线线角、线面角,二面角高考立体几何法宝

./线线角、线面角、二面角的求法空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是⑵两个非零向量与平行的充要条件是·=±||||2.向量的数量积公式若与的夹角为θ<0≤θ≤π>,且,,则〔1点乘公式：·=||||cosθ〔2模长公式：则,〔3夹角公式：〔4两点间的距离公式：若,,则,①两条异面直线、间夹角在直线上取两点A、B,在直线上取两点C、D,若直线与的夹角为,则。例1<XX卷>如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是〔 A． B．C． D．〔向量法,传统法例2<2005年全国高考天津卷>如图,平面,且,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：〔1向量法〔2割补法：将此多面体补成正方体,与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小,在Rt△PDB中,即．故填．点评：本题是将三棱柱补成正方体②直线与平面所成的角<重点讲述平行与垂直的证明>图1－2图1－1图1－3可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示,由向量平移得：若时〔图；若时〔图.图1－2图1－1图1－3平面的法向量是向量的一个重要内容,是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：<1>找出<求出>平面内的两个不共线的向量的坐标<2>设出平面的一个法向量为<3>根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组<4>解方程组,取其中的一组解,即得法向量。ABCDEFGxyz1.<线线角,线面角>.在棱长为ABCDEFGxyz〔1求直线所成角；〔2求直线与平面所成的角.BCDPAxyz2.如图,底面为直角梯形,,面,,为的中点,求BCDPAxyz异面直线与所成角的余弦值；直线与面所成角的正弦值；③求二面角的大小1.范围：2.二面角的向量求法：方法一：如图,若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角.ββlα方法二:设是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量与的夹角<或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为,法向量的夹角为.注意:在用向量求二面角的大小时,我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角,但二面角可能是钝角或锐角,因此在求出角后,应判断二面角的大小,再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。ABCPDExyzABCPDExyz1.[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图,四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点．<1>证明：PB∥平面AEC；<2>设AP＝1,AD＝eq\r<3>,三棱锥P­ABD的体积V＝eq\f<\r<3>,4>,求A到平面PBC的距离．2、<2011年高考XX卷理科16>〔本小题满分12分如图：在,沿把折起,使.证明：〔Ⅰ平面；〔Ⅱ设。3、<2011年高考北京卷理科16>〔本小题共14分 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,.<Ⅰ>求证：平面〔Ⅱ若求与所成角的余弦值；4、<2011年高考全国新课标卷理科18><本小题满分12分>如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.<Ⅰ>证明：PA⊥BD；<Ⅱ>若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。直线与平面平行或者垂直〔重点掌握ABCDA111B11C11111D1111ABCDA111B11C11111D1111MN<1>MN//平面ACD1;<2>DB1⊥平面ACD1.2、如图,四棱锥P—ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,E为PC中点．ABCDEP<=1\*ROMANI>求证：CDABCDEP<=2\*ROMANII>求证：BE//平面PAD．3.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心,M为BB1的中点,求证：D1O//平面A1BC1;〔2D1O⊥平面MAC.4.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4,AA1＝4,,点D是AB的中点,求证：〔IAC⊥BC1；〔=2\*ROMANII