抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．抽签法参考答案：C【考点】分层抽样方法．【分析】由题意根据总体由差异比较明显的几部分构成可选择．【解答】解：总体由差异比较明显的几部分构成，故应用分层抽样．故选C10.由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为（）．A． B．1 C． D．参考答案：A，选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线x2=y的焦点坐标为．参考答案：考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据方程得出焦点在y正半轴上，p=即可求出焦点坐标．解答：解：∵抛物线x2=y，∴焦点在y正半轴上，p=∴焦点坐标为（0，），故答案为；（0，），点评：本题考查了抛物线的方程与几何性质，求解焦点坐标，属于容易题．12.点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题中正确命题的序号是____________.①三棱锥的体积不变；②∥平面；③⊥；

④平面⊥平面．参考答案：略13.设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________。参考答案：3514.P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．【解答】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴=×12sin60°=3故答案为315.圆截直线所得的弦长为

.参考答案：16.命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为

．参考答案：若x＞2，则x＞1

【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为命题“若x＞2，则x＞1”，故答案为：若x＞2，则x＞1【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．17.已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．参考答案：y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设F（c，0），代入直线x+3y﹣2b=0，可得c=2b，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用直线经过双曲线的焦点，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点．（如图），且，直线过曲线的上焦点，与椭圆交于点、．（1）下面的三个问题中，直线分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）①直线斜率为，求线段的长．②，求直线的方程．③当面积最大时，求直线的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点．（如图），且，直线过曲线的上焦点，与椭圆交于点、．自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图3-4中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．参考答案：见解析．（1）①解：由题意可知直线的方程为，椭圆的方程为，由得，设，，则由韦达定理得：，，∴线段．②解：易知直线的斜率一定存在，设直线，代入椭圆中得：，设，，则由韦达定理得：，，∴，∵，∴，解得：，∴直线的方程为：．③解：易知直线斜率一定存在，设直线，代入椭圆中得：，设，，则由韦达定理得：，，∴线段，又原点到直线的距离，∴的面积，∵，∵，当且仅当，即时，取等号，∴的面积最大为，此时直线的方程为：．（2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等．（3）设直线的斜率为，若椭圆的下顶点为，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值．19.如图：是=的导函数的简图，它与轴的交点是（1,0）和（3,0）（1）求的极小值点和单调减区间

（2）求实数的值.参考答案：（1）是极小值点-----3分

是单调减区间-----6分（2）由图知，

-------12分

略20.如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高.）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若

=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价与梯形顶部单位面积钢板造价相同且为定值，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少.参考答案：解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10，2）在椭圆上，令椭圆方程为+=1.将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时=2a=,因此隧道的拱宽约为

m.（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可．由椭圆方程+=1，得+=1.因为+≥，即ab≥40，所以半椭圆面积S=≥.当S取最小值时，有==，得a=10，b=.此时l=2a=20，

h=b+3=+3故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小

（3）根据题意设要使总造价最低，只要梯形的两腰长与上底长之和最短即可，令这个和为，则，的几何意义是点（x，0）到点（0,0）和点（15,2）的距离和的两倍，答：，总造价最小。21.（本小题满分10分）在中，已知角所对的边分别为、、，直线与直线，互相平行(其中)

⑴求角的值;⑵若

,求的取值范围.参考答案：22.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E、F分别是所在棱AB、BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF、AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）（理科）求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积．（文科）求以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF、AC1所成角．（2）（理科）由=（0，2，0），=（﹣，4，0），求出S△AEF，由此能求出以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积．（2）（文科）由S△BEF===，能求出以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积．【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得E（3，2，0），F