上海市松江区第四中学2022年高三数学理摸底试卷含解析

上海市松江区第四中学2022年高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.，，则下列判断正确的是.为偶函数

.有最小值，无最大值.有最大值，无最小值

.无最大值，也无最小值参考答案：B略2.

若的展开式各项系数的和为64，则展开式中的常数项为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：A

3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是

（

）

A．所有奇数的立方都不是奇数

B．不存在一个奇数，它的立方是偶数

C．存在一个奇数，它的立方是偶数

D．不存在一个奇数，它的立方是奇数参考答案：C略4.设方程和方程的根分别为和，函数，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：A．试题分析：方程和方程可以看作方程和方程，又因为方程和方程的根分别为和，即分别为函数与函数的交点B横坐标为；函数与函数的交点C横坐标为．由与互为反函数且关于对称，所以BC的中点A一定在直线上，联立方程得，解得A点坐标为．根据中点坐标公式得到，即，则函数为开口向上的抛物线，且对称轴为，得到，且当时，函数为增函数，所以．综上所述，．故应选A．考点：对数函数图像与性质的综合应用．5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图均为边长是的菱形，俯视图是一个正方形，该几何体的体积是

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略6.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：A正六棱柱的左视图是一个以AB长为宽，高为2的矩形，所以左视图的面积为，选A.7.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则（

）

A．

B。

C。

D。

参考答案：A略8.设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是(

)A．4

B．2

C．

D．参考答案：9.已知函数，则函数的零点所在的区间是A. B. C. D.参考答案：B10.已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且= （

） A．4 B．2 C．—2 D．log27参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有______种.（用数字作答）参考答案：288【分析】由题意先确定取球的4种方法，再按要求排列即可．【详解】要满足这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则从中摸出5个球可能是2个红色奇数号球和3个白色偶数号球；也可能是2个白色奇数号球和3个红色偶数号球；或2个红色偶数号球和3个白色奇数号球；也可能是2个白色偶数号球和3个红色奇数号球；当2个红色奇数号球和3个白色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色奇数号球和3个红色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个红色偶数号球和3个白色奇数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色偶数号球和3个红色奇数号球按要求排列时，有种方法；综上共有72+36+36+144=288种排法.【点睛】本题考查排列组合的实际应用问题，考查了分析问题的逻辑思维能力，注意合理地进行分类．12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1的图象过原点，则不等式的解集为

．参考答案：（0，+∞）【考点】导数的运算．【分析】构造函数g（x）=，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜ex∴g（x）＜1∵y=f（x）﹣1的图象过原点，∴f（0）=1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故答案为（0，+∞）【点评】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13.已知=（2，3），=（x，﹣6），若∥，则实数x的值为

．参考答案：﹣4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理的坐标运算即可得出．解：∵∥，∴﹣12﹣3x=0，解得x=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算，属于基础题．14.给出下列命题中

①向量的夹角为；

②为锐角的充要条件；

③将函数的图象按向量平移，得到的图象对应的函数表达式为；

④若为等腰三角形；

以上命题正确的是

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：③④15.圆（θ为参数）上的点P到直线（t为参数）的距离最小值是______．参考答案：【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，所以所求距离的最小值为．故答案为：．16.不难证明：一个边长为a，面积为S的正三角形的内切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为S，体积为V，则其内切球的半径为

．参考答案：由题意得，故．将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为R，则，∴，即内切球的半径为．

17.已知函数若函数的图象在点处的切线的倾斜角为________.参考答案：4试题分析：导函数，由导数的几何意义得，解得考点：导数的几何意义三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：（1）证明：因为，，所以，即．又因为，，所以平面．因为，所以．（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，解得所以，．以下给出求三棱锥体积的两种方法：方法1：由（1）知，平面，所以．因为，，所以，即．其中，因为，，所以．所以．方法2：因为，所以．其中，因为，，．．略19.设实数a，b满足a+2b=9．（1）若|9﹣2b|+|a+1|＜3，求a的取值范围；（2）若a，b＞0，且z=ab2，求z的最大值．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】转化思想；分类法；不等式的解法及应用．【分析】（1）由条件原不等式变为|a|+|a+1|＜3，对a讨论，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab2=a?b?b，运用三元基本不等式，即可得到得到最大值；方法二、由条件可得a=9﹣2b，求得b的范围，求出z关于b的函数，求出导数，单调区间，可得极大值，且为最大值．【解答】解：（1）由a+2b=9得a=9﹣2b，即|a|=|9﹣2b|，若|9﹣2b|+|a+1|＜3，则|a|+|a+1|＜3，即有或或，解得0＜a＜1或﹣2＜a＜﹣1或﹣1≤a≤0，解得﹣2＜a＜1，所以a的取值范围为（﹣2，1）；（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab2=a?b?b≤（）3=（）3=33=27，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．方法二、a+2b=9，可得a=9﹣2b，由a＞0，可得0＜b＜，z=ab2=（9﹣2b）b2=9b2﹣2b3，z的导数为z′=18b﹣6b2=6b（3﹣b），可得0＜b＜3，导数z′＞0，函数z递增；3＜b＜时，导数z′＜0，函数z递减．则b=3处函数z取得极大值，且为最大值27．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查基本不等式的运用，注意变形、运用三元不等式，同时考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．20.(12分)已知函数在处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。参考答案：解析：因

而函数在处取得极值2 所以

所以

为所求

（2）由（1）知可知，的单调增区间是所以，

所以当时，函数在区间上单调递增

（3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为：

令，则,

此时，根据二次函数的图象性质知：当时，

当时，所以，直线的斜率的取值范围是21.设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长