西交《线性代数》在线作业(资料答案)

西交《线性代数》在线作业(资料答案)

1.设矩阵$A,B,C,X$为同阶方阵，且$A,B$可逆，$AXB=C$，则矩阵$X=A^{-1}CB^{-1}$。2.设$A$是$n$阶方阵，若对任意的$n$维向量$x$均满足$Ax=0$，则$A^2=0$。3.$n$阶矩阵$A$具有$n$个不同的特征值是$A$与对角矩阵相似的充分而非必要条件。4.设向量组$a_1,a_2,a_3$线性无关，则下列向量组中线性无关的是$a_1,a_2,a_3+a_1$。5.设$A$为三阶方阵，且$|A|=2$，$A^*$是其伴随矩阵，则$|2A^*|=32$。6.设$A,B$均为$n$阶方阵，则等式$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$成立的充分必要条件是$AB=BA$。7.设$A_{3\times2},B_{2\times3},C_{3\times3}$，则下列运算有意义：$BC$。8.设二阶矩阵$A$与$B$相似，$A$的特征值为$-1,2$，则$|B|=-2$。9.设向量组$a_1,a_2,a_3$线性无关，则下列向量组中线性无关的是$a_1,a_2,a_3+a_1$。10.设$A$为三阶方阵，$|A|=2$，则$|2A-1|=4$。11.设某$3$阶行列式$|A|$的第二行元素分别为$-1,2,3$，对应的余子式分别为$-3,-2,1$，则此行列式$|A|=-10$。12.设$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$是四维向量，则$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$一定线性相关。1.已知非齐次线性方程组Ax=b有解，且它的一个特解为x0，则Ax0=b。答案：True。2.若矩阵A可逆，则Ax=b的解为x=A-1b。答案：True。3.若矩阵A、B都是n阶方阵，则AB和BA的特征值相同。答案：True。4.若矩阵A是对称矩阵，则A一定是可逆矩阵。答案：False。5.若矩阵A的秩为r，则Ax=b有解当且仅当b在A的列空间内。答案：True。6.若矩阵A的秩为r，则Ax=b的解空间的维数为n-r。答案：True。7.若矩阵A、B都是n阶对称矩阵，则AB一定是对称矩阵。答案：True。8.若矩阵A是正定矩阵，则A的特征值均为正数。答案：True。9.若矩阵A的秩为r，则A的列空间的维数为r。答案：True。10.若矩阵A的秩为r，则A的行空间的维数为r。答案：True。11.若矩阵A的秩为r，则A的零空间的维数为n-r。答案：True。12.若矩阵A、B都是n阶对称矩阵，则AB一定是正定矩阵。答案：False。13.设u1、u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1-c2u2是其导出组Ax=0的解，则有c1+c2=1。答案：False。修改后的答案：13.设u1、u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1-c2u2是其导出组Ax=0的解，则有c1=c2。14.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是各阶顺序主子式均为正数。答案：True。15.用一初等矩阵左乘一矩阵B，等于对B施行相应的行变换。答案：True。16.若n阶矩阵A、B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则A与B相似。答案：True。17.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，D的值为-3。答案：True。18.设A为n阶方阵，r(A)<n，则Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量。答案：True。19.设u1、u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1+c2u2也是方程组Ax=b的解，则有c1+c2=1。答案：True。20.设三阶矩阵A的特征值为1、1、2，则2A+E的特征值为3、3、5。答案：True。21.设A、B、C均为n阶非零方阵，则|ABC|=|A||B||C|。答案：True。22.设λ是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ的线性无关的特征向量的个数为k，则必有k≤3。答案：True。23.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0，则r(A)=n。答案：False。修改后的文章：1.已知非齐次线性方程组Ax=b有解，且它的一个特解为x0，则Ax0=b。2.若矩阵A可逆，则Ax=b的解为x=A-1b。3.若矩阵A、B都是n阶方阵，则AB和BA的特征值相同。4.若矩阵A是对称矩阵，则A不一定是可逆矩阵。5.若矩阵A的秩为r，则Ax=b有解当且仅当b在A的列空间内。6.若矩阵A的秩为r，则Ax=b的解空间的维数为n-r。7.若矩阵A、B都是n阶对称矩阵，则AB一定是对称矩阵。8.若矩阵A是正定矩阵，则A的特征值均为正数。9.若矩阵A的秩为r，则A的列空间的维数为r。10.若矩阵A的秩为r，则A的行空间的维数为r。11.若矩阵A的秩为r，则A的零空间的维数为n-r。12.若矩阵A、B都是n阶对称矩阵，则AB不一定是正定矩阵。13.设u1、u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1-c2u2是其导出组Ax=0的解，则有c1=c2。14.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是各阶顺序主子式均为正数。15.用一初等矩阵左乘一矩阵B，等于对B施行相应的行变换。16.若n阶矩阵A、B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则A与B相似。17.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，D的值为-3。18.设A为n阶方阵，r(A)<n，则Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量。19.设u1、u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1+c2u2也是方程组Ax=b的解，则有c1+c2=1。20.设三阶矩阵A的特征值为1、1、2，则2A+E的特征值为3、3、5。21.设A、B、C均为n阶非零方阵，则|ABC|=|A||B||C|。22.设λ是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ的线性无关的特征向量的个数为k，则必有k≤3。23.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0，则r(A)≤n。24.若满足$AB=AC$能推出$B=C$，则$A$应满足$|A|\neq0$且$A^2\neq0$。25.对于$n$阶非零方阵$A,B$，有$|AB|=|A||B|$。26.若$|A+AB|=0$，则$|A|=0$或$|E+B|=0$。27.若$m<n$，则线性方程组$Ax=b$只有零解。28.三阶行列式$D$的值为$8$。29.若有矩阵关系式$AB=AC$，则必有$|A|\neq0$时$B=C$。30.线性方程组$Ax=0$只有零解的充分必要条件是$A$的列向量组线性无关。31.$n$阶对称矩阵$A$正定的充分必要条件是其各阶顺序主子式均为正数。32.三阶实对称矩阵的特征值为$3,3,0$，则其秩为$2$。33.若$Ax=o$有唯一解，则$Ax=b$也有唯一解。34.若矩阵$A$满足$A^2=A$，则$A$不可逆或$A-E$不可逆。35.设$Ax=b$是一非齐次线性方程组，$\eta_1$，$\eta_2$是其任意两个解，则下列结论错误的是：$\eta_1+\eta_2$是$Ax=0$的一个解。36.已知矩阵$A_{3\times2}$，$B_{2\times3}$，$C_{3\times3}$，则$A\cdotB$为$3\times3$矩阵。37.若矩阵$A$可逆，则$AB$与$BA$相似。38.设二阶矩阵$A$与$B$相似，$A$的特征值为$-1$，$2$，则$|B|=3$。39.设$n$元齐次线性方程组$Ax=0$，$r(A)=r<n$，则基础解系含有解向量的个数为$n-r$个。40.$n$阶单位矩阵的特征值都是$1$。41.四阶行列式$D$中第$3$列元素依次为$-1$，$2$，$0$，$1$，它们的余子式的值依次为$5$，$3$，$-7$，$4$，则$D=-20$。42.向量$a=(2,1,3)$的单位化向量为$\frac{1}{\sqrt{14}}(2,1,3)$。43.矩阵$A$是$m\timesn$矩阵，齐次线性方程组$AX=0$只有零解的充要条件是$A$的列向量线性无关。44.设$6$阶方阵$A$的秩为$3$，则其伴随矩阵的秩为$2$。45.设向量$a=(-1,0,1,2)$，$b=(1,0,1,0)$，则$2a+3b=(-1,0,5,6)$。46.向量组$a_1=(1,-1,1)$，$a_2=(2,k,0)$，$a_3=(1,2,0)$线性相关，则$k=-1$。47.