高考数学全国卷（甲卷、乙卷、新课标I、新课标II）3年（2023-2023）真题分类汇编-平面向量（含解析）

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高考数学全国卷（甲卷、乙卷、新课标I、新课标II）3年（2023-2023）真题分类汇编-平面向量

一、单选题

1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（）

A．B．C．0D．1

2．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）

A．B．

C．D．

3．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（）

A．B．C．D．

4．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（）

A．B．3C．D．5

5．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（）

A．B．C．D．

6．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（）

A．B．

C．D．

7．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（）

A．B．C．5D．6

8．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（）

A．2B．3C．4D．5

9．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（）

A．B．C．1D．2

10．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

11．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（）

A．B．C．D．

12．（2023·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

二、多选题

13．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）

A．直线的斜率为B．

C．D．

14．（2023·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（）

A．B．

C．D．

三、双空题

15．（2023·天津·统考高考真题）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为；若，则的最大值为．

16．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为

17．（2023·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．

18．（2023·北京·统考高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则

；.

四、填空题

19．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则．

20．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．

21．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则．

22．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．

23．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，，，．

24．（2023·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为.

25．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则．

26．（2023·全国·高考真题）若向量满足，则.

27．（2023·全国·统考高考真题）已知向量．若，则．

28．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则．

五、解答题

29．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．

(1)若，求；

(2)若，求．

参考答案：

1．B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量满足，

所以.

故选：B

2．A

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.

【详解】如图所示，，则由题意可知:，

由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

综上可得，的最大值为.

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

3．D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为,所以,

即,即,所以.

如图,设,

由题知,是等腰直角三角形,

AB边上的高,

所以,

,

.

故选:D.

4．B

【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知，

则，

所以；

方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，可得，

所以；

方法三：由题意可得：，

在中，由余弦定理可得，

所以.

故选：B.

5．B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.

【详解】因为，所以，

则，，

所以.

故选：B.

6．D

【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．

故选：D．

7．C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：,,即,解得,

故选：C

8．D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

9．C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

10．D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

11．B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

12．B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

13．ACD

【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，

代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；

对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，

设，则，则，代入抛物线得，解得，则，

则，B错误；

对于C，由抛物线定义知：，C正确；

对于D，，则为钝角，

又，则为钝角，

又，则，D正确.

故选：ACD.

14．AC

【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

15．

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

【详解】空1：因为为的中点，则，可得，

两式相加，可得到，

即，则；

空2：因为，则，可得，

得到，

即，即.

于是.

记，

则，

在中，根据余弦定理：，

于是，

由和基本不等式，，

故，当且仅当取得等号，

则时，有最大值.

故答案为：；.

16．

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．

法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．

【详解】方法一：

，，

，当且仅当时取等号，而，所以．

故答案为：；．

方法二：如图所示，建立坐标系：

，，

，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．

故答案为：；．

17．1

【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.

【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，

，

，为边长为的等边三角形，，

，

，

，

所以当时，的最小值为.

故答案为：1；.

18．03

【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则，

，，

.

故答案为：0；3.

19．

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.

【详解】法一：因为，即，

则，整理得，

又因为，即，

则，所以.

法二：设，则，

由题意可得：，则，

整理得：，即.

故答案为：.

20．

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．

【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则,，设,于是，

因为，所以，故的取值范围是.

故答案为：．

21．/

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

22．

【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．

故答案为：．

23．

【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得，

因此，.

故答案为：.

24．

【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意，设，

则，即，

又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，

所以在方向上的投影，

即,

所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.

25．

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．

【详解】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．

26．

【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案

【详解】∵

∴

∴.

故答案为：.

27．.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值

【详解】,

，解得,

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.

28．

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，

解方程可得：.

故答案为：.

29．(1)；

(2).

【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再