二重积分的概念与性质课件

定积分所研究的对象是一元函数，并且积分图形的面积；是在一个闭区间上进行的。利用定积分可求出平面求几何体的体积（旋转体的体积、oxy已知平行截面面积的几何体的体积）第九章二重积分

为了解决这样一些实际问题，有必要把定积分的基本思想加以推广，从而建立二重积分的概念.已知平行截面面积的几何体的体积axxx+dxA(x)b

在实际工作中，我们还会碰到以下的问题：由一般曲面所围成的立体的体积、以及非均匀平面的质量、重心等等。而这类问题在物理学与工程技术以及经济学中是经常遇到的.第九章二重积分第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算3

本节我们将一元函数定积分的概念和思想扩展到二元函数的二重积分上，由于二重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一者之间的共性与区别.

因此，二重积分概念、性质与定积分类似，二重积分的计算方法也是将其转化为定积分.步推广.导言：学习中要注意与定积分的对比，把握两第九章二重积分（曲顶）柱体体积=？特点：曲顶１．曲顶柱体的体积(volume)（一）问题的提出

以曲面为顶，以xy平面上区域D为曲顶柱体以通过D的边界且与z轴平行的柱面为侧面的立体。底，第一节

二重积分的概念与性质（平顶）柱体体积高特点：平顶=底面积×第一节

二重积分的概念与性质

求由直线x=a,x=b,y=0与曲线y=f(x)≥0

所围成的曲边梯形的面积.方法：整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近回顾：xyo(1)分割

化整为零(2)近似以常代变(3)求和积零为整(4)极限无限累加曲边梯形面积的求解过程及思想方法第一节

二重积分的概念与性质

而母线平行于z轴的柱面，1.求曲顶柱体的体积以xOy平面上的下面讨论如何计算曲顶柱体的体积V

.所围成的几何体.其顶是连续曲面D的边界线为准线,其侧面为以有界闭区域D为底,曲顶柱体:

在每个小区域上任取一点

用任意一组曲线网把区域D分割成n个小闭区域整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近方法：(1)分割其中既表示第i个小区域也表示其对应的面积.分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，

作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把曲顶柱体其体积为(2)近似代替为的直径的最大值以为高，则小曲顶柱体的体积近似地等于

小平顶柱体的体积，即有

将所有小平顶柱体的体积求和，

可得曲顶柱体体积的近似值为(3)求和

(4)取极限记的体积为(

表示中任意两点间距离的最大值），则曲顶柱体(2)近似代替

由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作

中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性的研究。

为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种特殊结构的和的极限称为二重积分。第一节

二重积分的概念与性质1.求曲顶柱体的体积

设函数f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，

则称函数f(x,y)在区域D上可积，xyD2.二重积分的概念在上记记为若极限作和式任取一点既表示第i小块,也表示第i

小区域的面积.用任意一组曲线网分割D成n

个小区域定义存在，即并称此极限值为f(x,y)在D上的二重积分.

（1）二重积分的积分值与区域D的分割方式与点积分和积分区域面积微元被积函数积分号（3）若被积函数在有界闭区域上连续，与积分变量无关；该值与区域D及（2）二重积分的积分值是一数值，即分割与取点具有任意性；对二重积分作几点说明：被积表达式积分变量则一定可积.被积函数f(x,y)有关，的取法无关；2.二重积分的概念3.二重积分的几何意义

(1)若在D上f(x,y)≥0,则表示以区域D为(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,则表示在这些子区域上(2)若在D上f(x,y)≤0,则表示以区域D为

（4）当时,以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体体积的相反数.为底，曲顶柱体体积的代数和.子区域上为负的，在D的另一些=区域D的面积.

假设函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.(1)(2)(3)(4)若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，4.二重积分的性质则有下述性质：二重积分有与定积分类似的性质.则有(可加性)(数乘性)(区域可加性)(单调性)对有界闭区域D上连续函数

f(x,y),

设f(x,y)在有界闭区域D上连续，

若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，

（6）定理(中值定理)使为f(x,y)（5）定理(估值定理)则为区域D的面积，且使则在D上存在一点在D上的必在D上存在一个点积分中值定理说明：平均值.4.二重积分的性质解4.二重积分的性质故解4.二重积分的性质Method1.oxy13如图所示例3

4.二重积分的性质解4.二重积分的性质Solution.例5

4.二重积分的性质Solution.（积分中值定理）（函数的连续性）例6

4.二重积分的性质二重积分的概念与性质小结（一）概念（二）性质六条性质（三）几何意义作业：P3513（2），4（2）第一节二重积分的概念与性质思考题

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.

定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答第一节二重积分的概念与性质练习题