九年级数学中考题型解析-与圆有关的计算(试题部分)课件

九年级数学中考题型解析与圆有关的计算九年级数学中考题型解析考点一弧长、扇形的面积五年中考1.(2018滨州,8,3分)已知半径为5的☉O是△ABC的外接圆,若∠ABC=25°,则劣弧

的长为

()A.

B.

C.

D.

答案

C先求出劣弧

所对的圆心角的度数,再根据弧长公式直接代入计算即可.考点一弧长、扇形的面积五年中考1.(2018滨州,8,3分22.(2018德州,9,4分)如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此

扇形的面积为

()

A.

m2B.

πm2

C.πm2

D.2πm2

答案

A连接AC,∵∠B=90°,∴AC是☉O的直径,∴AB=BC=

=

=

(m),∴此扇形的面积为

π·AB2=

π×

=

π(m2).2.(2018德州,9,4分)如图,从一块直径为2m的33.(2018威海,12,3分)如图,正方形ABCD中,AB=12,点E为BC中点,以CD为直径作半圆CFD,点F

为半圆的中点,连接AF,EF,图中阴影部分的面积是

()

A.18+36πB.24+18πC.18+18πD.12+18π3.(2018威海,12,3分)如图,正方形ABCD中,AB4答案

C如图,取CD的中点M,连接AM、EM、DF、CF、MF.

设半圆的半径为r,则r=6,∴S半圆CFD=

πr2=

π×62=18π,S△CDF=

×12×6=36.∵点F是半圆的中点,M是CD的中点,∴MF⊥CD,∴AD∥MF,又∵△ADF、△ADM的底相同,高相等,∴S△ADF=S△ADM=

×12×6=36.同理,S△CEF=

×6×6=18,∴S阴影部分=S△ADF+S△CEF+S半圆CFD-S△CDF=18+18π.答案

C如图,取CD的中点M,连接AM、EM、DF、54.(2017莱芜,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕A点顺时针

旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过的面积为

()

A.

B.(2-

)πC.

πD.π答案

D∵∠BCA=90°,∴BC2+AC2=AB2,即AB2-AC2=BC2.∵整个图形的面积=△ABC的面积+

扇形BAD的面积=阴影部分的面积+扇形CAE的面积+△AED的面积,又△ABC的面积=△AED

的面积,∴阴影部分的面积=扇形BAD的面积-扇形CAE的面积=

=

=π,即BC扫过的面积为π.思路分析

绕A点顺时针旋转90°时,点C旋转到点E,点B旋转到点D,则BC扫过的面积=S扇形BAD-S

扇形CAE.易错警示

此类问题容易出错的地方是不会运用转化的思想,将不规则的图形、零散的几个

图形面积转化为规则图形之间的和、差关系或相对集中形成的规则图形的面积.4.(2017莱芜,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠BC65.(2017烟台,9,3分)如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6.以AD为直径的☉O交CD于点E,则

的长为

()

A.

πB.

πC.

πD.

π5.(2017烟台,9,3分)如图,▱ABCD中,∠B=707答案

B如图,连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6,∠D=∠B=70°,∴OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°.∴∠DOE=40°.∴

的长=

=

π.

思路分析

求弧长需要先求得弧所对的圆心角的度数,故此先连接OE,先依据平行线四边形

的性质求得∠D的度数,然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠DOE的

度数,最后利用扇形的弧长公式求解即可.答案

B如图,连接OE.思路分析

求弧长需要先86.(2016枣庄,11,3分)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2

,则阴影部分的面积为

()

A.2πB.πC.

D.

答案

D设AB与CD的交点为E.连接OD.∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=

CD=

,∵S△COE=

CE·OE,S△DOE=

DE·OE,∴S△COE=S△DOE,∴S阴影部分=S扇形BOD,∵∠COB=2∠CDB=60°,∴∠BOD=60°,∴OD=

=2,∴S扇形BOD=

=

,即S阴影部分=

.故选择D.思路分析

连接OD,设AB、CD交于点E,首先根据垂径定理得到CE=DE,进一步得到S△COE=S△

DOE,从而把阴影部分的面积转化为扇形BOD的面积,然后求解即可.6.(2016枣庄,11,3分)如图,AB是☉O的直径,弦C97.(2016临沂,10,3分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,AC经过点O,与☉O分别相交于点D,C.若∠

ACB=30°,AB=

,则阴影部分的面积是

()

A.

B.

C.

-

D.

-

7.(2016临沂,10,3分)如图,AB是☉O的切线,B为10答案

C连接OB,∵AB是☉O的切线,B为切点,∴∠OBA=90°,又∠AOB=2∠ACB=60°,∴∠OAB=30°.在Rt△ABO中,设OB=x,则OA=2x,∵OB2+AB2=OA2,∴x2+(

)2=(2x)2,解得x=1(负值舍去),∴S阴影=S△OAB-S扇形BOD=

AB·OB-

=

×

×1-

=

-

.故选C.评析

本题考查了切线的性质、扇形的面积公式.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意

数形结合思想的应用.答案

C连接OB,评析

本题考查了切线的性质、118.(2018青岛,13,3分)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,O为AC上一点,OA=2,以O为圆心,OA为

半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF,则图中阴影部分的面积是

.

答案

-

π8.(2018青岛,13,3分)如图,Rt△ABC中,∠B=12解析在Rt△ABC中,易知∠A=60°.∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴∠AOF=60°,∴∠

COF=120°.∵BC与☉O相切于点E,∴∠OEC=90°,又∠C=30°,OE=OA=2,∴OC=4.在Rt△ABC中,∠C=30°,AC=AO+OC=2+4=6,∴

AB=

AC=3,BC=AC·cosC=6×

=3

.设☉O与AC的另一个交点为D,过O作OG⊥AF于点G,如图所示,则OG=OA·sinA=2×

=

.∵S△ABC=

×AB×BC=

×3×3

=

,S△AOF=

×AF×OG=

×2×

=

,S扇形ODF=

=

π,∴S阴影部分=S△ABC-S△AOF-S扇形ODF=

-

-

π=

-

π.

易错警示

此类问题容易出错的地方是找不到复杂图形的面积组合方式,求解时要将复杂图

形转化为能够直接计算面积的图形.思路分析

S阴影部分=S△ABC-S△AOF-S扇形DOF,分别求出两个三角形和一个扇形的面积即可.解析在Rt△ABC中,易知∠A=60°.∵OA=OF,∴△139.(2017日照,15,4分)如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心,BA为半径的圆弧与

BC交于点E,四边形AECD是平行四边形,AB=6,则扇形(图中阴影部分)的面积是

.

答案6π解析∵四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD,∵AB=BE=CD=6,∴AB=BE=AE,∴△ABE是等边三角形,∴∠B=60°,∴

=

=6π.思路分析

在四边形ABCD中,AE=CD,易得△ABE是等边三角形,即可求得∠B的度数,从而求

得扇形BAE的面积.9.(2017日照,15,4分)如图,四边形ABCD中,AB1410.(2016烟台,17,3分)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90

°.将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面

积为

cm2.

答案

10.(2016烟台,17,3分)如图,C为半圆内一点,O为15解析∵∠BOC=60°,△B'OC'是由△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的,∴△BCO≌△B'C'O,∠B'OC'=60°,∴∠B'OC=60°,∴∠B'OB=120°,∵AB=2cm,∴OB=1cm,易得OC'=

cm,B'C'=

cm,∴S扇形B'OB=

=

cm2,S扇形C'OC=

=

cm2,∴S阴影=S扇形B'OB+S△B'C'O-S△BCO-S扇形C'OC=S扇形B'OB-S扇形C'OC=

-

=

cm2.解析∵∠BOC=60°,△B'OC'是由△BOC绕圆心O逆1611.(2018临沂,23,9分)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D,

OB与☉O相交于点E.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若BD=

,BE=1,求阴影部分的面积.

11.(2018临沂,23,9分)如图,△ABC为等腰三角17解析(1)证明:如图,过点O作OF⊥AC,垂足为点F,连接OD,OA.

∵△ABC是等腰三角形,点O是底边BC的中点,∴AO是△ABC的高线,也是∠BAC的平分线,∵AB是☉O的切线,∴OD⊥AB,又∵OF⊥AC,∴OF=OD,即OF是☉O的半径,∴AC是☉O的切线.(2)在Rt△BOD中,BE=1,BD=

,设OD=OE=x,则OB=x+1,由勾股定理,得(x+1)2=x2+(

)2,解得x=解析(1)证明:如图,过点O作OF⊥AC,垂足为点F,连接181,∴OB=2,OD=OF=1.∵sin∠BOD=

=

,∴∠BOD=60°,∴∠AOD=∠AOF=90°-∠BOD=30°,∴AD=AF=OD·tan∠AOD=

,∴S阴影=S四边形ADOF-S扇形ODF=

AD×OD×2-

π×12=

-

=

.思路分析(1)过点O作OF⊥AC于点F,证明OF=OD,即证明OF是☉O的半径,又OF⊥AC,所以

证得AC是☉O的切线.(2)根据BD和BE的长,由勾股定理算出☉O的半径的长,结合三角函数算

出∠BOD和∠AOD的度数,然后根据四边形和扇形的面积公式求解.1,∴OB=2,OD=OF=1.思路分析(1)过点O作OF19考点二圆柱与圆锥的侧面展开图1.(2017东营,8,3分)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心

角的度数为

()A.60°

B.90°

C.120°

D.180°答案

C设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为l,侧面展开图所对应扇形的圆心角为n°.根据题意得πrl=3πr2,则l=3r,则有2πr=

,解得n=120.思路分析

利用圆锥侧面积和底面积之间的关系,得到母线长l与底面圆的半径r之间的关系,

再用两种不同的方式表示圆锥侧面展开图(扇形)的面积,即可求得扇形圆心角的度数.易错警示

此类问题容易出错的地方是不知道几何体侧面展开图的形状,以及几何体侧面展

开图与几何体各个部分之间的联系,再有就是没有掌握好相关的计算公式.拓展延伸

圆锥的侧面展开图及相关公式:S圆锥侧=πrl,S圆锥全=πrl+πr2,其中r为底面圆的半径,l为母线长,h为圆锥高.

考点二圆柱与圆锥的侧面展开图1.(2017东营,8,3分)202.(2015威海,8,3分)若用一张直径为20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面,接缝忽略不计,则

所得圆锥的高为

()A.5

cmB.5

cmC.

cmD.10cm答案

A设所得圆锥的底面半径为rcm,高为hcm,依题意,得

×20π=2πr,解得r=5,则h=

=5

(cm).故选A.2.(2015威海,8,3分)若用一张直径为20cm的半圆213.(2018聊城,15,3分)用一块圆心角为216°的扇形铁皮,做一个高为40cm的圆锥形工件(接缝忽

略不计),那么这个扇形铁皮的半径是

cm.答案50解析设扇形铁皮的半径为Rcm,圆锥工件的底面半径为rcm,根据题意得

解方程组,得

所以这个扇形铁皮的半径是50cm.4.(2017聊城,14,3分)已知圆锥形工件的底面直径是40cm,母线长为30cm,其侧面展开图圆心

角的度数为

.答案240°解析设侧面展开图圆心角的度数为n°,则

=2·π·20,解得n=240.3.(2018聊城,15,3分)用一块圆心角为216°的扇形225.(2016聊城,15,3分)如图,已知圆锥的高为

,高所在直线与母线的夹角为30°,圆锥的侧面积为

.

答案2π解析设圆锥的底面半径为x,则由圆锥的高所在直线与母线的夹角为30°得母线长为2x,由勾股定理得x2+(

)2=(2x)2,解得x=1(负值舍去),即圆锥的底面半径为1,母线长为2,∴圆锥的侧面积=2π.5.(2016聊城,15,3分)如图,已知圆锥的高为 ,高所23考点三正多边形和圆1.(2017滨州,5,3分)若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为

()A.

B.2

C.

D.1答案

A如图,由正方形的外接圆半径为2可得OB=2,由切线性质可得∠OCB=90°,又易知∠

OBC=45°,所以OC=OBsin45°=

.

考点三正多边形和圆1.(2017滨州,5,3分)若正方形的242.(2017莱芜,12,3分)如图,正五边形ABCDE的边长为2,连接AC、AD、BE,BE分别与AC和AD相

交于点F,G,连接DF,给出下列结论:①∠FDG=18°;②FG=3-

;③(S四边形CDEF)2=9+2

;④DF2-DG2=7-2

.其中正确结论的个数是

()

A.1

B.2

C.3

D.42.(2017莱芜,12,3分)如图,正五边形ABCDE的边25答案

B∵正五边形ABCDE的每一个内角都等于

=108°,∴∠BAC=∠BCA=(180°-108°)÷2=36°.同理可得∠ABE=∠AEB=∠EAD=∠EDA=36°.∴∠CBF=∠FCD=∠GDC=∠DEG=108°-36°=72°.∴∠BFC=180°-∠BCF-∠CBF=180°-36°-72°=72°.∴∠BFC=∠CBF=72°.∴BC=CF=2.同理可得DG=DE=2.∵BC=CF,BC=CD,∴CF=CD.又∵∠FCD==72°,∴∠CDF=∠CFD=(180°-72°)÷2=54°.∴∠FDG=∠GDC-∠CDF=72°-54°=18°.由此可知①正确.∵∠ABF=∠BCA=36°,∠BAF=∠CAB,答案

B∵正五边形ABCDE的每一个内角都等于 =126∴△BAF∽△CAB.∴

=

.∴

=

.∴

=

.解得AF=

-1.∴AC=AF+FC=(

-1)+2=

+1.易证△AFG∽△ACD,∴

=

.∴

=

.解得FG=3-

.由此可知②正确.过点A作AM⊥CD于点M,交BE于点N.

∵AC=AD,AM⊥CD,∴CM=DM=

CD=1.∴△BAF∽△CAB.∴ = .27∴AM=

=

,∴(sin∠ACM)2=

=

.∵CD=CF=EF=DE=2,∴四边形CDEF是菱形.∴S四边形CDEF=2S△CDF=2×

=2×

=4sin∠ACM.∴(S四边形CDEF)2=(4sin∠ACM)2=16×(sin∠ACM)2=10+2

≠9+2

.由此可知③错误.过点F作FH⊥CD于点H.∵cos∠ACM=cos∠FCH=

=

,∴AM= = ,28∴

=

,∴CH=

.∴DH=CD-CH=2-

=

.∴DH2=

=

.由对称性知CF=DG.∴DF2-DG2=DH2-CH2=6-2

≠7-2

.由此可知④错误.综上,①②正确,故选B.∴ = ,∴CH= .∴DH=CD-CH=2- = .29B组2014—2018年全国中考题组考点一弧长、扇形的面积1.(2017四川攀枝花,8,3分)如图,△ABC内接于☉O,∠A=60°,BC=6

,则

的长为

()

A.2π

B.4π

C.8π

D.12πB组2014—2018年全国中考题组1.(2017四川攀枝30答案

B如图,连接OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D,∴BD=CD=

BC,∵∠A=60°,∴∠BOC=2∠A=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=

×(180°-∠BOC)=30°,∵BC=6

,∴BD=

BC=

×6

=3

,∴OB=

=

=6,

∴

的长为

=4π.故选B.答案

B如图,连接OB,OC,过点O作OD⊥BC于点312.(2017浙江丽水,9,3分)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的

面积是

()

A.

-

B.

-2

C.

-

D.

-

答案

A连接CO,∵点C是半圆O的三等分点,∴∠AOC=60°,∠BOC=120°.∵AO=CO,∴△ACO是等边三角形,∴CO=AC=2,S扇形BOC=

=

,S△BOC=

×2×2×sin120°=

,∴S阴影=S扇形BOC-S△BOC=

-

.故选A.2.(2017浙江丽水,9,3分)如图,点C是以AB为直径的323.(2016重庆A卷,9,4分)如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=

,则图中阴影部分的面积是

()

A.

B.

+

C.

D.

+

答案

A∵AB为直径,∴∠ACB=90°.又∵AC=BC=

,∴△ACB为等腰直角三角形,∴OC⊥AB,△AOC和△BOC都是等腰直角三角形,∴S△AOC=S△BOC,OA=1,∴S阴影部分=S扇形AOC=

=

.故选A.3.(2016重庆A卷,9,4分)如图,以AB为直径,点O为334.(2017吉林,13,3分)如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径画

,

.若AB=1,则阴影部分图形的周长和为

(结果保留π).

答案

π+1解析正五边形的每个内角都为108°,故可得阴影部分图形的周长和为2×

+1=

π+1.4.(2017吉林,13,3分)如图,分别以正五边形ABCD345.(2016安徽,13,5分)如图,已知☉O的半径为2,A为☉O外一点.过点A作☉O的一条切线AB,切点

是B.AO的延长线交☉O于点C.若∠BAC=30°,则劣弧

的长为

.

答案

5.(2016安徽,13,5分)如图,已知☉O的半径为2,A35解析如图,连接OB,

∵AB切☉O于B,∴∠ABO=90°,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=30°+90°=120°,又☉O的半径为2,∴劣弧

的长为

=

.解析如图,连接OB,366.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆

时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧

于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当BQ=4

时,求优弧

的长(结果保留π);(3)若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.

6.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB中37解析(1)证明:连接OQ.

(1分)∵AP,BQ分别与优弧

相切,∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,即∠APO=∠Q=90°.又OA=OB,OP=OQ,∴Rt△APO≌Rt△BQO.

(3分)∴AP=BQ.

(4分)(2)∵BQ=4

,OB=

AB=8,∠Q=90°,∴sin∠BOQ=

.∴∠BOQ=60°.

(5分)∵OQ=8×cos60°=4,∴优弧

的长为

=

.

(7分)(3)设点M为Rt△APO的外心,则M为OA的中心,∴OM=4.当点M在扇形COD的内部时,OM<OC,∴4<OC<8.

(9分)解析(1)证明:连接OQ. (1分)387.(2017江苏扬州,25,10分)如图,已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半

圆上,过点C作CD⊥AB,分别交AB、AO的延长线于点D、E,AE交半圆O于点F,连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由;(2)①求证:CF=OC;②若半圆O的半径为12,求阴影部分的周长.

7.(2017江苏扬州,25,10分)如图,已知平行四边形O39解析(1)直线DE与半圆O相切.理由如下:∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC.∵∠D=90°,∴∠OCE=∠D=90°,即OC⊥DE,∴直线CE与半圆O相切.(2)①证明:如图,连接OB.∵OA=OC,∴平行四边形OABC为菱形,∴AB=OA.∵OB=OA,∴△AOB为等边三角形,∴∠A=60°,∴∠COF=∠A=60°.∵OC=OF,∴△COF为等边三角形,∴CF=OC;②∵OC=12,∠OCE=90°,∠COE=60°,∴CE=12

,OE=24,EF=OE-OF=12.解析(1)直线DE与半圆O相切.理由如下:40∵

=

=4π,∴阴影部分的周长为12

+12+4π.

∵ = =4π,41考点二圆柱与圆锥的侧面展开图1.(2017江苏南通,6,3分)如图,圆锥的底面半径为2,母线长为6,则它的侧面积为

()

A.4πB.6πC.12πD.16π答案

C圆锥的侧面积S=π×2×6=12π.故选C.2.(2017江苏无锡,16,2分)若圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则它的侧面展开图的面积

为

cm2.答案15π解析底面半径为3cm,则底面周长为6πcm,所以侧面展开图的面积=

×6π×5=15π(cm2).考点二圆柱与圆锥的侧面展开图1.(2017江苏南通,6,3423.(2017湖南永州,17,4分)如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10cm,高为12cm的

无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是

cm2(结果保留π).

答案65π解析圆锥的底面圆的半径为10÷2=5cm,高为12cm,∴圆锥的母线长为13cm,∴做这个玩具

所需纸板的面积为π×5×13=65πcm2.故答案为65π.3.(2017湖南永州,17,4分)如图,这是某同学用纸板做43考点三正多边形和圆1.(2016广西玉林,11,3分)如图,把八个等圆按相邻两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边

形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)的面积之和为S1,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)

的面积之和为S2,则

=

()

A.

B.

C.

D.1答案

B设每一个圆中无阴影部分扇形的面积为SA,阴影部分扇形的面积为SB,∵正八边形的每一个外角为360°÷8=45°,∴正八边形的每一个内角为180°-45°=135°.∴

=

=

=

,故选择B.考点三正多边形和圆1.(2016广西玉林,11,3分)如图442.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为

.答案

∶1解析设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为

r,内接正三角形的边心距为

r,故

r∶

r=

∶1.2.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方453.(2018河北,19,6分)如图1,作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC

为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如:若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而

=45°是360°(多边形外角和)的

,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.图2中的图案外轮廓周长是

;在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是

.

图13.(2018河北,19,6分)如图1,作∠BPC平分线的反46

图2答案14;21解析题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的正方形组成,且三个正多

边形三边相连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然

以∠APB,∠APC为内角的两个正多边形的边数越多(即以∠BPC为内角的正多边形的边数越

少),会标的外轮廓周长越大.当以∠BPC为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周

长最大.此时∠APB=150°,以∠APB,∠APC为内角的两个正多边形均为正十二边形,会标的外

轮廓周长为10+10+1=21.

 答案14;21解析题图2中的图案由两个边长474.(2017四川宜宾,15,3分)如图,☉O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G,AE=2,

则EG的长是

.

答案

-1解析∵五边形ABCDE是内接正五边形,∴正五边形的每个内角都是108°,即∠AED=108°.∵

AE=DE,∴∠EAD=∠EDA=36°.同理可得∠ABE=∠AEB=36°,∴∠DEB=72°,∴∠DGE=72°,∴

DG=DE=AE=2.∵∠EAD=∠AEB=36°,∴AG=EG,∴△EAG∽△DAE,∴

=

,即

=

,解得EG=-1±

,负值舍去,EG=

-1.4.(2017四川宜宾,15,3分)如图,☉O的内接正五边形48C组教师专用题组考点一弧长、扇形的面积1.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于☉O,AB=2

,则

的长是

()

A.π

B.

π

C.2π

D.

π答案

A连接AC、BD交于点O',∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,∴AC、BD是直径,∴点O'与点O重合,∴∠AOB=90°,AO=BO,∵AB=2

,∴AO=2,∴

的长为

=π.思路分析

由正方形的性质可得,∠AOB=90°,又AO=BO,由勾股定理可得圆的半径,将所得到

的结果代入弧长公式即可.方法总结

求弧长一般需要两个条件,一个是圆心角度数,一个是圆半径.常用连接半径的方

法,构造等腰三角形,或加上弦心距,构造直角三角形求解.C组教师专用题组1.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,492.(2018四川成都,9,3分)如图,在▱ABCD中,∠B=60°,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是

()

A.πB.2πC.3πD.6π答案

C在▱ABCD中,∠B=60°,∴∠C=120°.∵☉C的半径为3,∴S阴影=

=3π.故选C.2.(2018四川成都,9,3分)如图,在▱ABCD中,∠B503.(2017湖北咸宁,7,3分)如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=

∠BCD,则

的长为

()

A.πB.

πC.2πD.3π答案

C∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BOD=∠BCD,∴∠BAD+∠BOD=180°,∵∠BAD=

∠BOD,∴

∠BOD+∠BOD=180°,∴∠BOD=120°,∵☉O的半径为3,∴

的长为

=2π.3.(2017湖北咸宁,7,3分)如图,☉O的半径为3,四边514.(2017四川凉山州,12,4分)如图,一个半径为1的☉O1经过一个半径为

的☉O的圆心,则图中阴影部分的面积为

()

A.1

B.

C.

D.

4.(2017四川凉山州,12,4分)如图,一个半径为1的☉52答案

A如图,设☉O1与☉O相交于A,B两点,连接OO1,OA,OB,AB.

∵☉O的半径为

,☉O1的半径为1,点O在☉O1上,∴OA=

,O1A=O1O=1,则有(

)2=12+12,∴OA2=O1A2+O1O2,∴△OO1A为直角三角形,∴∠AOO1=45°,同理可得∠BOO1=45°,∴∠AOB=90°,

∴AB为☉O1的直径,∴S阴影部分=S半圆AB-S弓形AB=S半圆AB-(S扇形OAB-S△OAB)=S半圆AB-S扇形OAB+S△OAB=

π×12-

+

×

×

=1.故选A.答案

A如图,设☉O1与☉O相交于A,B两点,连接O535.(2017内蒙古包头,9,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的☉O交BC于

点D.若BC=4

,则图中阴影部分的面积为

()

A.π+1

B.π+2

C.2π+2

D.4π+1答案

B连接AD,OD,∵AB是直径,AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD,∴OD是△ABC的中位线,易知

∠CAB=90°,由BC=4

可得AB=AC=4,∴OB=2.∴S阴影=S△OBD+S扇形OAD=

×2×2+

π×22=2+π.思路分析

先将阴影部分分割成一个三角形和一个扇形,再分别计算这两个图形的面积并求

和.5.(2017内蒙古包头,9,3分)如图,在△ABC中,AB546.(2017浙江衢州,10,3分)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是☉O的直径,CD、EF是

☉O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是

()

A.

πB.10πC.24+4πD.24+5π6.(2017浙江衢州,10,3分)运用图形变化的方法研究下55答案

A如图,作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.∵CG是☉O的直径,∴∠CDG=90°,∴DG=

=

=8,又∵EF=8,∴DG=EF,∴

=

,∴S扇形ODG=S扇形OEF,∵AB∥CD∥EF,∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=

π×52=

π.

答案

A如图,作直径CG,连接OD、OE、OF、DG567.(2016潍坊,11,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2

,以直角边AC为直径作☉O交AB于点D,则图中阴影部分的面积是

()

A.

-

πB.

-

πC.

-

D.

-

7.(2016潍坊,11,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A57答案

A∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2

,∴tan30°=

=

,即AC=

BC=6,∴S△ABC=

AC·BC=

×6×2

=6

,连接OD,CD,∵AC为☉O的直径,

∴∠ADC=90°,∴CD=

AC=3,AD=

AC=3

,∴S△ACD=

AD·CD=

×3

×3=

.∴S△AOD=

S△ACD=

,答案

A∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 58∵∠COD=2∠A=60°,OC=

AC=3,∴S扇形COD=

=

π,∴S阴影=6

-

-

π=

-

π,故选A.易错警示

此类问题容易出错的地方是不能正确表示阴影部分的面积,求不规则图形的面积

需要根据题意转化为规则图形面积的和或差来进行计算.∵∠COD=2∠A=60°,OC= AC=3,易错警示

598.(2018河南,14,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋

转90°得到△A'B'C',其中点B的运动路径为

,则图中阴影部分的面积为

.

答案

-

8.(2018河南,14,3分)如图,在△ABC中,∠ACB60解析如图,连接B'D,BD,作DE⊥A'B'于点E.

在Rt△BCD中,BC=2,CD=

AC=1,∴BD=

=

.由旋转得A'B'⊥AB,∠B'DB=90°,DE=

AA'=

AB=

,B'C=

,∴S阴影=S扇形B'DB-S△B'CD-S△BCD=

-

×

×

-

×2×1=

-

.思路分析

首先确定

所在圆的圆心为点D,根据题意求出半径DB和圆心角∠B'DB的度数,然后通过S扇形B'DB-S△B'CD-S△BCD可求得阴影部分的面积.解析如图,连接B'D,BD,作DE⊥A'B'于点E.思路分619.(2017辽宁辽阳,13,3分)如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O与BC相交于点D,过点D作☉O的

切线交AC于点E,若☉O的半径为5,∠CDE=20°,则弧BD的长为

.

答案

π9.(2017辽宁辽阳,13,3分)如图,在△ABC中,以A62解析如图,连接OD,∵过点D作☉O的切线交AC于点E,∴∠ODE=90°,

∵∠CDE=20°,∴∠1=180°-∠CDE-∠ODE=180°-20°-90°=70°.∵∠1=∠2=70°,∴∠3=40°,∴弧BD的长为5π×

=

.解析如图,连接OD,∵过点D作☉O的切线交AC于点E,∴∠6310.(2017辽宁营口,15,3分)如图,将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A'B'CD'的位

置,AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为

.答案

π-2

解析∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4,CD=AB=2,∠BCD=∠ADC=90°,∴CE=BC=4,∴CE

=2CD,∴∠DEC=30°,∴∠DCE=60°,由勾股定理得DE=2

,∴阴影部分的面积是S扇形CEB'-S△CDE=

-

×2×2

=

π-2

.10.(2017辽宁营口,15,3分)如图,将矩形ABCD绕6411.(2016青海,8,2分)如图,AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器.如果AO=45cm,CO=5cm,当AC绕点

O顺时针旋转90°时,雨刷器AC扫过的面积为

cm2(结果保留π).

答案500π解析

S阴影=S扇形AOA'+S△A'OC'-S△AOC-S扇形COC'=S扇形AOA'-S扇形COC'=

π×452-

π×52=500πcm2.11.(2016青海,8,2分)如图,AC是汽车挡风玻璃前的6512.(2016德州,16,4分)将半径为1的半圆形纸片按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆

心O重合,则图中阴影部分的面积是

.

答案

-

12.(2016德州,16,4分)将半径为1的半圆形纸片按如66解析如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,

由题意知OM⊥AB,且OC=MC=

,在Rt△AOC中,∵OA=1,OC=

,∴cos∠AOC=

=

,AC=

=

,∴∠AOC=60°,AB=2AC=

,∴∠AOB=2∠AOC=120°,则S弓形ABM=S扇形AOB-S△AOB=

-

×

×

=

-

,∴S阴影=S半圆-2S弓形ABM=

π×12-2

=

-

.解析如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,6713.(2014威海,18,3分)如图,☉A与☉B外切于☉O的圆心O,☉O的半径为1,则阴影部分的面积是

.

答案

-

13.(2014威海,18,3分)如图,☉A与☉B外切于☉O68解析如图,连接DF、DB、FB、OB,

由题意知OB=BD=BF=1,∠OBD=∠OBF=60°,∴DF=

,∴S弓形DOF=S扇形DBF-S△BDF=

-

×

×

=

-

,∴S阴影=S☉O-4S弓形DOF=π-4×

=

-

.解析如图,连接DF、DB、FB、OB,6914.(2018云南,22,9分)如图,已知AB是☉O的直径,C是☉O上的点,点D在AB的延长线上,∠BCD=

∠BAC.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若∠D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.

14.(2018云南,22,9分)如图,已知AB是☉O的直径70解析(1)证明:连接OC.∵AB是☉O的直径,C是☉O上的点,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠BAC.∵∠BCD=∠BAC,∴∠ACO=∠BCD.

(2分)∴∠BCD+∠OCB=90°.∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD.∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.

(4分)(2)∵∠D=30°,∠OCD=90°,∴∠BOC=60°,OD=2OC,∴∠AOC=120°,∠BAC=30°.

(6分)设☉O的半径为x,则OB=OC=x,∴x+2=2x,解得x=2.解析(1)证明:连接OC.71过点O作OE⊥AC,垂足为点E,在Rt△OEA中,OE=

OA=1,AE=

=

=

,∴AC=2

.∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=

-

×2

×1=

π-

.

(9分)

过点O作OE⊥AC,垂足为点E,7215.(2017浙江湖州,21,8分)如图,O为Rt△ABC的直角边AC上一点,以OC为半径的☉O与斜边AB

相切于点D,交OA于点E,已知BC=

,AC=3.(1)求AD的长;(2)求图中阴影部分的面积.

15.(2017浙江湖州,21,8分)如图,O为Rt△ABC73解析(1)在Rt△ABC中,AB=

=

=2

.∵BC⊥OC,∴BC是☉O的切线,∵AB是☉O的切线,∴BD=BC=

,∴AD=AB-BD=2

-

=

.(2)在Rt△ABC中,sinA=

=

=

,∴∠A=30°,∵AB切☉O于点D,∴OD⊥AB,∴∠AOD=90°-∠A=60°,∵

=tanA=tan30°,∴

=

,∴OD=1,∴S阴影=

=

.解析(1)在Rt△ABC中,AB= = =2 .7416.(2016河北,25,10分)如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其

中P点在

上且不与A点重合,但Q点可与B点重合.发现

的长与

的长之和为定值l,求l;思考点M与AB的最大距离为

,此时点P,A间的距离为

;点M与AB的最小距

离为

,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为

;探究当半圆M与AB相切时,求

的长.

16.(2016河北,25,10分)如图,半圆O的直径AB=75解析

发现连接OP,OQ,则OP=OQ=PQ=2.∴∠POQ=60°.∴

的长=

=

.∴l=

π·4-

=

.

(2分)思考

;2;

;

-

.

(6分)探究半圆M与AB相切,分两种情况:①如图1,半圆M与AO切于点T时,连接PO,MO,TM,则MT⊥AO,OM⊥PQ.

图1解析

发现连接OP,OQ,则OP=OQ=PQ=2.76在Rt△POM中,sin∠POM=

,∴∠POM=30°.

(7分)在Rt△TOM中,TO=

=

,∴cos∠AOM=

,即∠AOM=35°.

(8分)∴∠POA=35°-30°=5°,∴

的长=

=

.

(9分)②如图2,半圆M与BO切于点S时,连接QO,MO,SM.

图2在Rt△POM中,sin∠POM= ,77由对称性,同理得

的长=

.由l=

,得

的长=

-

=

.综上,

的长为

或

.

(10分)评析

本题是运动型问题,涉及最值、分类讨论思想,解决本题的关键是将半圆放在合适的位

置上.要注意半圆M与AB相切时有两种情况,左侧相切和右侧相切是对称的,结合图形,根据cos

35°=

或cos55°=

确定角度,再求弧长即可.由对称性,同理得 的长= .评析

本题是运动型问题,涉78考点二圆柱与圆锥的侧面展开图1.(2017贵州遵义,8,3分)已知圆锥的底面面积为9πcm2,母线长为6cm,则圆锥的侧面积是

(

)A.18πcm2

B.27πcm2

C.18cm2

D.27cm2

答案

A设圆锥底面圆的半径为r,根据题意,得πr2=9πcm2,∴r=3cm,∴圆锥底面圆的周长为2πr=6πcm,∴圆锥的侧面积为

×6π×6=18πcm2.考点二圆柱与圆锥的侧面展开图1.(2017贵州遵义,8,3792.(2017四川南充,8,3分)如图,在Rt△ABC中,AC=5cm,BC=12cm,∠ACB=90°,把Rt△ABC绕BC

所在的直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的侧面积为

()

A.60πcm2

B.65πcm2

C.120πcm2

D.130πcm2

答案

B在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=

=

=13.根据题意,知这个几何体是圆锥,圆锥的底面圆的半径AC=5,母线AB=13,圆锥的侧面积为πAC·AB=π×5×13=65π(cm2).2.(2017四川南充,8,3分)如图,在Rt△ABC中,A803.(2017四川达州,9,3分)如图,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位

置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置,依此类推,这样连续旋转2017次.若

AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为

()

A.2017πB.2034πC.3024πD.3026π答案

D∵∠ABC=90°,∴AC2=AB2+BC2,∵AB=4,BC=3,∴AC=BD=5.∴转动第一次,顶点A的路径长是

=2π;转动第二次,顶点A的路径长是

=

π;转动第三次,顶点A的路径长是

=

π;转动第四次,顶点A的路径长是0;以此类推,每四次一循环,则顶点A转动四次经过的路径长为

π+

π+2π=6π,∵2017÷4=504……1,∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为6π×504+2π=3026π.3.(2017四川达州,9,3分)如图,将矩形ABCD绕其右814.(2017云南,13,4分)正如我们小学学过的圆锥体积公式V=

πr2h(π表示圆周率,r表示圆锥的底面半径,h表示圆锥的高)一样,许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到

小数点后第7位的中国古代科学家,创造了当时世界上的最高水平,差不多过了1000年,才有人

把π计算得更精确.在辉煌成就的背后,我们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明,仅仅就

计算来讲,他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算,包括开方在内.即使今天我们用

纸笔来算,也绝对不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在的纸笔,数学计算不是用现在的阿

拉伯数字,而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅力啊!他这种严谨治学

的态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习.下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是个半圆,若该圆锥的体积等于9

π,则这个圆锥的高等于

()A.5

πB.5

C.3

πD.3

答案

D设圆锥的母线长为R,底面半径为r,高为h,∵圆锥的侧面展开图是个半圆,∴

=2πr,∴R=2r,由勾股定理可得h=

r,∵圆锥的体积等于9

π,∴

πr2h=9

π,解得r=3,∴h=3

,故选D.解题关键

解决有关圆锥的计算问题时,要紧紧抓住两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于其侧

面展开图扇形所在圆的半径;(2)圆锥的底面周长等于其侧面展开图扇形的弧长.4.(2017云南,13,4分)正如我们小学学过的圆锥体积公825.(2016福建泉州,6,3分)如图,圆锥的底面半径为rcm,母线长为10cm,其侧面展开图是圆心角

为216°的扇形,则r的值是

()

A.3

B.6

C.3πD.6π答案

B由题意得

=2πr,解得r=6.故选择B.5.(2016福建泉州,6,3分)如图,圆锥的底面半径为r836.(2016江苏无锡,7,3分)已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面展开图的面积

等于

()A.24cm2

B.48cm2C.24πcm2

D.12πcm2

答案

C∵圆锥的底面半径为4cm,∴圆锥的底面周长为8πcm,所以S侧=

×8π×6=24πcm2,故选择C.6.(2016江苏无锡,7,3分)已知圆锥的底面半径为4c847.(2016浙江宁波,9,4分)如图,圆锥的底面半径r为6cm,高h为8cm,则圆锥的侧面积为

()

A.30πcm2

B.48πcm2

C.60πcm2

D.80πcm2

答案

C∵r=6cm,h=8cm,∴圆锥的母线长l=

=

=10cm,∴圆锥的侧面积为πrl=π×6×10=60πcm2,故选C.7.(2016浙江宁波,9,4分)如图,圆锥的底面半径r为6858.(2018新疆乌鲁木齐,14,4分)将半径为12,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则此圆

锥的底面圆的半径为

.答案4解析由弧长公式得l=

=8π,设底面圆的半径为r,则2πr=8π,解得r=4.思路分析

先求出扇形的弧长,这个弧长就是底面圆的周长,再由圆的周长公式求出半径即可.8.(2018新疆乌鲁木齐,14,4分)将半径为12,圆心角869.(2017湖南郴州,14,3分)已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,则该圆锥的侧面积为

cm2(结果保留π).

答案15π解析∵圆锥的高是4cm,母线长为5cm,∴根据勾股定理得圆锥的底面圆的半径为3cm,∴圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm2.思路分析

首先利用勾股定理求得圆锥的底面圆的半径,然后利用圆锥的侧面积=π×底面

圆的半径×母线长,把相应数值代入即可求解.解题关键

本题考查圆锥侧面积公式的运用,掌握公式是关键.9.(2017湖南郴州,14,3分)已知圆锥的母线长为5c8710.(2017湖北黄冈,13,3分)已知:如图,圆锥的底面直径是10cm,高为12cm,则它的侧面展开图

的面积是

cm2.

答案65π解析∵圆锥的底面直径是10cm,高为12cm,∴圆锥的母线长为13cm,∴圆锥的侧面积=

×π×13×10=65π(cm2).故答案为65π.10.(2017湖北黄冈,13,3分)已知:如图,圆锥的底面88考点三正多边形和圆1.(2017四川达州,7,3分)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边

作三角形,则该三角形的面积是

()A.

B.

C.

D.

考点三正多边形和圆1.(2017四川达州,7,3分)以半径89答案

A如图1,

图1∵OC=2,∴OD=2×sin30°=1;如图2,

图2∵OB=2,答案

A如图1,90∴OE=2×sin45°=

;如图3,

图3∵OA=2,∴OD=2×cos30°=

.则该三角形的三边分别为1,

,

,∵12+(

)2=(

)2,∴该三角形是直角三角形,∴该三角形的面积是

×1×

=

.∴OE=2×sin45°= ;912.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则∠AFE的度数为

.

答案72°解析∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠EAB=∠ABC=

=108°,∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA=36°,同理可得∠ABE=36°,∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°.2.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中923.(2018云南昆明,6,3分)如图,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇

形ABF,则图中阴影部分的面积为

(结果保留根号和π).

答案

-

π解析由于正六边形的每一个内角的度数=

=120°,且面积等于边长与其一边长相等的等边三角形面积的6倍,所以S阴影=

-

=6×

×12-

×π×12=

-

π.3.(2018云南昆明,6,3分)如图,正六边形ABCDEF934.(2015四川眉山,16,3分)已知☉O的内接正六边形周长为12cm,则这个圆的半径是

cm.答案2解析如图,连接OA,OB.∵☉O的内接正六边形ABCDEF的周长为12cm,∴正六边形ABCDEF

的边长为2cm,∵∠AOB=

×360°=60°,且OA=OB,∴△OAB为等边三角形,∴OA=AB=2cm,即该圆的半径为2cm,故答案为2.

4.(2015四川眉山,16,3分)已知☉O的内接正六边形周94A组2016—2018年模拟·基础题组考点一弧长、扇形的面积三年模拟1.(2017聊城阳谷一模,10)如图,用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了