泰勒公式的理解及泰勒公式

对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用1函数展开与向量空间泰勒公式是函数展开的一种工具，也就是说,利用泰勒公式将函数展成幕级数是函数展开的一种方法，当然，函数的展开方法有多种，例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，文章先对函数的展开进行论述，然后，用例题对其应用做进一步的说明。在高等数学中，函数展开有许多不同的形式，最常用的有如下两种类型的函数级数展开。1.1函数的泰勒展开(幕级数展开)若函数f(x)在区间{x丨丨X-X0l<R}内无穷可微,且它的Lagrange余项rn(x)当n—w时，收敛于零，则在这区间内有：12函数的三角级数展开若函数f(x)在区间［-n,n］上连续且逐段光滑，则在这区间内有：fCx)=-—十sCa^coskx+htsinkx)養越越険廡遮虽剖謎毬善k—0»1?逐輕牺 Zqx卜;从函数展开式(1)和(2)两边的项来看，左边的函数f(x)作为一个整体，它只有有限的一项，而右边却包含着无限多项，说明在一定条件下，有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示，关于这一点，可以从另一个视角来看，若把展开式⑴和⑵中的函数系：{1，(x-x0)，(x-x 0)2，(X-X0)3,...,(X-X0)n,...}{I,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...}分别看成无限维函数空间的两个坐标系，其中的函数就是相应的坐标向量，则f(x)就可以看作这个空间的一个点(或一个向量)，则两级数的系数组成的两个数列：{a0，a1，a2,.,an}与{咕弘叫邑花?，...n，bn，...}就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标，于是从形式来看，f(X)作为这无限维空间中的一个点(一个向量),但从数来看，f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中，根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。可见，换个角度看函数的展开，会给人加深印象，能在原有的基础上根深蒂固。谈到有限与无限,在高等数学中，根据问题的需要，进行有限与无限形式的相互变换，在解决数学问题中是常常会用到的，这就是泰勒公式的魅力所在•比如说：函数的分解与求和,函数关系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。

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