计算方法复习资料

第一章引论一、判断题1X10-41.]*=-12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限<21.()TOC\o"1-5"\h\z对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ()一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( )3.14和3.142作为兀的近似值有效数字位数相同。 ()二、填空题1.J=121.J=12+为了使计算+5的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为.x*=-0.003457是x舍入得到的近似值，它有—位有效数字，绝对误差限为—，相对误差限为.用四舍五入得到的近似数0.550，有—位有效数字，其相对误差是 。三、选择题x*=-0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为( )。(B)3；7；(B)3；(C)不能确定舍入误差是((A)只取有限位数(C)不能确定舍入误差是((A)只取有限位数(C)观察与测量)产生的误差。模型准确值与用数值方法求得的准确值用1+x用1+x近似表示。乂所产生的误差是()误差。(A).模型(B).观测(C).截断 (D).舍入用s=2gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式(g为重力加速度)，s,是在时间t内的实际距离，则宇是()误差。(A).舍入(B).观测(C).模型(D).截断1.41300作为；2的近似值，有()位有效数字。(A)3；四、计算题(B)(A)3；四、计算题(B)4；(C)5；(D)6。若误差限为0.5X10-5,那么近似数0.003400有几位有效数字?兀=3.14159具有4位有效数字的近似值是多少？已知a=1.2031，b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a+b，axb有几位有效数字?设x>0，x的相对误差为5，求lnx的误差和相对误差？设x的相对误差为a%，求y=xn的相对误差。计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大?采用迭代法计算、7，取

x=2k=0,1,…,I_1…7、x——(x+)k+12k=0,1,…,k若xk是'切的具有n位有效数字的近似值，求证xk+i是'7的具有2n位有效数字的近似值。第二章插值方法一、判断题TOC\o"1-5"\h\z在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 ()(x-x)(x-x)2(xx)(xx)士—-_l-l.—x. 0 10 2表示节点0处的一次插值基函数。 ( )牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( )在拉格朗日插值中，插值节点x0，xi，，%必须按顺序排列。()二、填空题 ...1.已知n=3，则三次插值基函数l2(x)=—。n+1个节点的拉格朗日插值基函数卜)的和乎l(x)=ik=03.已知f(x)=x4,取节点L=k(化二0，1，2,…)，用线性插值求/(2.D的近似值，其计算公式f(2.D牝件== 4已知f(-1)—2f(0— 1，W)则3舟-1,0]= ，f[0,2]=f[-1，0，2]=二，牛顿二次插值多项式"⑴=。已知函数f(x)=24x3+79x-32，在节点20，21，25,27的函数值，则其插值多项式p(x)=。已知函数f(x)=47.2x7+23x4+64x2+36x-18，其差商f[20,21,22,,27]=。Lagrange插值基函数在节点上的取值。三、选择题x一x 1-函数x0一x1表示线性插值( )点的基函数.(A)x0； (B)*； (C)x1 (D)*。过点(-1，1),(0，3),(2,4)的二次插值多项式p2(x)中x2的系数为( ).(A)-0.5 (B)0.5 (C)2 (D)-2给定互异的节点％，x1，，xn，P(是以它们为插值节点的插值多项式，则P( 是一个( ).(A)n+1次多项式 … (B)n次多项式次数小于n的多项式(D)次数不超过n的多项式4f(x)=-3x99+50对-7x,差商f［1,2,22,...,2100］=()(A)0 (B)-3 (C)50 (D)-75.对于次数不超过n的多项式f⑴,它的〃次插值多项式P⑴为().(A)任意n次多项式 (B)任意不超过n次的多项式(C)f(x)本身 (D)无法确定四、计算题1.已知的f(x)函数表xi132f(xi)12-1求f(x)的二次Newton插值多项式；证明若Lagrange插值多项式的首项系数记为f(x0,气,…,x〃)，则TOC\o"1-5"\h\zf(x,x,…,x)二W七，其中w(x)=(x一x)(x一x)…(x一x)01n W(x) 0 1 ni=0 i证明n阶差商的性质。若F(x)=cf(x)+dg(x)，则F[x,x,.x]=cf[x,x,…x]+dg[x,x,…x]01n 01n 01n设f(x)=x5一3x3+x一1求差商f[30,31],f[30,31,.,35],f[30,31,.・.,36]。设y=x，求y在节点0,1,2，…，n上的Lagrange插值多项式。已知连续函数p(x)的函数值表如下，求方程p(x)=0在[-1,2]内的近似根。x-1012p(x)-2-1127,设加=占’将区间［-5,5］分成10等分，用分段线性插值求各段中点的值，并估计误差。8.已知f(-1)=2,f⑴=1,f⑵=1，求f(x)的拉格朗日插值多项式。9.设f(x)=x2,求f(x)在区间［0,1］上的分段线性插值函数f(x)，并估计误差，取等距节点，且h=1/10.h第三章数值积分一、 判断题1、梯形求积公式和Simpson求积公式都是高精度方法。 ()2、在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 ()3、 n越大，复合求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。()4、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。()二、 填空题已知f(1)=】」f=1-2"⑶=1.5，则用抛物线求积公式求得'13f(x)心机复合梯形求积公式为'J3)4，当f(x)GC心,b］时，其余项Rn(f)=。有7个节点的Newton-Cotes公式的代数精度为 次。Cotes系数取决于。

三、选择题1.求积公式研究的误差为(A.观测误差B.模型误差)。C.舍入误差2.为已知在［a,三、选择题1.求积公式研究的误差为(A.观测误差B.模型误差)。C.舍入误差2.为已知在［a,b］上」f〃(期<2()。A.(b一a)36且f(x)GC2[a,b]B.D.截断误差b-ah= 长n ，则复合梯形求积公式的误差限(b一a)3rR

步C.3.A.四、鼻h26梯形公式、1,2,n计算题D.抛物线公式及n阶Newton-Cotes求积公式的代数精度分别至少为(B.2,3,nC.1,3,nD. 1,4,n+1)。J2f(x)dx"Af(0)+2Af(1)+3Af(2) AAA,,.设有求积公式0 0 1 2，求012使代数精度尽量高。求下列求积公式的代数精度J1f(x)dx-|[2f(；)一f(!)+0 3 4 2在区间［-1,1］上，取七=-1,%=0,%=1构造插值型求积公式，并求它的代数精度。求三个不同的节点x,x,x，使求积公式j1f(x)dx=c［f(x)+f(x)+f(x)］1 2 3 ［ 1 2 3-1具有三次代数精度。5.证明A0+A1+ +A=b-a6.给定求积公式Jhf(x)dx俐af(-h)+bf(0)+cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能高。-h求积公式J1f(x)dx^Af(0)+Af⑴+Bf'(0)，试确定系数A,A及B，使该求积公式具有尽可0 0 1 0 0 1 0能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。数值积分公式J3f(x)dxr3［f⑴+f⑵］，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度02为多少？9.用n=4的复化梯形公式计算积分\2Xdx，并估计误差。10.设f(-1)=1,f(-0.5)=4,f(0)=6,f(0.5)=9,f(1)=2，则用复化辛普生公式计算j1f(x)dx，若有-1常数M使If(4)|<M，则估计复化辛普生公式的整体截断误差限。第四章常微分方程数值解法一1一1、2、3、4、(((())求解微分方程初值问题的二阶龙格-库塔方法是多步法。梯形方法是一种隐式的多步法。求解微分方程初值问题的隐式尤拉法是隐式方法。5、求解常微分方程初值问题的Adams预报一校正公式的局部截断误差为O(h2)。( )二、填空题|y=-j+X+1用Euler方法解常微分方程初值问题〔 火0)=1，步长h=0」，计算格式为七+1=<V=f(x,j)求解常微分方程初值问题1J(%)=J0梯形公式为。常微分方程初值问题的数值解法一般分为—法和—法。求解常微分方程初值问题的Adams公式是—步法。求解常微分方程初值问题的四阶龙格库塔方法的局部截断误差用改进的尤拉法时，需要读入数据。用龙格-库塔法时，根据判断计算终点。三、选择题)。1、 已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为O(h2)，则该方法的阶是()。A.1 B.2 C.0 D.32、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为( )步法。A.多 B.2C.3D.13、梯形公式是求解常微分方程的(A.2 B.4C.)阶方法。3D.54、四阶龙格-库塔方法每步要计算(A.4 B.5C.)次f的值。2D.35、改进的Euler公式的局部截断误差为A.O(h2) &O(h3) C.( )。O(h4)D.O(h5)四、计算题对常微分方程初值问题Jj'+J=0[J(0)=1_(2-h丫J— 证明梯形公式求得的近似解为"12+hJ.用尤拉法求解初值问题<J'十寻 0<整0.5步长为0.1J(0)=1用尤拉法解初值问题j'=ax+b,j(0)=0证明其截断误差 J(x〃)-Jn=2anh2这里xn=nh,Jn是尤拉方法的近似解，而J(x)=2ax2+bx为原初值问题的精确解。证明改进的尤拉法能准确解决初值问题j'=ax+b,j(0)=0

用尤拉法解初值问题Jy'=-y+x+10<x<0.5!y(0)=1取步长h=0.1用改进的尤拉法解初值问题Jy'=x+y0<x<1ty(0)=1取步长h=0.2第五章方程求根的数值解法一、 判断题牛顿法是二阶收敛的。 ()求方程启-x-1=0在区间［1,2］内根的迭代法总是收敛的。()迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ()二、 填空题用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为；设f(x)可微,求方程x=f(x)的牛顿迭代格式；用二分法求方程x3+x-1=0在区间［0,1］内的根，进行一步后根的所在区间为，要求准确到10-3，则至少应二分次;甲(X)=X+*(x2-5)，要使迭代格式气+广"气)局部收敛到x*="5，则口的取值范围是 ；迭代过程七+1=七+c(七2—7)至少平方收敛到根x*=J7时，c的取值是 。三、计算题1.求方程x3-x2-1=0在％=1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价形式，并建立相应迭代公式。Xk+1迭代公式,卜X迭代公式k+1X2=-^XX2=-^X—1，Xk+1迭代公式⑷XTx3-1,迭代公式Xk+1=¥*3—1。试分析每种迭代公式的收敛性，并指出收敛最快的方法。22.给定函数f(X)，对任意X，f(x)存在，且0vm<f(x)<M，证明对0CVu的任意常数人，M迭代过程七］=、-Xf(七)均收敛于f(x)=0的根。3.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求误差小于0・05。4.说明方程X2+lnx-4=0在区间［1，2］内有惟一根X*，并选用适当的迭代法求x*(精确至3位有效数)，并说明所用的迭代格式是收敛的。5.设有解方程12—3x+2cosx=0的迭代法x=4+2cosx(1)证明VxgR均有limx=x*(x*n+1 3n 0 nQ n一＞3为方程的根)。(2)