新湘教版高中数学选择性必修·第二册3.3正态分布 课件（共24张PPT）

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3．3正态分布

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

教材要点

要点一正态曲线与正态分布

函数p(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0，μ∈R)为参数，p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.此时我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～________．

批注概率密度曲线能反映随机变量X的取值规律以及它取值在某个区间的概率，它所起到的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的．

N(μ，σ2)

要点二正态分布密度曲线的特点

1．曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

2．曲线是单峰的，它关于直线________对称；

3．p(x)在________处达到最大值；

4．当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

5．σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡；

6．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于________．

x＝μ

x＝μ

1

要点三正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．

批注特别地，数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布为标准正态分布．

要点四正态变量在三个特殊区间内取值的概率

1．P(μ－σ5)，则μ＝________．

2

解析：因为P(X5)，故μ＝＝2.

题型探究·课堂解透

题型1正态曲线的应用

例1已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．

(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；

(2)求出总体随机变量的期望与方差．

解析：(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝8000对称，最大值为，

所以μ＝8000，

由＝，解得σ＝500，

所以概率密度函数的解析式为P(x)＝＝，x∈(－∞，＋∞)，

(2)则总体随机变量的均值为8000，方差为250000.

方法归纳

正态密度函数解析式的求法

利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．

巩固训练1(多选)某市高二期末质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是()

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中

D．甲、乙、丙的总体的平均数相同

答案：AD

解析：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.

题型2正态分布的概率计算

例2设X～N(1，22)，试求：

(1)P(－1＜X≤3)；

(2)P(3＜X≤5)．

解析：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.

(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.

(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)

＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]

＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]

≈(0.9545－0.6827)＝0.1359.

方法归纳

正态总体在某个区间内取值概率的求解策略

巩固训练2在某次测验中，测验结果ξ服从正态分布N(80，σ2)．若P(ξ>90)＝0.2，则P(7090)－P(ξ<80)]

＝2(1－0.2－0.5)

＝0.6.

题型3正态分布在实际生活中的应用

例3某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：

979798102105107108109113114

设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.

(1)求μ与σ；

(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．

①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E(4X＋3)；

②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118.以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，0.99734≈0.99.

解析：(1)μ＝(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6.

(2)①∵Z服从正态分布N(105，36)，

∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－＝0.00135，则X～B(5，0.00135)，

∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.00135＋3＝3.027.

②∵Z服从正态分布N(105，36)，

∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973，

∴5个零件中恰有一个内径不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率为×(1－0.9973)＝0.013355，

∵86[87，123]，∴试生产的5个零件就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内，

出现的频率是0.013355的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．

方法归纳

正态曲线的应用及求解策略

解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．

巩固训练3在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．

(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？

(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？

附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.

解析：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，则

P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)]＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝×(1－0.955)＝0.0225，

16÷0.