2023年山东省德州市乐陵市第一中学高二数学第二学期期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数满足，函数.若函数与的图象共有个交点，记作，则的值为A． B． C． D．2．下列命题中：①“x>y”是“x②已知随机变量X服从正态分布N3，  ③线性回归直线方程y=bx+④命题“∃x∈R，x2+x+1>0其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4．若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知，则（）A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.2166．已知的二项展开式中含项的系数为，则()A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．8．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）.A．-1 B． C． D．9．x-2xn的展开式中的第7A．16 B．18 C．20 D．2210．已知双曲线，两条渐近线与圆相切，若双曲线的离心率为，则的值为（）A． B． C． D．11．已知函数的图像关于直线对称，且对任意有，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．12．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是（是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，向量满足，则的最大值为________．14．关于x的方程的解为_________.15．已知直线l的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为______．16．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则，其中正确命题的序号是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在正项等比数列{}中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.19．（12分）如图,棱锥P-ABCD的地面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=22(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-CD-B的大小;(3)求点C到平面PBD的距离.20．（12分）如图，三棱柱中，平面平面，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知直线的参数方程为为参数和圆的极坐标方程为（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系．22．（10分）某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：人文科学类自然科学类艺术体育类课程门数每门课程学分学校要求学生在高中三年内从中选修门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.（1）求甲三种类别各选一门概率；（2）设甲所选门课程的学分数为，写出的分布列，并求出的数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：根据题意求解，的对称中心点坐标的关系，即两个图象的交点的关系，即可解得答案详解：函数满足，即函数关于点对称函数即函数关于点对称函数与的图象共有个交点即在两边各有个交点，则共有组，故，故选点睛：本题结合函数的对称性考查了函数交点问题，在解答此类题目时先通过化简求得函数的对称中心，再由交点个数结合图像左右各一半，然后求和，本题有一定难度，解题方法需要掌握。2、B【解析】

①充要条件即等价条件，不等价则不充要；②根据正态分布的特征，且μ=3，得到P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)，判断其正确；③根据回归直线的特征，得出其正确；④写出命题p的否定¬p，判定其错误；最后得出结果.【详解】对于①，由x>y≥0，可以推出x2>y2，充分性成立，x2对于②，根据题意得P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)=1-0.72=0.28，所以②正确；对于③，根据回归直线一定会过样本中心点，所以③正确；对于④，命题“∃x∈R，x2所以正确命题有两个，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断命题的正误的问题，涉及到的知识点有充要条件，正态分布，含有一个量词的命题的否定，回归直线方程的特征，属于简单题目.3、A【解析】

由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.4、A【解析】

将条件转化为有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.【详解】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A【点睛】1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.2.若方程有根，则的范围即为函数的值域5、B【解析】

根据二项分布的期望的计算公式求解即可得到结果．【详解】∵，∴．故选B．【点睛】本题考查二项分布的期望，解题的关键是熟记此类分布期望的计算公式，属于基础题．6、C【解析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.详解：因为的二项展开式中，所以,因此选C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.7、A【解析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B.8、A【解析】

先根据的单调性确定出最小值从而确定出的值，再由不等式即可得到的范围，根据二次函数零点的分布求解出的取值范围.【详解】因为，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，又因为，所以，因为对应的，且有零点，（1）当时，或，所以，所以，所以，（2）当时，或，此时，所以，综上可知：，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.9、B【解析】

利用通项公式即可得出．【详解】x-2xn的展开式的第7项令n2-9=0＝0，解得n＝故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10、A【解析】

先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果.【详解】渐近线方程为：，又因为双曲线的离心率为，，所以，故渐近线方程为，因为两条渐近线与圆相切，得：，解得；故选A。【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求出参数，以及由双曲线的离心率求渐近线方程，熟记双曲线的简单性质，以及直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.11、A【解析】∵函数的图象关于直线对称，∴函数的图象关于直线对称，∴函数为偶函数．又对任意有，∴函数在上为增函数．又，∴，解得.∴的取值范围是.选A．12、B【解析】

销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为，由题意，得，即，当时，，解得，故，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：由题意得，由若满足知，，当且仅当与同向且时，取等号，所以，而有基本不等式知，，所以，当且当即时取等号，故的最大值为．考点：1.向量加法的平行四边形法则；2.基本不等式.【方法点睛】本题主要考查的是向量模的运算性质，向量的平行四边形法则及其向量垂直的性质，属于难题，向量的模的最值运算，一般要化为已知量的关系式，常用的工具，在平行四边形中，再结合基本不等式可得当时，,,即取最大值.14、0或2或4【解析】

因为，所以：或，解方程可得．【详解】解：因为，所以：或，解得：，，，（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．15、【解析】

根据曲线的参数方程，设，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解．【详解】由题意，设，则到直线的距离，故答案为．【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、①②【解析】

①利用线面平行性质以及线面垂直的定义判断真假；②利用面面平行的性质以及线面垂直的性质判断真假；③④可借助正方体判断真假.【详解】①因为，过作平面，使得，则有；又因为，所以，又因为，所以，故①正确；②因为，所以；又因为，所以，故②正确；③例如：正方体上底面的对角线分别平行下底面，但是两条对角线互相不平行，故③不正确；④选正方体同一顶点处的三个平面记为，则有，但与相交，故④不正确.故填：①②.【点睛】判断用符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系的正误：（1）直接用性质定理、判定定理、定义去判断；（2）借助常见的空间几何体辅助判断（正方体等）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)根据已知条件且可解得公比,再代入通项公式即可得到;(2)利用错位相减法可求得.【详解】设正项等比数列{an}的公比为(,（1）∵∴,所以∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.18、（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，.【解析】

(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；(2)由题意，随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】(1)由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1，可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)随机变量的所有可能取值为，则，所以，随机变量的分布列为0123所以随机变量的数学期望．【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19、(1)见解析;(2)θ=45°;(3)23【解析】

（1）先证明ABCD为正方形,可得BD⊥AC,由PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得BD⊥PA，利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零，列方程组求出平面PCD的法向量，结合(0,0,2)为平面ABCD的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可；（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量PC，然后求出PC【详解】(1)解法一:在RtΔBAD中,AD=2,BD=22∴AB=2,∴ABCD为正方形,因此BD⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.解法二:以AB,AD,AP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,0,0,D0,2在RtΔBAD中,AD=2,BD=22∴AB=2,∴B2,0,0,∴AP=(0,0,2),AC∵BD⋅AP=0即BD⊥AP,BD⊥AC.又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.(2)解法一:由PA⊥平面ABCD,知AD为PD在平面ABCD上的射影.又CD⊥AD,∴CD⊥PD,∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角.又∵PA=AD,∴∠PDA=45°.解法二:由1题得PD=0,2,-2设平面PCD的法向量为n1=x,y,z,则n即0+2y-2z=0-2x+0+0=0,∴x=0故平面PCD的法向量可取为n1∵PA⊥平面ABCD,∴AP=(0,0,2)设二面角P-CD-B的大小为θ,依题意可得cosθ=∴θ=45°.(3)解法一:∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD=22设C到平面PBD的距离为d,由VP-BCD有13得d=2解法二:由1题得PB=2,0,-2设平面PBD的法向量为n2则n2⋅PB即2x+0-2z=00+2y-2z=0∴x=y=z.故平面PBD的法向量可取为n2∵PC=(∴C到平面PBD的距离为d=n【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的