2021-2022学年江苏省常州市新闻中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年江苏省常州市新闻中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.系的纸张规格如图，其特点是：①所有规格的纸张的长宽比都相同；②对裁后可以得到两张,对裁后可以得到两张对裁后可以得到两张,若每平方厘米重量为b克的纸各一张，其中纸的较短边的长为厘米，记这张纸的重量之和为，则下列判断错误的是A.存在 ，使得 B.存在 ，使得 C.对于任意，都有 D.对于任意，都有 参考答案：A【知识点】等比数列及其前n项和.

D3

解析：设每张纸的长宽比为k，则纸的长为ka，则纸的长8a,宽4ka，由，所以的重量为：，而，纸的重量构成以为公比的等比数列，所以，易知当n=0时 ，所以存在 ，使得 ，故选A.【思路点拨】求出纸张的长宽比，判定，纸的重量构成等比数列，利用等比数列的前n项和公式求得，从而确定结论.

2.已知双曲线M：﹣=1和双曲线N：﹣=1，其中b＞a＞0，双曲线M和双曲线N交于A，B，C，D四个点，且四边形ABCD的面积为4c2，则双曲线M的离心率为（）A． B．+3 C． D．+1参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据四边形ABCD的面积为4c2，可得双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b2=c2﹣a2化简整理，得e4﹣3e2+1=0，解之得到双曲线M的离心率．【解答】解：双曲线M：﹣=1和双曲线N：﹣=1，∴两个双曲线的焦距相等，∵四边形ABCD的面积为4c2，∴双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得：=1，去分母，得c2（c2﹣a2）﹣a2c2=a2（c2﹣a2），整理，得c4﹣3a2c4+a4=0，所以e4﹣3e2+1=0，∵e＞1，∴解之得e=，故选C．3.若，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.已知施肥量与水稻产量之间的回归方程为，则施肥量时，对产量的估计值为（

）A．398.5 B．399.5 C．400 D．400.5参考答案：B略5.已知函数f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为（）A． B．C． D．随a的值而变化参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得a值，由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），根据f（x）的单调性可得|x﹣1|＞，再考虑到定义域即可解出不等式．【解答】解：因为f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，所以（a﹣1）+2a=0，解得a=．则f（x）定义域为[﹣，]．由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），又x＞0时，f（x）单调递增，所以|x﹣1|＞①，又﹣≤x﹣1②，联立①②解得x＜或＜x≤，故不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为[，）∪（，]．故选C．6.一组数据的平均数、众数和方差都是2，则这组数可以是（）A．2，2，3，1 B．2，3，﹣1，2，4 C．2，2，2，2，2，2 D．2，4，0，2参考答案：D【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．

【专题】概率与统计．【分析】分别求出四组数据的平均数、众数和方差，由此能求出正确选项．【解答】解：在A中：2，2，3，1的平均数、众数都是2，方差=[（2﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（1﹣2）2]=，故A错误；在B中，2，3，﹣1，2，4的平均数、众数都是2，方差=[（2﹣2）2+（3﹣2）2+（﹣1﹣2）2+（2﹣2）2+（4﹣2）2]=，故B错误；在C中，2，2，2，2，2，2的平均数、众数都是2，方差是0，故C错误；在D中：2，4，0，2的平均数、众数都是2，方差=[（2﹣2）2+（4﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2]=2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查数据的平均数、众数、方差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握基本概念．7.若复数是纯虚数，其中是实数，则= A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.已知函数，其中为常数,那么“”是“为奇函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C9.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.10.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A

【知识点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模F3解析：∵均为单位向量，它们的夹角为60°,∴||=1，||=1，=cos60°,∴||===,故选A．【思路点拨】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______参考答案：(，＋∞)12.直线ax+y-a=0与圆x2+y2=4的位置关系是-----

．参考答案：相交13.椭圆的一个焦点为F，点P在椭圆上，且（O为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率

.参考答案：答案：

14.已知正方形边长为2，是的中点，则

.参考答案：215.对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.参考答案：（1）3；（2）2.（1）观察知；；一次类推；；；，，，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.16.（6分）（2015?丽水一模）设全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x∈R||x﹣a|＞3}，则CUA=[﹣1，3]；若（CUA）∩B=，则实数a的取值范围是．参考答案：[0，2]【考点】：交、并、补集的混合运算；补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求解二次不等式化简A，然后直接求出其补集；求解绝对值的不等式化简集合B，由（CUA）∩B=得到关于a的不等式组求得a的范围．解：A={x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，全集U=R，∴CUA=[﹣1，3]；由B={x∈R||x﹣a|＞3}={x|x＜a﹣3或x＞a+3}，由（CUA）∩B=，得，即0≤a≤2．∴实数a的范围为[0，2]．故答案为：[﹣1，3]；[0，2]．【点评】：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了二次不等式与绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.已知点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是．参考答案：≤a＜1或a≤【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=a，由题意可得1≥≥sin∠MAT，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，∴圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，∴AM=，TM=|a|，∵AM和TM长度固定，∴当T为切点时，∠MAT最大，∵圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴若最大角度大于45°，则圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴=≥sin∠MAT=sin45°=，整理可得a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤，又=≤1，解得a≤1，又点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1综上可得≤a＜1或a≤故答案为：≤a＜1或a≤【点评】本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

己知椭圆的离心率为．（Ⅰ）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；(II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点．

(i)当，求

b的值；

(ii)对于椭圆上任一点M，若，求实数，满足的关系式，参考答案：19.过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点。（1）若切线的斜率分别为，求证：为定值。（2）求证：直线过定点。参考答案：（1）设过与抛物线相切的直线方程为：由，得，因直线与抛物线相切，所以，即，所以，为定值。………5分（2）由（1）可得切点坐标为，即，所以直线的方程为，从而直线过定点。…………10分20.已知数列{}满足，是与的等差中项.（1）求数列{}的通项公式；（2）若满足，

，求的最大值.参考答案：21.民大附中的甲、乙两人同时参加某大学的自主招生，在申请材料中提交了某学科10次的考试成绩（满分100分），按照时间顺序记录如下：（1）根据两组数据画出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人成绩的平均值及分散程度（不要求计算具体值，直接写出结论即可）；（2）现将两人成绩分为三个等级：成绩分数[0，70][70，90][90，100]等级C级B级A级注：A级高于B级，B级高于C级假设两人的成绩相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率为相应事件发生的概率，求甲的等级高于乙的等级的概率；（3）假如你是该大学的招生老师，结合上述数据，决定应录取哪位同学，说明理由．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．【分析】（1）以十位数为茎，个位数为叶，能作出茎叶图，由茎叶图知甲的平均成绩大于乙的平均成绩，甲的离散程度大于乙的离散程度．（2）由已知得甲的10次成绩中，C级有5次，B级有3次，A级有2次，乙的10次成绩中，C级有7次，B级有2次，C级有1次，由此能求出甲的等级高于乙的等级的概率．（3）假如我是该大学的招生老师，结合上述数据，我决定应录取甲同学，理由是同学平均成绩优于乙的平均成绩．【解答】解：（1）以十位数为茎，个位数为叶，作出茎叶图，如下图：由茎叶图知甲的平均成绩大于乙的平均成绩，甲的离散程度大于乙的离散程度．（2）由已知得甲的10次成绩中，C级有5次，B级有3次，A级有2次，乙的10次成绩中，C级有7次，B级有2次，C级有1次，∴甲的等级高于乙的等级的概率p==0.39．（3）假如我是该大学的招生老师，结合上述数据，我决定应录取甲同学，理由是甲同学平均成绩大于乙的平均成绩，且甲同学达到B级和A级成绩标准的次数大于乙同学达到B级和A级成绩标准的次数．22.已知fn（x）=Cn0xn﹣Cn1（x﹣1）n+…+（﹣1）kCnk（x﹣k）n+…+（﹣1）nCnn（x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测fn（x）关于n的表达式，并证明你的结论．参考答案：【考点】数学归纳法；二项式定理的应用．【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3