人教A版高中数学必修同步解三角形-导学课件2

1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例——距离问题

1.基线的概念与选择原则(1)基线的定义:在测量上,根据测量需要适当确定的线段.(2)选择基线的原则:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度,一般来说,基线越长,测量的精确度越高.【思考】用正弦定理、余弦定理解三角形时,可以不知道边的长度解三角形吗?提示:不可以.用正弦定理、余弦定理解三角形的类型有:知两角一边解三角形、知两边及其夹角解三角形、知两边及其一边的对角解三角形、知三边解三角形,必须知道至少一条边的长度.2.方位角和方向角(1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角.如图(1)目标A的方位角为135°.(2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图(2),北偏东30°,南偏东45°.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同.

(

)(2)东偏北45°的方向就是东北方向. (

)

(3)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解. (

)(4)如图所示,为了测量隧道AB的长度,可测量数据a,b,γ进行计算. (

)提示:(1)√.(2)√.由方向角的定义可知.(3)√.可由正弦定理解三角形求解.(4)√.由余弦定理可求出AB.2.某次测量中,A在B的北偏东55°,则B在A的 (

)

A.北偏西35° B.北偏东55°C.南偏西35° D.南偏西55°【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示α=55°,则β=α=55°.所以B在A的南偏西55°.答:C、D两岛间的距离为12海里.由题意得∠ACB=120°,在△DBC中,由余弦定理得正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的答:目标C,D之间的距离为50米.可由正弦定理解三角形求解.在△ABC中由余弦定理得因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.-2A1B1·A1B2cos45°(2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.(2)测基线长及视角.从而有MB=MC-BC=15.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,所以t=或t=-(舍去).(2)由(1)题设,AE=20-2t,AF=4t,【解析】因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,∠ABC=90°+30°=120°,用正弦定理求距离问题的策略类型一用正弦定理(或余弦定理)求距离(3)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 (

)A.akm B.akmC.akm D.2akm【解析】选B.由题意得∠ACB=120°,AB2=a2+a2-2a2cos120°=3a2,所以AB=a.4.如图,在某地震灾区的搜救现场,一条搜救犬从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象,然后向右转105°,行进10m到达C处发现另一个生命迹象,这时它向右转135°后继续前行回到出发点,那么x=______m.

【解析】由题意∠CBA=75°,∠BCA=45°,所以∠BAC=180°-75°-45°=60°,因为所以x=(m).答案:

类型一用正弦定理(或余弦定理)求距离【典例】1.某同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是 (

)

A.2

km B.3

km C.3

km D.2

km2.如图,甲船以每小时30

海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行

20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10

海里,问乙船每小时航行多少海里?【思维·引】1.根据题意画出示意图,标出已知角的大小和边的长度,选择恰当的方法求解;2.连接A1B2,先解△A1A2B2,再解△A1B2B1.【解析】1.选B.在△ABS中,由条件知A=30°,∠ABS=105°,AB=24×=6(km),所以S=180°-30°-105°=45°,由正弦定理得

所以BS=3(km).2.如图连接A1B2,A2B2=10,A1A2=△A1A2B2是等边三角形,∠B1A1B2=105°-60°=45°,在△A1B2B1中,由余弦定理得-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10)2-2×20×10×=200,B1B2=10.因此乙船的速度的大小为×60=30(海里/时).答:乙船每小时航行30海里.【内化·悟】测量距离问题的关键是什么?提示:选择基线,确定能够测量的量(角度和距离)构造三角形,判断题型,选择恰当的定理求解.

【类题·通】1.用正弦定理求距离问题的策略(1)找基线.根据题意找出哪些线段的长度可以求出,这样的线段在哪些三角形中.(2)测基线长及视角.注意根据平面几何知识推出有关角的大小.(3)用正弦定理求解两点间的距离.特别提醒:求距离问题要注意的两点:(1)基线的选取要准确恰当.(2)选定或创建的三角形要确定.2.用余弦定理求距离问题的策略(1)总体思路实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解.(2)方程思想的应用设出未知量,从几个三角形中用余弦定理列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【习练·破】1.如图,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行,为了确定货轮的位置,货轮在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行

h到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是(

)A.10km

B.10km

C.15km

D.15km【解析】选B.在△ABC中,BC=40×=20(km),∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,所以A=180°-(30°+105°)=45°.由正弦定理,得AC=2.(2019·龙岩高一检测)如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°;从B处攀登4千米到达D处,回头看索道AC,发现张角∠ADC=150°;从D处再攀登8千米到达C处,则索道AC的长为______

千米.

【解析】因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=180°-120°-30°=30°,得△ABD中,AB=BD=4千米,AD=4千米,在△ADC中,DC=8千米,∠ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=42×3+82-2×4×8×cos150°=208(千米2),所以AC=4千米.答案:4

【加练·固】1.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A,B间的距离为 (

)

A.500米 B.600米 C.700米 D.800米【解析】选C.由题意,△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得:AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,所以AB=700米.2.一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在货轮的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向.若货轮的速度为30nmile/h,当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时,求A,D两处的距离.【解析】如图所示,在△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=90°+30°=120°,所以∠ACB=180°-45°-120°=15°,AB=30×0.5=15(nmile),则由正弦定理,得又因为sin15°=,sin120°=所以AC=×15(nmile).在△ACD中,因为∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD=AC=15(3+)(nmile).答:A,D两处的距离为15(3+)nmile.类型二正弦定理与余弦定理综合应用求距离【典例】(2019·汉中高二检测)为了更好地掌握有关飓风的数据资料,决定在海上的四岛A、B、C、D建立观测站,已知B在A正北方向15海里处,C在A的东偏北30°方向,又在D的东北方向,D在A的正东方向,且BC相距21海里,求C、D两岛间的距离. 世纪金榜导学号【思维·引】根据题意结合图形,在△ABC中由余弦定理求得AC的值,在△ADC中由正弦定理求得CD的值.【解析】由已知得A、B、C、D四岛的位置如图所示,设A、C两岛相距x海里.因为C在A的东偏北30°方向,所以∠BAC=60°.在△ABC中由余弦定理得212=152+x2-2×15xcos60°,化简得x2-15x-216=0,解得x=24或x=-9(舍去).又因为C在D的东北方向,所以∠ADC=135°,在△ADC中,由正弦定理得所以CD=答:C、D两岛间的距离为12海里.【内化·悟】综合应用正弦定理与余弦定理解应用题的关键是什么?提示:关键是认真审题,找到“基线”所在三角形,选准解题的突破口,设计好解题思路.【类题·通】1.正弦定理与余弦定理交汇求距离的两个关键点(1)画示意图,弄清题目条件根据题意画图研究问题中所涉及的三角形,它的哪些元素是已知的,哪些元素是未知的.(2)选准入手点找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三角形”,并判断是选用正弦定理,还是选用余弦定理求解.2.解三角形应用问题的四个步骤【习练·破】某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.则汽车到达M汽车站还需行驶______

千米.

【解析】由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处.在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cosC=则sin2C=1-cos2C=,sinC=所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=在△MAC中,由正弦定理,得MC=从而有MB=MC-BC=15.故汽车到达M汽车站还需行驶15千米.答案:15【加练·固】1.如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+

)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20

海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里每小时,该救援船到达D点至少需要______

小时.

【解析】由题意知AB=5(3+),∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,所以∠ADB=105°,所以sin105°=sin45°cos60°+sin60°cos45°=在△ABD中,由正弦定理得

所以BD=

又∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=20,在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BCcos60°=300+1200-2×10×20×=900.所以CD=30(海里),则至少需要的时间t==1(小时).答案:12.一条河自西向东流淌,某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在东偏北45°和东偏北60°方向,此人向东走300米到达B处之后,再看C,D,则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.【解析】由题意得,在△ABD中,因为∠DAB=60°,∠DBA=30°,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,因为AB=300,所有BD=300·sin60°=150.在△ABC中,因为∠CAB=45°,∠ABC=75°,所以∠ACB=60°.由正弦定理得所以BC=在△BCD中,因为BC=100,BD=150,∠CBD=45°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=37500,所以CD=50.答:目标C,D之间的距离为50米.类型三函数与方程思想在距离问题中的应用【典例】(2019·渭南高二检测)已知海岛B在海岛A北偏东45°,且与A相距20海里,物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动,同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动.(1)求经过多长时间,物体甲在物体乙的正东方向;(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中,甲乙两物体的最短距离. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)画出物体甲在物体乙的正东方向时的示意图,由正弦定理可解得;(2)由余弦定理及配方法可求得最小值.【解析】(1)设经过t(0<t<10)小时,物体甲移动到E的位置,物体乙移动到F的位置,如图所示:物体甲与海岛A的距离为AE=20-2t海里,物体乙与海岛A距离为AF=4t海里,当甲在乙正东方时,∠AFE=75°,∠AEF=45°,在△AEF中,由正弦定理得即,则t=20-10.答:经过(20-10)小时,物体甲在物体乙的正东方向.(2)由(1)题设,AE=20-2t,AF=4t,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=(20-2t)2+(4t)2-2×(20-2t)×4t×

由0<t<10,得当t=时EFmin=海里.答:甲乙两物体之间的距离最短为海里.【素养·探】在用函数与方程思想解答测量距离问题时,经常利用核心素养中的数学建模,在实际情境中从数学的视角分析问题、建立模型、确定参数、计算求解.培养用数学模型解决实际问题的能力.将本例的条件“与A相距20海里”改为“与A相距10海里”,“4海里/小时”改为“2海里/小时”,其他条件不变,如何解答?【解析】(1)设经过t(0<t<5)小时物体甲处于物体乙的正东方向,则甲与A距离为AE=(10-2t)海里,乙与A距离为AF=2t海里,∠AEF=45°,∠EFA=75°,则由正弦定理得则t=答:经过小时,物体甲处于物体乙的正东方向.(2)由(1)题设,AE=10-2t,AF=2t,由余弦定理得:EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=(10-2t)2+(2t)2-2×(10-2t)×2t×=12+25,由0<t<5得当t=时,EFmin=5海里.答:甲乙两物体之间的距离最短为5海里.【类题·通】函数与方程思想在距离问题中的应用(1)函数思想的应用将三角形中边角之间的关系问题借助正弦定理和余弦定理建立函数关系,结合有关函数的图象和性质,加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.

(2)方程思想的应用正弦定理和余弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的