趣味组合数学和几何“衡水赛”一等奖

第三讲趣味几何选修课：趣味几何1）找次品2）抽屉原理3）斐波那契数列4）黄金分割5）经济包装6）哥德堡七桥问题1)称次球27只球中有一只次品，这只次品外观上与正品毫无差别，只是略轻一些，现有一架天平，要把次球找出来，至少需要称几次？（1）现将27只球分成3堆，一堆9个，称其中2堆，如果一样重，则次品在另一堆，否则在轻的一堆。（2）将有次品的一堆分成三堆，一堆3个，按上面的方法称一次，找出有次品的一堆。（3）将有次品的一堆3个，拿2个来称，就能找出次品了。2）检查次钢珠某店进了十箱钢珠，根据标准，每颗10克。但后来知道，其中一箱为次品。次钢珠的外观与正品毫无差别，只是每颗少了1克。问怎样才能迅速简便把这箱珍珠找出来？

边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过1/8.7）正方形的面积解：将边长为1的正方形等分成边长为的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，据形式2，必有三点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论.把落在这个正方形中的三点记为D、E、F.通过这三点中的任意一点（如E）作平行线，如图可知：×h＋＝＝S△DEF＝S△DEG＋S△EFG≤EDFG魔术师的地毯

一日，魔术师拿着一块8×8米的正方形地毯到裁缝店，要求把它改成13×5米的长方形地毯。

裁缝师心里暗笑，这家伙是不是连小学都没毕业，这么简单的数学题都不会,8×8=64，而13×5=65，面积相差1平方米，怎么可能改呢？面积少了1面积多了1黄金分割的应用什么是黄金分割？黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。黄金分割是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1。什么是黄金分割？形成任何稳定的粒子总要遵循自然界最佳黄金分割原理。该原理有一个经典的方程式：（1+X）（1-X）＝X

从中解出最佳分割解X＝0.618，1-X=0.382。其中0.382是最基本的分割，不能再少了。

这就是黄金分割原理的实质数学中的应用五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的日常生活中的应用黄金矩形(GoldenRectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍。我们的国旗就是黄金矩形。日常生活中的应用根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗、火柴盒、标准纸张等，其短边与长边之比大多为0.618。建筑中的应用世界上最有名的建筑中几乎都包含“黄金分割比”。建筑中的应用无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的固态建筑还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面都有意无意的运用了黄金分割法则，给人以整体上的和谐与悦目之美。自然中的应用就连植物界也采用黄金分割，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°这是按照黄金分割的规律排列着的。很多叶子的主叶脉与整个叶子长度之比约为0.618。自然中的应用动物界，形体优美的动物形体，如马、骡、狮、虎、豹、犬等，凡是看上去健美的，其身体的长与宽的比例也大体上接近黄金分割。蝴蝶身长与双翅展开后的长度纸币也接近0.618。自然中的应用人体中的应用人们发现，在人体中包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”、15个“黄金矩形”、6个“黄金指数”、3个“黄金三角”。人体中的应用

※人的肚脐位于身长的0.618处※咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处※膝关节位于肚脐与足底长度的0.618※肘关节位于肩关节与指头长度的0.618处生命中的应用在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”。它的每个双螺旋构中都是由长34个埃与宽21个埃之比组成的它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.618。艺术中的应用著名油画《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的头和肩在整幅画面中完美的体现了黄金分割，使得整幅油画看起来那么和谐和完美。艺术中的应用另一些著名油画中也都存在着完美的“黄金矩形”、“黄金三角”、“黄金五角星”，使画面看起来和谐。艺术中的应用音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。小说、戏剧的高潮在整个作品的0.618处较好。武器中的应用当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。1）经济包装12）经济包装21）蜘蛛抓苍蝇2）蚂蚁找路径有一个铁丝做成的长方体框架的长、宽、高分别为5厘米，3厘米，4厘米，如下图所示。一只蚂蚁从某个顶点出发地沿棱爬行，线路不能重复，它能爬行的最长距离为多少厘米？5×4+4×4+3=39厘米哥德堡七桥问题在欧洲的普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛，普里格尔河蜿蜒其间，河岸与岛屿间有七座桥相连，在18世纪，有人提出：能否不重复地一次接连通过每座桥？欧拉：“一笔画图”的规律规律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关，其个数是0或2.让我们先来了解两个新概念1、奇点：有奇数条边相连的点2、偶点：有偶数条边相连的点怎样走才能不重复不遗漏地逛完整个超市？家电区蔬菜区水果区零食区日常用品区服装区文具区下面是一公园的平面图，要使游客走遍每一条路，且不重复，问出入口应设在哪里？2）公园出入口甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点)。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？3）邮递员送信14）邮递员送信2

下图为邮递员负责的邮区