随机变量及概率分布

随机变量及概率分布第1页，课件共68页，创作于2023年2月§1

随机变量及其分布函数一、

随机变量第2页，课件共68页，创作于2023年2月

以X记两号码之和，对于每一个样本点e，X都有一个值与之对应。第3页，课件共68页，创作于2023年2月S1.定义:设随机试验E的样本空间是S={e}，若对于每一个e∈S,有一个实数X(e)与之对应,即X(e)是定义在S上的单值实函数，称为随机变量。（randomvariable,简记为r.v.)例3.测试灯泡寿命试验,其结果是用数量表示的.记灯泡的寿命为X,则X是定义在样本空间S={e}={t|t≥0}上的函数,即X=X(e)=t,e=t∈S.e1第4页，课件共68页，创作于2023年2月有了随机变量X,以前的各种随机事件均可用X的变化范围来表示:如例1中:A=“正面朝上”用{X=1}表示B=“反面朝上”用{X=0}表示反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件.{0<X<2}=“正面朝上”.{X<0}=,第5页，课件共68页，创作于2023年2月注:(1)可用随机变量X描述事件.例掷一颗骰子,设出现的点数记为X,事件A为“掷出的点数大于3”,则A可表示为“X>3”.随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性—概率分布.第6页，课件共68页，创作于2023年2月2.分类：(1)离散型随机变量;(2)非离散型随机变量.10连续型随机变量20非连续型随机变量第7页，课件共68页，创作于2023年2月二、随机变量的分布函数很多时候，我们需要考虑r.v.的取值落入一个区间的概率,如定义：设r.v.X,x为任意实数,则F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数.P{x1<X≤x2},P{X≤x}等,为此引入随机变量的分布函数.(1)P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).(2)无论是离散型r.v.还是非离散型r.v.,分布函数都可以描述其统计规律性.第8页，课件共68页，创作于2023年2月2.性质:(1)F(x)是单调不减函数.x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}0.(2)0≤F(x)≤1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列个间断点,而在其间断点上也是右连续的,F(x+0)=F(x).第9页，课件共68页，创作于2023年2月§2

离散型随机变量1.定义若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个,则称为离散型随机变量.Xx1x2…xn…pkp1p2…pn...第10页，课件共68页，创作于2023年2月例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以概率p禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的组数,求X的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).解:X01234pk即P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=4}=(1-p)4

p解:X01234pk解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk第11页，课件共68页，创作于2023年2月练习：(1)一个口袋中有4个红球，2个白球，逐一地从袋中不放回摸球，直至摸到红球为止。设摸球次数为X，求X的分布律。(2)一个盒子中有1，2，…

，10共十个号码牌，在盒子中同时取4个号码牌，以X表示取出的4个号码牌中的最大号码，写出随机变量X的分布律。第12页，课件共68页，创作于2023年2月例2.离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数. X-123pk1/41/21/4求：X的分布函数,并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.解第13页，课件共68页，创作于2023年2月P{X≤1/2}=F(1/2)P{X≤1/2}=P{X=-1}=1/4,=1/4或由分布律直接得P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)-F(3/2)=1/2.第14页，课件共68页，创作于2023年2月几种重要的离散型随机变量（一）0-1分布

设随机试验E有两种可能的结果：S={e1,e2},设随机变量X：第15页，课件共68页，创作于2023年2月(二)伯努利试验、二项分布例1.设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数,每次试验中A发生的概率为p,则X是一个随机变量,我们来求它的分布律.第16页，课件共68页，创作于2023年2月一般地有称X服从参数为n,p的二项分布,记为X~b(n,p).当n=1时,P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为0-1分布.第17页，课件共68页，创作于2023年2月例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品的只数X的分布律.解:第18页，课件共68页，创作于2023年2月例3.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.当n较大,p又较小时,二项分布的计算比较困难,例如0.98400，0.02400,…,可以用Pois-son分布近似计算.第19页，课件共68页，创作于2023年2月例4.设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一个人处理。考虑两种方法，其一是由4人维护，每人负责20台，其二是由3人共同维护80台，试比较这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概率的大小。第20页，课件共68页，创作于2023年2月第21页，课件共68页，创作于2023年2月(三)泊松分布(Poisson)

(2)泊松分布有很多应用.第22页，课件共68页，创作于2023年2月泊松(Poisson)定理：证明:(3)二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出.第23页，课件共68页，创作于2023年2月泊松定理的意义：1.在定理的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布.2.当n很大且p又较小时,第24页，课件共68页，创作于2023年2月(四)几何分布进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p=q(0<p<1),将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,则X的分布律为:P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…称为X服从参数为p的几何分布.例设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖止,求购买次数X的分布律.解：P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…第25页，课件共68页，创作于2023年2月若该人共准备购买10次共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数Y的分布律.解：P{Y=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P{Y=10}=p(1-p)9+(1-p)10=(1-p)9.第26页，课件共68页，创作于2023年2月引例.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求X的分布函数.§3

连续型随机变量第27页，课件共68页，创作于2023年2月第28页，课件共68页，创作于2023年2月则称X为连续型r.v.f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量的分布函数是连续函数。第29页，课件共68页，创作于2023年2月第30页，课件共68页，创作于2023年2月第31页，课件共68页，创作于2023年2月第32页，课件共68页，创作于2023年2月第33页，课件共68页，创作于2023年2月第34页，课件共68页，创作于2023年2月3.关于连续型r.v.的一个重要结论:定理:设X为连续型r.v.它取任一指定的实数值a的概率均为0.即P{X=a}=0.第35页，课件共68页，创作于2023年2月4.几个常用的连续型r.v.分布(一)均匀分布:则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作X~U(a,b).此概率与子区间长度成正比,而与子区间的位置无关,

这也是均匀分布的由来.第36页，课件共68页，创作于2023年2月分布函数为:第37页，课件共68页，创作于2023年2月(二)指数分布:1.定义:如果连续型随机变量X的概率密度为:则称X服从参数为的指数分布。第38页，课件共68页，创作于2023年2月第39页，课件共68页，创作于2023年2月(三)正态分布:第40页，课件共68页，创作于2023年2月第41页，课件共68页，创作于2023年2月如何计算概率?通过标准正态分布计算其它一切正态分布的概率:(2)标准正态分布:第42页，课件共68页，创作于2023年2月引理:第43页，课件共68页，创作于2023年2月第44页，课件共68页，创作于2023年2月第45页，课件共68页，创作于2023年2月例设某商店出售的白糖每包的标准重量500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;(3求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.第46页，课件共68页，创作于2023年2月(1)

由(x)=0.05怎样查表求x的值?由于(x)=0.05,1-(x)=1-0.05,所以(-x)=0.95,而(1.645)=0.95,即:-x=1.645,故x=-1.645.第47页，课件共68页，创作于2023年2月(2)若X~N(,2)P{-≤X≤+}=2(1)-1=0.6286.P{-2≤X≤+2}=2(2)-1=0.9544.P{-3≤X≤+3}=2(3)-1=0.997.由上三式可知,服从正态分布N(,2),的r.v.X之值几乎全部落入[-3,+3]内,称为3原则，常应用于工程技术中。第48页，课件共68页，创作于2023年2月z(x)0(3)标准正态分布的上分位点:第49页，课件共68页，创作于2023年2月§4.

随机变量的函数的分布我们将研究如何由已知的r.v.X的分布,去求得它的函数Y=g(X)的分布,(其中g(.)是已知的连续函数),分两种情形讨论:一、X为离散型r.v.例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101第50页，课件共68页，创作于2023年2月即Y014pk0.10.70.21.

离散型r.v.函数的概率分布的求法:设X的概率分布如下表:Xx1x2…xk…P{X=xi}p1p2…pk...(1)记yi=g(xi)(i=1,2,…),若yi的值是互不相同的,则Y的概率分布如下表:Yy1y2…yk…P{Y=yi}p1p2…pk...第51页，课件共68页，创作于2023年2月二、X为连续型r.v.(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相同的,则应将那些相同值所对应的概率pi相加,可得Y的分布律.第52页，课件共68页，创作于2023年2月1.“分布函数法”:(1)先求出Y的分布函数:FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{XG},其中

G={x:g(x)≤y},转化为关于X的事件,再利用X

的分布函数表示.(2)对y求导得到Y的概率密度:fY(y)=FY′

(y).第53页，课件共68页，创作于2023年2月第54页，课件共68页，创作于2023年2月第55页，课件共68页，创作于2023年2月(1)若f(x)在有限区间[a,b]以外等于零,则只需假设在[a,b]上g(x)严格单调,选取

=min(g(a),g(b)),=max(g(a),g(b)).2.定理:设X是连续型r.v.,具有概率密度fX(x),设y=g(x)是x的严格单调函数,且反函数x=h(y)具有连续的导函数.当g(x)严格增加时,记=g(-),=g(+)