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人民教育出版社义务教育教科书八年级数学<上册>第十三章轴对称13.4

课题学习最短路径问题灵川县大圩中学

王璨最短路径问题

是生活中的实际问题，在修路、铺管道的时候，可以起到节约人力、物力和财力的作用，同时它又与我们的数学知识联系紧密。今天我们通过几个实际的问题来学习如何设计最短路径。A..Bl.C问题1

如图：A，B两城镇在燃气管道的异侧，在燃气管道的哪个位置建气站，可使向两城镇供气所用的输气管线最短？l.O两点之间，线段最短三角形的两边之和大于第三边A.问题2

如图：A，B两城镇在燃气管道l的同侧，在燃气管道的哪个位置建气站，可使向两城镇供气所用的输气管线最短？lA..B.B.C抽象为数学问题B·lA·B·lA·抽象为数学问题·CAC+CB的和最小？联想问题1的解决方法A..Bl.C思考：能把A，B两点转化到直线l的异侧吗？.Al.B.B.B′C·分析：（1）作点B关于直线l的对称点B′；解答过程：1.作点B关于直线l的对称点B′；2.连接AB′与直线l交于点C，则点C就是所求的点。（2）由轴对称可知：AC+CB=AC+CB'，要使AC+CB的和最小，则AC+CB'的和应最小。

连接AB′，与直线l相交于点C．这时AC+CB'的和最小.因为两点之间，线段最短。提示：这里也可作点A关于直线l

的对称点来解决。下面给出简单证明：为什么AC+BC的和最小？

由轴对称的性质知，BC=B′C，

BC′=B′C′AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=

AC′+B′C′>AB′B·lA·B′CC′..证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．∴连接AB′与直线l

的交点C可使

AC+BC的和最小。结论：当A，B两点在直线l

的同侧时，

1.作点B关于直线l的对称点B′，

2.线段AB′与直线l的交点C

可使AC+BC的和最小。

.Al.B.A.B.B′C·

作用：1.将直线同侧的两点问题转化为直线异侧的两点问题；2.利用轴对称的性质可以将相等线段转化。作对称点是关键的地方。问题2的解决方法lA..B.B.C解：如图，（1）作点B关于直线l的对称点B′；.B'（2）连接AB′，与直线l相交于点C．

则点C就是所求的点．练习：将军饮马问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：他从图中的A地出发，到一条笔直的河边l

饮马，然后到B地，问到河边什么地方饮马，可使他所走的路径最短？BAlA/..C解：如图，（1）作点A

关于直线l

的对称点A′；（2）连接A′B，与直线l相交于点C．

则到河边C处饮马，可使他所走的路径最短．归纳小结：1.建立模型：B·lA·B′C...B··Al.-----------------C（1）两点在直线l

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