线性代数-讲义-东北大学教学课件

线性代数讲义东北大学幽默来自智慧，恶语来自无能线性代数讲义东北大学线性代数讲义东北大学幽默来自智慧，恶语来自无能第六章二次型在解析几何中,为了研究二次曲线ax2+bxy+cy的几何性质,可选择适当的坐标旋转变换x=x’cos0-y'sin0y=x'sin0+y’cos9把方程化成只含平方项的标准形mrtny上述坐标旋转变换是正交变换,正交变换是保范变换,从而保持曲线形状不变.所以可通过化曲线为标准形式来研究曲线形状§1三次型与合同叟换一.二次型的定义和矩阵表示定义6n个变量X1,X2,Xn的二次齐次函数)=a1x12￥a222×2+.+a2a12X1×2+2a13××3+…+2an1n×n1xn称为一个冂元二次型,简称二次型.当糸数a;均为实数肘称为n元实三次型.以下仅讨论实二次型把2ax写成ax+axX,其中a=a,则有f(xD=aux+a12X,X2+.+aIn*,+a2IX2X+a2n×2×n+…+an1Xn×1+an2×n×2+.…+anCn怎样在现代教育理念指导下，开发课堂教学的潜力，创造充满活力的课堂教学环境，真正把学习的主动权交给学生，使学生在课堂中发展个性呢？近年来我在教学中探索开放性课堂教学，取得了初步以的成效。1.开放的课堂能为师生创造一种和谐愉快的气氛我在多年的教育实践中体会到，儿童稚嫩的心里最看重的是教师对他的态度，教师的爱最具有吸引力，它能激发儿童的学习热情。儿童的学习动力常产生于对教师的眷恋，儿童常因喜欢老师而愿意参加美术活动，因为喜欢老师而变得守纪律和听话，他们愿意积极配合教师进行教学活动。因此，情感交流在教学中占有十分重要的地位。教师必须以最大的热情和爱心对待所从事的工作，在教学中关爱学生，理解学生。教师与学生的接近程度直接影响情感交流，教师与学生距离的缩短，以及师生面对面机会的增多可以增进学生参与课堂活动的机会。因此，教师应该经常置身于学生中间，利用自己和学生的空间接近度，促使学生的态度和行为表现更积极主动，因为教师的靠近会被学生看作是对他们的喜爱、赞同和友好。教师如果习惯走在学生中间讲课，与他们一起动手实践，以他们中的一员的身份参与教学活动，就会缩短师生之间情感上的距离，增加和谐温暖的气氛，提高教师的作用和加深教师的影响。教学中，教师姿态亲切、谦和，对儿童的行为举止以手势、眼神来暗示，以面部表情来表示赞同和反对，这比严格的管理和申斥有更佳的效果。一般来说，微笑可以造成一种融洽和谐的课堂气氛，能起到提高学生的活动积极性和学习成绩的作用。教师上课时着装应整洁素雅，仪态应质朴大方，避免慵懒或过于修饰。教师的外表举止若具有吸引力，就容易受学生欢迎和尊敬，便于与学生接近和交流。开放的课堂还应尊重学生，尊重他们的艺术创作，对他们的创造教师要给予保护和鼓励。儿童们年龄虽小但都有自尊，教学中只有了解学生，了解学生的想法和意图，才能给予合适的帮助。2.开放的课堂能为学生提供自由、生动、活泼的学习空间教学中，教师要有计划而不失时机地巧妙设疑，质疑，创设问题情景，为学生创设自由生动活泼的学习空间，让学生进行交流，使学生不仅仅是学习者，欣赏者，模仿者，而且是与教师共同面对问题，解决问题，成为讲授者，表演者，创造者。美术教学必须在一种轻松愉悦的氛围中进行，如果学生由头至尾都不能走进教师的思路，那么美术教学就难以取得好的效果。我在上《我们做乐器》一课时，先是让同学们闭上眼睛聆听各种乐器演奏的曲调，让学生感受到不同乐器所能表现的不同情景。有的乐器能表现那无边的田野，有的乐器则能表现蓝色的群山，有的乐器可以表现神秘的太空等带来的不同感受。听完后，让学生说说自己的感受。孩子们都争着抢着说：老师，我看到了金黄金黄的麦穗；老师，我看到了巍巍群山；老师，我看到了浩翰无边的太空……这时我在大显示屏上出示了几幅表现不同场景的图片，告诉学生我们要把刚才自己听到的、想到的、感受到的场景都指定一种能表现此场景乐器，然后我再把相应的乐器点放在那个场景中。这时，学生们早已按耐不住自己的愉悦心情，急着想把自己制作好的乐器作品第一个展示出来。毫无疑问，对教师来说，善于为学生营造宽松愉悦的学习氛围，甚至比渊博的学识更为重要。课堂效率的高低，直接决定着课业负担的轻重，决定着学生课外活动时间和空间的拓展。在教学《登山游戏》一课中，我采用了主题为“登山”的集体创作设计的方式：每组第一位学生在纸上设计出自己喜欢的登山游戏棋盘的图形，到了规定的时间，无论完成与否，都要把本组的设计图互传给其他组；拿到其他组的设计图通过观察后，根据组里的的理解和想法，继续完成设计图，以此类推，每小组如此循环直到作业完成。最后就地取材作为游戏棋子（如擦皮、数学学具等）进行游戏，在游戏的过程中也以每小组互传的形式进行，这样更有一种新鲜感。学生对集体完成的游戏设计图感到兴奋和愉悦。采用这种接力游戏不仅给学生创设了自由、活泼的创作空间，也调动了学生学习积极性，分享了学习成果的快乐，提高了学习效率。3.开放的课堂能为学生提供广泛的表现形式，提高学生创作能力时代的发展，新的课程观，为21世纪的美术教育提供了广泛的空间和新的可能性，因此我在美术教学的表现形式上突出了选择性，使每个学生都能自由的选择自己感兴趣的表现方式，都能突出自己的闪光点，都能获得成功。如在《20年后的校园》的教学中，我把制作立体场景和平面绘画相结合为重点。为使学生对校园未来的设象和在制作中合理的建筑设施安排有初步的认识，结合如何在平面上立体的事物，促进学生有意识地注意观察立体事物之间的遮挡关系，我在导入上直接切入遮挡现象让学生观察，让学生说出自己直观的感受，老师在点出这种现象在美术中叫做遮挡关系后，启发学生说出身边的遮挡现象。在制作立体场景中，我先让学生说说可以用几种形式来表现主题。学生说出了可用绘画、纸工、泥工等形式去表现。然后让学生拿出事先准备的不同材料，选择自己感兴趣的表现形式，发挥自己的创作特长进行制作。这样，学生在选择中有了兴趣，有了自信，也有了表现的欲望与冲动。从学生画出的、剪贴出的、泥捏出的有合理遮挡关系的景象中，我发现学生有对生活的创作热情，有展示自我的激情，有创作美好未来的豪情。因此，开放的选择性的教学方式给每一个学生创造了成功的机会和希望。4.开放的课堂能为学生创设自由评价、自我表现的舞台，培养学生能力激励性评价是教学中的艺术，教师要用发展的眼光看待学生。学生是有感情需要的，从上第一堂课开始，他们就需要从教师那里得到尊重，、温暖、关爱和教诲。当这种情感得到满足后，他们便会以更大的激情上好课。由于学生的个性差异，在知识的理解与表现上也会有一定差异，我们不能用成人的眼光去看学生的美术作品，更不能用“画得像不像”来衡量学生的作品。在教学中，画得特别好的学生，最大期望莫过于得到教师恰如其份的评价和鼓励；某些技法差的，最害怕的莫过于受到教师的挖苦和冷落。遇到上述情况，我的做法是：该表扬时就实事求是地给予表扬，并提出新的期望，鼓励其向更高的目标迈进；对画得差的就表扬他们的“闪光点”，如说他“想法好”，“用色大胆”等等，鼓励学生进行大胆的创作，激发其学习积极性。每个人的审美观点不同，对美术作品的评价结论也就不同。每次下课前，我都留给孩子们自由评价，相互借鉴的学习空间，这样有利于培养学生观察、判断、审美等方面的能力；并且学生在互动中还学会了宽容，能经常听到“他画的比以前进步了”，“他的颜色涂得真好”，“我要学……”等声音。因此，只有创造开放的课堂，才能使学生获得个性发展的空间，课堂才会生动多彩并充满活力。一篇文章之中，“文眼”位置究竟在哪里呢？一概说来没有一个固定的模式，皆因文而异，且有规律可循。清代刘熙载说：“揭全文之旨，或在篇首，或在篇中，或在篇末。在篇首则后必顾之，在篇末则前必注之，在篇中则前注之，后顾之。”这段话告诉我们：“文眼”或设在篇首以举其纲，或设在篇末以总其旨，或设在篇中以承前启后，突出主题。教学中，教师如能有效地捕捉“文眼”，然后据“眼”求法，那么课堂教学效率将是令人瞩目的。我结合教学实践，摸索了几种捕捉“文眼”的方法，旨在抛砖引玉。一、题意法。课题，是文章的眼睛和窗口，从中能窥文章中心要旨于一斑。教师如能悉心研究课题，精心领会题意，那么就能捕捉到“文眼”。如《白杨礼赞》，题意就是“对白杨树的崇敬和赞美”。据此，联系课文的一些关键语句，如“白杨树实在是不平凡的树，我赞美白杨树！”，“实在是不平凡的树”，“决不是平凡的树”，我便抓住了“不平凡”这个“文眼”。二、重点法。课文的重点是课文内容的中心，是课文之精髓，是作者匠心独运之所在，“文眼”大多在其间，如果教师能善于把握重点，领会重点，那么“文眼”能不难捕捉了。如《纪念刘和珍君》，它既要悼念烈士，寄托作者的哀思，又要揭露中外杀人者的罪行，还要激励后人继续革命。为此，课文的重点当在第七部分，而“文眼”当然也就是第三节了，即“苟活者在淡红的血色中，会依稀看见微茫的希望；真的猛士，将更奋然而前行。”三、特点法。特点，往往是就一排内课文遣词造句、谋篇布局而言，乍看，似乎与“文眼”关系全无，然而，认真考虑就不难发现，文章的写作特点总是与课文发生着千丝万缕的联系。因此，教师领会了课文的特点，那么“文眼”就易于捕捉。如《幼林》，它的特点是多处运用复沓手法：在全诗的三个部分中，如第一部分中的开头与第五段，第二部分的第七段与第十段，第三部分的第十二段与第十四段，都运用了复沓手法，表达了自己呼吁大量培植幼林、精心培育后一代的热切情怀。从中，即可捕捉到“文眼”：“在祖国无限的原野上，我轻声地呼唤着：啊，幼林！多值得珍惜的幼林！愿你们十倍百倍地成长起来；愿阳光永远给你们以温暖，土壤永远滋育着你们的生机；愿再没有那不虞之斧钺把你们伤害。”四、难点法。“文眼”是课文聚精传神之所在，是作者思想感情的聚焦，是文章的“闪光点”，而难点是课文当中较难理解的句、段，较难领会的思想内容，能善于捕捉难点，也就能深入探究课文的主旨和精妙的构思了。在这一点上面，两者是相辅相成的。可以说，能捕捉到难点也易于捕捉“文眼”。如《装在套子里的人》，其难点就是套中人别里科夫形象的典型意义。紧接着，我也找到了本文的“文眼”：“实在，虽然我们埋葬了别里科夫，可是这种装在套子里的人，却还有读多，将来也还不知道有多少呢！”五、线索法。线索是贯穿在整篇课文中将材料串联组织起来的某个事物。它能体现材料之间的内在联系，有利于突出中心思想。理清了线索，把握了线索，无疑能顺藤摸瓜找到“文眼”。如《背影》这篇课文，它的线索便是“背影”，由“背影”把全文内容贯穿起来。于是我就找到了课文中“我与父亲不相见已二年有余了，我最不能忘记的是他的背影”这个“文眼”。六、质疑法。“文眼”有时往往体现在难点处，而难点就是学生较难领会的地方，因此，通过学生的质疑问难，有时也能捕捉到“文眼”。如《祝福》，学生通过预习，向我提议：“‘我坐在发出黄光的菜油灯下’的一段‘独白’：‘这百无聊赖的祥林嫂，被人们弃在尘芥堆中的，看得厌倦了的陈旧的玩物，先前还将形骸露在尘芥里，从或得有趣的人们看来，恐怕要怪讶她何以还要存在，现在总算被打扫得干干净净了。魂灵的有无，我不知道；然而在现世，则无聊生者不生，即使厌者不见，为人为己，也还都不错。’怎么理解？”学生难于理解领会的这一段，它深刻地揭示了祥林嫂悲剧的社会原因，从中也反映出作者对祥林嫂悲剧的思想感情，毫无疑问，它就是本文的“文眼”。七、目的法。教学目的，反映了教师教某篇课文所要达到的要求，这里主要是指学习和领会课文思想内容方面的教学要求，也很容易捕捉到“文眼”。如《孔乙己》的教学目的是：认识造成孔乙己悲剧命运的社会根源。纵观全文，随着小说情节的逐步展开，伴随着孔乙己始终的是“众人的哄笑”，探究孔乙己这个充满笑声的悲剧命运的来龙去脉、社会根源，也得从“笑”字始到“笑”字终。因此，本文的“文眼”便是一个“笑”字。八、中心法。文章中心，是文章内容的高度浓缩和作者意图的精括，而我们捕捉“文眼”就是为了深入领会作者的意图，因而文章中心也成了“文眼”的窗口，成了捕捉“文眼”的可靠根据。如《茶花赋》，以火红的茶花象征祖国，借歌颂茶花而歌颂欣欣向荣的祖国，借歌颂育花人而歌颂为祖国建设而辛勤劳动的人民，借歌颂童子面茶花而歌颂祖国的未来。根据这一中心，“文眼”当然就是课文开头一句：“久在异过他乡，有时难免要怀念祖国的。”九、作业法。课后的作业，有时往往体现了课文的重点、难点。而“重点法”、“难点法”告诉我们：据此也能捕捉到课文的“文眼”。如《一件小事》课后作业――（……“独有这一件小事，却总是浮在我眼前，有时反更分明，教我惭愧，催我自新，并且增长我的勇气和希望。”这几句话有什么深刻含义？）它既是课文重点所在，亦是课文难点所在。以此为据，我就捕捉到课文“但有一件小事，却于我有意义，将我从坏脾气里拖开，使我至今忘记不得。”这一“文眼”。十、障碍法。学生阅读课文的时候，常会碰到难于理解的地方，作为教师也会有障碍。教师阅读障碍处，将是确定课文的重点、难点的依据之一，同时也为捕捉课文的“文眼”提供重要依据。如阅读《故乡》时，我对“我想：希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；走的人多了，也便成了路。”这一段话的深刻含义不甚了了。于是我根据这一段话所处的位置，联系文意，再按课后作业的提示，确定它是帮助学生领会课文主旨的关键、要害，其实也就是“文眼”。捕捉“文眼”的方法是很多的，远远不只以上所列几点，但不管怎样，教师都应因文求法。捕捉到“文眼”以后，教师就要准确确定“教眼”，以利于突出重点，突破难点，精炼教学内容，提高课堂教学效率。（李维新贵州省遵义县鸭溪中学）第六章二次型在解析几何中,为了研究二次曲线ax2+bxy+cy的几何性质,可选择适当的坐标旋转变换x=x’cos0-y'sin0y=x'sin0+y’cos9把方程化成只含平方项的标准形mrtny上述坐标旋转变换是正交变换,正交变换是保范变换,从而保持曲线形状不变.所以可通过化曲线为标准形式来研究曲线形状§1三次型与合同叟换一.二次型的定义和矩阵表示定义6n个变量X1,X2,Xn的二次齐次函数)=a1x12￥a222×2+.+a2a12X1×2+2a13××3+…+2an1n×n1xn称为一个冂元二次型,简称二次型.当糸数a;均为实数肘称为n元实三次型.以下仅讨论实二次型把2ax写成ax+axX,其中a=a,则有f(xD=aux+a12X,X2+.+aIn*,+a2IX2X+a2n×2×n+…+an1Xn×1+an2×n×2+.…+anCn或写成矩阵乘法形式若记则有f(XAX定义62∫=xTAx称为冂元三次型∫的矩阵表示式,实对称矩阵A称为二次型∫的矩阵,∫称为实对称矩阵A的三次型,矩阵A的秩也称为二次型∫的秩,例如,二次型∫=2x2+3y2z2+4Xy6×z的矩阵为222-)3A=23330于是f=(x,y,x)230‖y30反之,实对称矩阵A=22-1的二次型为∫=X12+2×2-×32+4xX2+2X1X2-2x2X定义6、3仅含平方项的二次型f=dx12+d2x2+…+dnxn2称为标准形可见,标准形的矩阵为对角矩阵.若记x=(x,x2,…,x),y=(y1,y2,…,Y1),C=(nxn则称:Cy,即x1=C1y+c12y2+…+y1+C2)y2+…+C2nyy1+Cn2y2+…+Cmy为从X,X2,…,Xn到y1y2,…,yn的线性变换.其中C为线性变换的糸数,C称为线性变换的糸数矩阵.当C为可逆矩阵时,X=Cy称为可逆线性变换,这肘y=Cx为X=Cy的逆变换,当C为正交矩阵肘,X=Cy称为正交变换对冂元二次型∫=xAx作变换X=Cy,则有f=xAx=(Cy)'A(Cy)=y'(CAC)y