2023年浙江省苍南县金乡卫城中学高二数学第二学期期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．2．设随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．3．用反证法证明命题“已知，且，则中至少有一个大于”时，假设应为（）A．且 B．或C．中至多有一个大于 D．中有一个小于或等于4．已知集合，集合满足，则集合的个数为A． B． C． D．5．已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC，若，则的最大值为A． B．4 C． D．36．过点，且与直线平行的直线的方程为（）A． B． C． D．7．一个袋中装有大小相同的个白球和个红球，现在不放回的取次球，每次取出一个球，记“第次拿出的是白球”为事件，“第次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（）A． B． C． D．8．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．直线与曲线相切于点，则的值为（）A．2 B．－1 C．1 D．－210．已知的分布列为-101设，则的值为（）A．4 B． C． D．111．若实数满足条件，则的最小值为A． B． C． D．12．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是函数f(x)的导函数，,则________.14．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为____.15．设，则____________.16．某射击运动员每次击中目标的概率为0.8，现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（，）（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年流入量发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？18．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示.19．（12分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.20．（12分）高二年级数学课外小组人:（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?（2）从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?21．（12分）已知是奇函数.（1）求的值；（2）若，求的值22．（10分）已知i为虚数单位，m为实数，复数.（1）m为何值时，z是纯虚数？（2）若，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】故选2、B【解析】

根据正态密度曲线的对称性得出，再由可计算出答案．【详解】由于随机变量服从正态分布，由正态密度曲线的对称性可知，因此，，故选B．【点睛】本题考查正态分布概率的计算，充分利用正态密度曲线的对称性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．3、A【解析】

根据已知命题的结论的否定可确定结果.【详解】假设应为“中至少有一个大于”的否定，即“都不大于”，即“且”.故选：.【点睛】本题考查反证法的相关知识，属于基础题.4、D【解析】分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可详解：集合，集合满足，则满足条件的集合的个数是故选点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。5、A【解析】

由题意得出，设，，利用三角函数辅助角公式可得出的最大值.【详解】由于、、是直径为的球的三条两两相互垂直的弦，则，所以，设，，，其中为锐角且，所以，的最大值为，故选A.【点睛】本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为，高为，其外接球的直径为，则，充分利用这个模型去解题，可简化计算，另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解．6、A【解析】

求出直线的斜率，根据两直线平行斜率的性质，可以求出所求直线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般方程.【详解】因为的斜率为2，所以所求直线的方程的斜率也为2，因此所求直线方程为，故本题选A.【点睛】本题考查了求过一点与已知直线平行的直线的方程.本题也可以这样求解：与直线平行的直线可设为，过代入方程中，，所以直线方程为，一般来说，与直线平行的直线可设为；与直线垂直的直线可设为.7、D【解析】

将事件表示出来，再利用排列组合思想与古典概型的概率公式可计算出事件的概率．【详解】事件：两次拿出的都是白球，则，故选D.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题时先弄清楚各事件的基本关系，然后利用相关公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．8、A【解析】

令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.【详解】方程可化为，令，有，令可知函数的增区间为，减区间为、，则，，当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9、A【解析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线与曲线相切于点，则点满足直线，代入可得，解得，又由曲线，则，所以，解得，即，把点代入，可得，解答，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【详解】，因为，所以.【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量，具有线性关系，直接利用公式能使运算更简洁.11、B【解析】分析：作出约束条件的平面区域，易知z=的几何意义是点A（x，y）与点D（﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．详解：由题意作实数x，y满足条件的平面区域如下，z=的几何意义是点P（x，y）与点D（﹣1，0），连线的直线的斜率，由，解得A（1，1）故当P在A时，z=有最小值，z==．故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查线性规划和斜率的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率.12、D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：先求导，再求，再求.详解：由题得令x=0得，所以.故答案为：ln2.点睛：(1)本题主要考查求导和导数值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力，属于基础题.(2)解答本题的关键是求.14、【解析】

焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，可知，由此可求出双曲线的离心率。【详解】由题可设焦点在轴上的双曲线方程为，由于该双曲线的渐近线方程为，则，在双曲线中，所以双曲线的离心率，故双曲线的离心率为。【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线渐近方程的应用，属于基础题。15、1023【解析】

分别将代入求解即可【详解】将代入得；将代入得故故答案为1023【点睛】本题考查二项式展开式中项的系数和，考查赋值法和方程的思想，是基础题16、0.75【解析】

根据随机模拟的方法，先找到20组数据中至少含有2,3,4,5,6,7,8,9中的3个数字的组数，然后根据古典概型求出概率．【详解】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次击中3次的有：7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281，共15组随机数，所以所求概率为，故答案为0.75.【点睛】本题考查随机模拟的应用，考查理解能力和运用能力，解题时读懂题意是解题的关键，然后在此基础上确定基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式求解．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）2台.【解析】

（1）求出，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）记水电站的总利润为（单位，万元），求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机时的分布列和数学期望，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机的台数．【详解】解：（1）依题意，，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：．（2）记水电站的总利润为Y（单位，万元）安装1台发电机的情形：由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，，安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此，当时，两台发电机运行，此时，因此，，由此得Y的分布列如下Y34008000P0.20.8所以．安装3台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此，当时，两台发电机运行，此时，因此，，当时，三台发电机运行，此时，因此，，由此得Y的分布列如下Y2800740012000P0.20.70.1所以．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，是中档题．18、(1)(2)【解析】

（1）由题意列方程组，求解方程组即可得解；（2）由直线和椭圆联立，利用弦长公式结合韦达定理求表示即可.【详解】（1）由题意解得故椭圆C的方程为．（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8＝0，所以，．因为|AB|＝4|，所以，所以，整理得k2(4-m2)＝m2-2，显然m2≠4，又k＞0，所以．故．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的弦长问题，属于基础题.19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）抛掷5次的得分可能为，且正面向上和反面向上的概率相等，都为，所以得分的概率为，即可得分布列和数学期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．，因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，即求得恰好得到分的概率．【详解】（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即．于是是以为首项，以为公比的等比数列．所以，即．恰好得到分的概率是．【点睛】此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．20、（1）90（2）45【解析】

（1）应用排列进行计算；（2）应该用组合来进行计算。【详解】（1）选一名正组长和一名副组长，因为正组长与副组长属于不同的职位，所以应该用排列，.（2）选名参加省数学竞赛，都是同样参加数学竞赛，所以应该用组合，.【点睛】本题考查了排列和组合的基本概念和应用，属于基础题。21、（1）；（2）4【解析】

（1）根据奇函数的定义，代入化简得，进而可得的值；（2）设，可得，根据奇函数的性质得，进而可得结果.【详解】解：（1）因为是奇函数，所以，即，整理得，又，所以（2）设，因为，所以因为是奇函数，所以所以【点睛】本