四川省成都市开发区实验高级中学2022年高三数学理模拟试题含解析

四川省成都市开发区实验高级中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为（）A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣参考答案：A【考点】几何概型．【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S三角形=×4=．满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1﹣．故选：A．2.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞,0)上单调递增的函数是

（

）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：A：函数为偶函数，在上单调递减，B：函数为偶函数，在上单调递减，C：函数为偶函数，在上单调递增，D：函数为奇函数．所以综上可得：C正确．考点：函数奇偶性、函数的单调性．3.已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b参考答案：A【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的性质判断a，b的关系，指数幂化为根式，判断a，c即可．【解答】解：∵a=，b=，＞，∴a＞b，又a==，c=，故a＜c，故c＞a＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数函数的性质，考查指数幂和根式的互化，是一道基础题．4.定义运算，则函数的图象是（

）参考答案：A5.设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80参考答案：D【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果．【解答】解：∵a=dx=lnx=lne2﹣ln1=2﹣0=2，∴（x2﹣）5=（x2﹣）5的展开式的通项公式为：Tr+1=?x2（5﹣r）?=?（﹣2）r?x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴（x2﹣）5的展开式中含x项的系数为?（﹣2）3=﹣80．故选：D．6.已知，则向量与向量的夹角是（

）A． B． C． D．

参考答案：C略7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.数列中，已知对任意,，则___________________.参考答案：试题分析：记数列的前项和为，则，当时，=；当时，，满足上式，故，所以数列是等比数列，且公比为3，数列也是等比数列，且公比为9，首先为4，所以.考点：等比数列的前n项和.

9.设，则的图像的一条对称轴的方程是A.

B.

C.

D.

参考答案：B由得，,所以当时，对称轴为，选B.10.已知函数满足，，则的零点个数最多有

A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则?=．参考答案：6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先画出图形，结合条件及图形即可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：如图，===；∴==6．故答案为：6．12.（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于

．参考答案：0考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：令x=1，即可得到展开式中所有项的系数之和．解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0．故答案为：0．点评：本题考查了利用赋值法求二项展开式系数的应用问题，是基础题目．13.定义在R上的偶函数对任意的有，且当[2，3]时，．若函数在(0，+∞)上有四个零点，则a的值为

．参考答案：14.已知函数（）的部分图象如上图所示，则的函数解析式为

▲

．参考答案：略15.若||=2，||=，与的夹角为45°，要使k—与垂直，则k=

.参考答案：216.我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为．参考答案：y=13×1.01x，x∈N*【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】原来人口约13亿，依次写出一年后的人口，二年后的人口，归纳得出经过x年后我国人口数函数解析式．【解答】解：原来人口约13亿，一年后的人口约：13×（1+1%），二年后的人口约：13×（1+1%）×（1+1%）=13×（1+1%）2，等等，依此类推，则函数解析式y=13×1.01x，x∈N*．故答案为：y=13×1.01x，x∈N*【点评】此类题，常可构建函数y=N（1+p）x，这是一个应用范围很广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口数量等方面都涉及到此式，p＞0，表示平均增长率，p＜0，表示减少或折旧率．17.在等差数列{an}中，若a4+a8=8，a7+a11=14，ak=18，则k=20；数列{an}的前n项和Sn=

．参考答案：【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知列式求出等差数列的公差，再由通项公式结合ak=18求得k值；求出首项，由等差数列的前n项和求得Sn．【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=8，得2a6=8，∴a6=4，由a7+a11=14，得2a9=14，∴a9=7．则公差d=，由ak=a6+（k﹣6）d=4+k﹣6=18，得k=20；a1=a6﹣5d=4﹣5=﹣1，∴．故答案为：20；．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，，，，，，分别是，的中点.（1）证明：；（2）证明：.参考答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.考点：线面平行线面垂直的判定与性质定理等有关知识的综合运用．19.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.（1）若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．参考答案：略20.已知椭圆的离心率，抛物线的焦点恰好是椭圆短轴的一个端点.直线：与抛物线相交于，分别以为切点作抛物线的两条切线交于点（I）求椭圆的方程；（II）若交点在椭圆上，证明：点在定圆上运动；并求的最大时，直线的方程.参考答案：（1）.易知抛物线的焦点坐标由题意得：

解得：

所以椭圆的方程：

（2）.设由得：

可得切线方程：，同理切线方程：，联立方程可以解得点的坐标又消元得：由韦达定理得：所以点的坐标可化为而点在椭圆上，所以。所以点在单位圆上。而点到直线的距离即当时取最大值。此时，所以直线的方程为 21.（1）求证：对于任意实数x，y，z都有.（2）是否存在实数，使得对于任意实数x，y，z下式恒成立？试证明你的结论.参考答案：（1）由均值不等式，，，.故.（2）上式恒成立当且仅当且.化简得且.显然，满足要求.22.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，，过顶点A，C1的平面与棱BB1，DD1分别交于M，N两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形AMC1N是平行四边形；（2）求证：AM与AN不垂直；（3）若平面AMC1N与棱BC所在直线交于点P，当四边形AMC1N为菱形时，求PC长.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.【详解】（1）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形；（2）因为，两点不在棱端点处，所以