2022-2023学年湖南省永州市龚家坪镇第一中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省永州市龚家坪镇第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（

）A.192里 B.48里 C.24里 D.96里参考答案：B【分析】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可得首项，由此可得第三天走的步数。【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，由等比数列的求和公式可得：，解得：，，故答案选B。【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属于基础题。2.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（

）

A．31

B．13

C．41

D．32参考答案：B由三视图知几何体是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为正方形，高为，球心在高的延长线上，球心到底面的距离为，所以，所以，故此几何体外接球的半径为1球的体积，表面积为，所以球的体积与表面积之比为，故选B．点睛：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，由三视图可以看出，几何体是正四棱锥，求出高，设出球心，通过勾股定理求出球的半径，再求球的体积、表面积，即可求出球的体积与表面积之比.

3.函数y=+1（x≥1）的反函数是（

）A．y=x2－2x+2（x＜1

B．y=x2－2x+2（x≥1C．y=x2－2x（x＜1

D．y=x2－2x（x≥1参考答案：答案：B4.是方程的两个不等的实数根，且点在圆上，那么过点和的直线与圆的位置关系（

）相离

相切

相交

随的变化而变化参考答案：A5.设f(x)为R上的奇函数，满足，且当时，，则(

)A. B.C. D.参考答案：A【分析】由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值.【详解】由得：关于对称又为上的奇函数

是以为周期的周期函数且故选：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.6.已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C7.tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+参考答案：D因为化简可得

8.1．函数的定义域是()A．(3，＋∞)

B．[3，＋∞)C．(4，＋∞)

D．[4，＋∞)参考答案：D.y＝的定义域满足解这个不等式得x≥4.9.长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，则侧棱AA1的长的最小值为(

)A．aB．2aC．3aD．4a参考答案：B考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+a2=0，由此利用根的判别式能求出侧棱AA1的长的最小值．解答： 解：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴2a2+t2+a2+（x﹣t）2=a2+x2，整理，得：t2﹣xt+a2=0，∵在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣4a2≥0，解得x≥2a．∴侧棱AA1的长的最小值为2a．故选：B．点评：本题考查长方体的侧棱长的最小值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式的合理运用．10.将函数图象上每一点的缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，令，求得，可得函数的增区间为，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线与曲线：，则曲线恒过定点

；若曲线与曲线有4个不同的交点，则实数的取值范围是

．参考答案：，.试题分析：由题意得，直线恒过定点，故过定点，显然直线与圆有公共点，，∴问题等价于直线与圆相交，且不过点，∴，∴实数的取值范围是，故填：，.考点：1.直线方程；2.直线与圆的位置关系.12.在底面是边长为的正方形的四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则________．参考答案：【分析】设，为，的中点，先求出四棱锥内切球的半径，再求出外接球的半径，即得解.【详解】如图，，为，的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，，即为与所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，所以可得，设为外接球球心，在中，，解得，，故答案为：.【点睛】本题主要考查多面体与球的内切和外接问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知函数，若f（a）=3，则a＝＿＿＿＿·参考答案：-314.某程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出的结果是

．参考答案：127略15.若椭圆和双曲线有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，则的值是

参考答案：m-a略16.如图是200辆汽车经过某一雷达地区运行时速的频率直方图，则时速超过60km/h的汽车约为________________辆。

参考答案：答案：5617.某程序框图如右图所示，若,则该程序运行后，输出的值为

;参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，在点上，过点做//将的位置（），使得.(1)求证：.

（2）试问：当点上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．参考答案：（1）在中，又平面PEB.又平面PEB,………………5分（2）解法一：过P作PQBE于点Q，垂足为Q；过Q作QHFC，垂足为H。则即为所求二面角的平面角。……………8分设PE=x，则EQ=，PQ=，………………10分QH=，…………………12分故，……………………13分，即二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值……14分解法二：在平面PEB内，经P点作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,EFPD.PD面BCEF.在面PEB内过点B作直线BH//PD,则BH面BCFE.以B点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.………………6分设PE=x（0＜x＜4）又[/]在中，………………………8分从而

设是平面PCF的一个法向量，由得取得是平面PFC的一个法向量.…………………11分又平面BCF的一个法向量为………………12分设二面角的平面角为，则ks5u因此当点E在线段AB上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值[ht……………14分19.济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设表示前年的纯收入.（=前年的总收入-前年的总支出-投资额）(Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？(Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？参考答案：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为，设.

(Ⅰ）获取纯利润就是要求，故有，解得.又，知从第三年开始获取纯利润.

(Ⅱ）①年平均利润，当且仅当时取等号.故此方案获利（万元），此时.

②，当时，.故此方案共获利1280+160=1440（万元）.

比较两种方案，在同等数额获利的基础上,第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案.

20.（本题15分）在中，内角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设边的中点为，，求的面积．参考答案：（Ⅰ）由，得，

又，代入得，由，得，

，

得，

（Ⅱ），

，，则

21.(本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，，，．（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值的大小；

参考答案：解法一（1）取的中点，连结、．因为∥，∥，所以∥．又因为，，所以．所以四边形是平行四边形，∥．…………分在等腰中，是的中点，所以．因为平面，平面，所以．而，所以平面．又因为∥，所以平面．

……………分（2）因为平面，平面，所以平面平面．过点作于，则平面，所以．过点作于，连结，则平面，所以．所以是二面角的平面角．……………分在中，．因为，所以是等边三角形．又，所以

，．在中，．所以二面角的余弦值是．……………分解法二

（1）因为平面，∥，所以平面．故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是，，，，，．

……分

所以，，．因为，，所以，．而，所以平面．

……分（2）由（Ⅰ）知，，，．设是平面的一个法向量，由

得即．取，则．设是平面的一个法向量，由

得即．取，，则．…分∵二面角为锐二面角，设二面角的大小为，则．