新教材人教A版5.4.2正弦函数余弦函数的性质(一)课件（35张）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)【情境探究】如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟?你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次,如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几?你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢?必备知识生成继续探究:问题1.观察f(x)的部分图象,思考下列问题:

(1)观察图形,函数图象每相隔多少个单位重复出现?提示:每相隔1个单位重复出现.(2)由诱导公式一:结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的?提示:自变量x增加2π的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化.问题2.观察正弦曲线和余弦曲线,回答下面的问题.正弦曲线余弦曲线(1)观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性?提示:y=sinx,x∈R的图象关于原点对称,y=cosx,x∈R的图象关于y轴对称.(2)上述特征反映出正、余弦函数的什么性质?提示:上述特征反映出正弦函数y=sinx是奇函数,余弦函数y=cosx是偶函数.【知识生成】对于函数f(x),如果存在一个_____常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有____________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数,那么这个_____正数称为函数f(x)的最小正周期,简称周期.非零f(x+T)=f(x)最小最小3.正弦、余弦函数的周期性正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数,_____(k∈Z,且k≠0)都是它们的周期.最小正周期为____.正弦函数是___函数;余弦函数是___函数.2kπ2π奇偶关键能力探究探究点一三角函数的周期性【典例1】求下列函数的最小正周期.f(x)=sin(x∈R).【思维导引】根据诱导公式一,因为sin(2π+z)=sinz,所以f(2π+z)=f(z),推导函数的周期.【解析】方法一:令z=2x+,因为x∈R,所以z∈R.函数f(x)=sinz的最小正周期是2π,即变量z只要且至少要增加到z+2π,函数f(x)=sinz(z∈R)的值才能重复取得.而z+2π=2x++2π=2(x+π)+,所以自变量x只要且至少要增加到x+π,函数值才能重复取得,所以函数f(x)=sin(x∈R)的最小正周期是π.方法二:f(x)=sin的最小正周期为=π.【类题通法】求函数周期的方法(1)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),可利用T=来求.(2)定义法:利用周期函数的定义求函数的周期.【定向训练】求下列函数的最小正周期:

【解析】(1)函数y=1-2sin(4x),所以函数的最小正周期

(2)函数y=2sin中ω=-,由T=,得最小正周期T==5π.(3)最小正周期T==3.【补偿训练】函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π,则ω=________.

【解析】因为=π(ω>0),所以ω=2.答案:2探究点二三角函数奇偶性的判断【典例2】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx.(2)f(x)=sin.(3)f(x)=.【思维导引】先求函数的定义域,判断函数定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,最终确定奇偶性.【解析】(1)函数的定义域为R.因为f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)f(x)=sin=-cos,x∈R.因为f(-x)=-cos=-cos=f(x),所以函数f(x)=sin是偶函数.(3)函数应满足1+sinx≠0,则函数f(x)=的定义域为.显然定义域不关于原点对称,故函数f(x)=为非奇非偶函数.注:此题极易通过化简整理为f(x)=sinx,而疏忽sinx≠-1判定为奇函数.【类题通法】判断函数奇偶性的思路【定向训练】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=cos+x2sinx.(2)f(x)=【解析】(1)f(x)=sin2x+x2sinx,因为x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin2x-x2sinx=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)由得cosx=.所以f(x)=0,x=2kπ±,k∈Z.所以f(x)既是奇函数又是偶函数.【补偿训练】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcos(π+x).(2)f(x)=sin(cosx).【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.因为f(x)=xcos(π+x)=-xcosx,所以f(-x)=-(-x)·cos(-x)=xcosx=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,所以f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x),所以f(x)为偶函数.探究点三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用【典例3】1.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是()A.y=cos|2x| B.y=|sin2x|C.y=sin D.y=cos2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sinx,则等于 ()

【思维导引】1.先判断选项A,B中的函数的奇偶性,化简选项C,D中函数的解析式,再判断奇偶性、周期性.2.先依据f(x+π)=f(x)化简;再依据f(x)是偶函数和x∈时,f(x)=sinx求值.【解析】1.选D.y=cos|2x|是偶函数,y=|sin2x|是偶函数,y==cos2x是偶函数,y=cos=-sin2x是奇函数,根据公式得其最小正周期T=π.2.选D.【类题通法】(1)利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.(2)判断y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具有奇偶性的关键判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinωx(Aω≠0)或y=Acosωx(Aω≠0)其中一个.【定向训练】若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sinx,求当x<0时f(x)的解析式.【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x-sinx(x<0).【课堂小结】课堂素养达标1.函数f(x)=2cos2x的最小正周期是 ()【解析】选C.函数f(x)=2cos2x的最小正周期是T==π.2.函数f(x)=xsinx ()【解析】选B.函数的定义域为R,且满足f(-x)=(-x)sin(-x)=x·sinx=f(x),所以f(x)=xsinx是偶函数.3.已知定义在R上的函数f(x)是周期函数,且满足f(x-a)=-f(x)(a>0),则函数f(x)的最小正周期为________.

【解析】因为f(x-a)=-f(x),所以f(x+a-a)=-f(x+a)⇒f(x)=-f(x+a