定积分与微积分基本定理及动平衡的配平问题研讨和定积分的应用毕业论文

学士学位论文BACHELOR’STHESISPAGE1编号学士学位论文定积分的应用学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：HYPERLINK第一章第十三节定积分与微积分基本定理（理）题组一定积分的计算1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D2．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈[1，2]，))则f(x)dx等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D．不存在解析：数形结合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx==.答案：C3．计算以下定积分：(1)(2x2－eq\f(1,x))dx；(2)(eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))2dx；(3)(sinx－sin2x)dx；解：(1)(2x2－eq\f(1,x))dx＝(eq\f(2,3)x3－lnx)＝eq\f(16,3)－ln2－eq\f(2,3)＝eq\f(14,3)－ln2.(2)(eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))2dx＝(x＋eq\f(1,x)＋2)dx＝(eq\f(1,2)x2＋lnx＋2x)＝(eq\f(9,2)＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝lneq\f(3,2)＋eq\f(9,2).(3)(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋eq\f(1,2)cos2x)＝(－eq\f(1,2)－eq\f(1,4))－(－1＋eq\f(1,2))＝－eq\f(1,4).题组二求曲多边形的面积4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A．1B.eq\f(4,3)C.eq\r(3)D．2解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝eq\f(4,3).答案：B5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为eq\f(4,3)，则k＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由(kx－x2)dx＝(eq\f(kx2,2)－eq\f(x3,3))＝eq\f(k3,6)＝eq\f(4,3)求得k＝2.答案：26．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．解析：设直线OP的方程为y＝kx,P点的坐标为(x，y)，则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，即(eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3)＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)，解得eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)－2k－(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)，解得k＝eq\f(4,3)，即直线OP的方程为y＝eq\f(4,3)x，所以点P的坐标为(eq\f(4,3)，eq\f(16,9))．答案：(eq\f(4,3)，eq\f(16,9))题组三定积分在物理中的应用7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()A.eq\f(17,6)B.eq\f(14,3)C.eq\f(13,6)D.eq\f(11,6)解析：s＝(t2－t＋2)dt＝(eq\f(1,3)t3－eq\f(1,2)t2＋2t)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(17,6).答案：A8．若1N的力能使弹簧伸长1cm，现在要使弹簧伸长10cm，则需要花费的功为()A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1N时，x＝0.01m，可解得k＝100N/m，则F＝100x，所以W＝100xdx＝50x2＝0.5J.答案：B9．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v与t的函数关系式如下：v＝v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t，0≤t＜20，,50－t，20≤t＜40，,10，40≤t≤60.))所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝＝＋＋＝eq\f(3,4)t2＋(50t－eq\f(1,2)t2)＋10t＝900米答案：900题组四定积分的综合应用10.(2010·烟台模拟)若y＝(sint＋costsint)dt，则y的最大值是()A．1B．2C．－eq\f(7,2)D．0解析：y＝(sint＋costsint)dt＝(sint＋eq\f(1,2)sin2t)dt＝(－cost－eq\f(1,4)cos2t)＝－cosx－eq\f(1,4)cos2x＋eq\f(5,4)＝－cosx－eq\f(1,4)(2cos2x－1)＋eq\f(5,4)＝－eq\f(1,2)cos2x－cosx＋eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(cosx＋1)2＋2≤2.答案：B11．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝eq\f(17,6)，那么eq\f(f(x),x)dx的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得(eq\f(1,2)ax2＋bx)＝eq\f(1,2)a＋b＝5，①由xf(x)dx＝eq\f(17,6)得(ax2＋bx)dx＝eq\f(17,6)，即(eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)bx2)＝eq\f(17,6)，∴eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(17,6)，②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，于是eq\f(f(x),x)dx＝eq\f(4x＋3,x)dx＝(4＋eq\f(3,x))dx＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.答案：4＋3ln212．设f(x)＝|x2－a2|dx.(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．解：(1)0≤a≤1时，f(a)＝|x2－a2|dx＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx＝(a2x－eq\f(1,3)x3)＋(eq\f(x3,3)－a2x)＝a3－eq\f(1,3)a3－0＋0＋eq\f(1,3)－a2－eq\f(a3,3)＋a3＝eq\f(4,3)a3－a2＋eq\f(1,3).当a＞1时，f(a)＝(a2－x2)dx＝(a2x－eq\f(1,3)x3)＝a2－eq\f(1,3).∴f(a)＝(2)当a＞1时，由于a2－eq\f(1,3)在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2由f′(a)＞0知：a＞eq\f(1,2)或a＜0，故在[0，eq\f(1,2)]上递减，在[eq\f(1,2)，1]上递增．因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,4).综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为eq\f(1,4).

动平衡单位g怎么转化成g*mm？有何依据？悬赏分：10|解决时间：2010-2-112:36|提问者：wind01000我在水泵厂工作，动平衡报告向外提交一向是g为单位，动平衡机上显示的也是g。但现在客户要求我们把g转化成g*mm，并附页说明怎么转化、依据是什么。大家谁能帮助我们吗？EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1最佳答案这个应该在动平衡机的说明书上，说明读数是什么单位，或者说明读数对应着的轴径mm和转速。g*mm是静态不平衡力矩单位。而g是动态不平衡力的单位，力的大小与转速有关：F=m*r*ω^2。当一根轴静态平衡时，力矩是0g*mm，但它转动时，仍可能不平衡。就是说，g与g*mm是两码事。只有因一个点的静不平衡造成动不平衡时，才可能有换算关系。这个对应关系可以自行找一下：用一个已知的不平衡块a加在动平衡（读数为0）的轴的已知半径r处，此时会产生一个不平衡读数d。这样就能找到g*mm与g的一个对应关系：当读数是d个g时，对应a*r个g*mm。由于动不平衡与转速有关，这个规律仅适用于这台动平衡机。多试几次哦，看有没有规律。g/mm是动平衡的什么标准单位？悬赏分：10|提问时间：2008-11-1513:49|提问者：henry1689|问题为何被关闭g/mm是动平衡的什么标准单位？它的含义是是什么？怎样理解？EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1其他回答共1条力矩单位，即在每mm长的直径尺寸上，最大允许的残余不平衡量是多少。请问各种旋转机械的动平衡等级标准,谢谢!悬赏分：0|解决时间：2008-3-3022:01|提问者：zxd7224如:各种电机,风机,手表摆轮等等的平衡等级EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1最佳答案平衡精度等级的合理选用与不平衡量的简化计算公式平衡精度等级的合理选用：精度等级Gg.mm/kg转子类型举例G630630刚性安装的船用柴油机的曲轴驱动件；刚性安装的大型四冲程发动机曲轴驱动件G250250刚性安装的高速四缸柴油机的曲轴驱动件G100100六缸和多缸柴油机的曲轴驱动件。汽车、货车和机车用的（汽油、柴油）发动机整机。G4040汽车车轮、箍轮、车轮整体；汽车、货车和机车用的发动机的驱动件。G1616粉碎机、农业机械的零件；汽车、货车和机车用的（汽油、柴油）发动机个别零件。G6.36.3燃气和蒸气涡轮、包括海轮（商船）主涡轮刚性涡轮发动机转子；透平增压器；机床驱动件；特殊要求的中型和大型电机转子；小电机转子；涡轮泵。G2.52.5海轮（商船）主涡轮机的齿轮；离心分离机、泵的叶轮；风扇；航空燃气涡轮机的转子部件；飞轮；机床的一般零件；普通电机转子；特殊要求的发动机的个别零件。G11磁带录音机及电唱机驱动件；磨床驱动件；特殊要求的小型电枢。G0.40.4精密磨床的主轴、磨轮及电枢、回转仪。不平衡量的简化计算公式：M转子质量单位kgG精度等级选用单位g.mm/kgr校正半径单位mmn工件的工作转速单位rpmm不平衡合格量单位gm=9549.M.G/r.n完成日期：中文摘要定积分是一元函数积分学中的另一个基本概念，它是从大量的实际问题中抽象出来的在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，该论文主要讨论从几何问题物理问题出发叙述应用定积分解决各种问题的优越性。关键词：微元；体积；面积；参数方程；重心；旋转体；变化率为；22736中文摘要 120910引言 140521.定积分的应用 173101.1定积分在几何方面的应用 1304521.1.1微元法 1127391.1.2用定积分求平面图形的面积 2224641.2极坐标下平面图形的面积 713432.应用定积分求旋转体的体积 8302882.1平行截面积已知的立体体积. 8125712.1.1旋转体体积 9153653.定积分在物理上的应用 1356183.1重心 1377683.2变力做功 15286903.3电学上的应用 15291424.定积分在经济中的应用 168356总结 1727926参考文献 1823961致谢 19PAGE23引言定积分在数学，物理上有好多个应用比如：求曲边梯形的面积，旋转体的体积，物体的重心，变力做功，转动惯量等等，为什么把这些问题应用定积分来计算？答案是很简单这些问题都与求和有关系，但是求和没那么容易事所以必须用定积分这工具来解决。1.定积分的应用定积分在几何，物理及经济上有广泛的应用。首先我们介绍以下定积分这个概念。定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若>0，>0，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要<，就有<，则称函数在区间上可积或数称为在上的定积分，记作下面我们介绍以下定积分若干方面的应用。1.1定积分在几何方面的应用我们用什么样的方法把定积分应用在几何方面的问题？我们引入微元法这一概念。1.1.1微元法以曲边梯形面积为列，如图曲边梯形选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间在区间上任取一个小区间并记为。图1-1以点处的函数值为高，以为底的矩形面积作为其中称为面积微元，记为于是面积为1.1.2用定积分求平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积。设函数在上连续求由曲线及直线（<)所围成图形的面积。分析：在上任取小区间设此小区间上的面积为，它近似于高为底为的小矩形面积，如图1-2所示，从而的面积微元为以为被积表达式，在区间作定积分图1-2就是所求图形的面积在这个公式中无论曲线在轴的上方与下方都成立，只要在下方即可。例求由曲线所围成平面图形的面积。分析：先对曲线进行分析，显然曲线有无穷多个零点。且。时，我们可以画出草图如图1-3.进一步分析可知：时，，时，. 图1-3所求面积解：由于可得求由曲线及直线所围成图形面积在区间上任取小区间，设此小区间上的面积为，则近似于高为，低为的小矩形面积，从而得面积微元于是所求面积为。例2．求由叁数方程所围成图形的面积，分析：对参数方程所围图形，与直角坐标图形相似，必须讨论其所给曲线的几何特征，尔后确定积分变量被积函数及积分区间。解：函数为周期（针对变量t而言）函数，因而在直角坐标系中只须考虑0≤t≤2范围内的叁数方程即可，原方程可变形为，0≤t≤2.时，，↗，↗此时，曲线单升，至最右点为。时，↘，↗，曲线至最左点为，↘，↘，曲线至最左点为.，↗，↘，曲线至最低点为，↗，↗，曲线至点，，↘，↗，曲线至点图象如图1-4所示 图1-41.2极坐标下平面图形的面积设曲线的极坐标方程在上连续，且，求此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积如图1-3所示，在区间上任取一个小区间设此小区间上曲边扇形的面积，则近似于半径为中心角为的扇形面积，从而得到面积微元为可得面积为例1..利用定积分求曲线围成面积。解：如图4-18，阴影部分即为所求面积曲线，故所求面积为例2.计算阿基米德螺线上对应于从0变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积。面积微元为于是所求面积为 图1-5图1-52.应用定积分求旋转体的体积2.1平行截面积已知的立体体积.设有一立体价于过点圆垂直于轴的两平面之间如图所示，求此立体的体积.如图价于与之间的薄片的体积近似等于地面面积为高为的扁柱体的体积，即体积微元为图2-1图2-1于是所求的体积为即对截面积从到求积分。zzbx0aybx0ayxx图2-2图2-22.1.1旋转体体积设及所围图形绕轴旋转，如图2-2所示。求所得旋转体的体积，选取为积分变量其变化区间为过点做垂直于轴的平面，截的旋转体截面是半径为的圆，其截面积为从而所求旋转体的体积例1.求绕极轴把面积≤≤旋转而成的旋转体的体积。分析：分析所给面积(≤)确定被积函数及积分上下限，是圆，观察曲线：图2-3,,图2-3则≤,即曲线在以为半径的圆内，定义域为0≤≤或≤≤0≤≤,≤≤在第一第三象限内有定义，由对称性只求第一象限情况下的体积。，时，取最大值。这样，我们基本上掌握了极坐标系下的曲线的基本形状。曲线，与的交点在第一象限内为所求体积，便是如图2-3中阴影部分绕极轴旋转而得的立体体积。根据结论，我们便有为此，需求不定积分令，则即而令，则上述积分可得可得于是，可得例2设函数在上有连续导数，那么曲线及直线所围曲边梯形绕直线旋转所成立体体积等于什么？设为曲线上任意点，曲线在点处的切线为过点作直线的垂线为，即应用定积分的元素法，考虑子区间，设相应于的曲线弧段在直线上的投影长为则当子区图10-15图10-15间的长度充分小时，如图10-15所示，取切线上对应于右端点的点到垂线的距离（在此不妨假设）而点到直线的距离为从而得取积分3.定积分在物理上的应用定积分在物理上有好多个应用比如：求物体的重心，变力做功，转动惯量等等。3.1重心如果平面上有n个质点，它们的质量分别为位置分别为那未这一组点的重心的坐标，可用下列公式求出：﹙1﹚﹙2﹚我们已经知道了求平面薄板的重心坐标公式但是用这个公式求出重心没那么容易，我们解决的是求和问题，可能脑子里出现是否用定积分来计算，我们进一步讨论以下：设具有质量的平面薄板是由曲线，直线和轴所围成的曲边梯形，又设此平面薄板的面密度为常数设把区间分成n个小区间，则整个平面被分成n个小窄条取其中处宽为的小狭条,这个窄条的质量可近似地看作均匀分布在线段上而在该线段均匀分布的质量又可以看作集中于的中点处,于是这个窄条可以用质量为的质点来近似地代替,而整个图形就用个质因小条的质量称质量微元,而点的横坐标是,纵坐标是图3-1图3-1故质点对轴及轴的静力矩是则平面薄板对轴及轴的静力矩为又这整个平面薄板的总质量等于密度与面积的乘积，而面积，故得整个平面薄板的中心为如平面图形是及直线所谓成，假设在区间内则同理可得此平面图形的中心为3.2变力做功下面我们讨论一下变力做功设某物体在力的作用下沿着轴运动力平行于轴并在轴上不同的点处取不同的值，即力是的函数.我们要求物体在这个变力的作用下，由轴上的一点移动到另一点时变力所做的功图3-2（图3-2）由力学知，物体受恒力产生位移，所做的功为功=力距离（等速）故当物体由移动到时，所做的功近似地为（为功微元）在上所做的功就是图3-23.3电学上的应用我们学过电流在单位时间所做的功称为电流的功率，即，由于交流电流随时间在不断变化，因而所求的功是一