六年级奥数一至十讲教案

第页小学六年级奥数教案—01比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不则简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，则这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母及分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子及分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。前一个差比较小，所以m＜n。（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。注意，（2）及（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数及其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习11.比较下列各组分数的大小：答案及提示练习1小学六年级奥数教案—02巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子及分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分析及解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？分析及解：如果把这个分数的分子及分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是及例3类似，可以求出在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，则会怎样呢？数a。分析及解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子及分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子及分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，则差还是45，新分数约分后变例7一个分数的分子及分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，分子及分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到分析及解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加8×2=16。在例8中，分母应加的数是在例9中，分子应加的数是由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。分析及解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）×3=（x+5）×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。练习2是多少？答案及提示练习25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12，a=53-4×12=5。6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。解：设分子为x，根据分母可列方程小学六年级奥数教案—03分数运算技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。1.凑整法及整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。2.约分法3.裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。例7在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。分析及解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的就非常简单了。括号。此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合题意的解。4.代数法5.分组法分析及解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为原式中分母为2～20的分数之和依次为练习38.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。答案及提示

练习31.3。8.2，6，8，12，20，30，42，56。9.5680。解：从前向后，分子及分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人……一般地，分子及分母之和等于n的有(n-1)个。分子及分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个），5671+9=5680（个）。小学六年级奥数教案—05工程问题一顾名思义，工程问题指的是及工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析及解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，则乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了12天。例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析及解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，则完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？分析及解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例5一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，则再过多长时间池内将积有半池水？例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后15分钟两人相遇。练习51.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来及乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。如果要求12时注满水池，则甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从40千米。求甲、乙两地的距离。答案及提示

练习52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8时。提示：甲管12时都开着，乙管开7.280千米。小学六年级奥数教案—06工程问题二上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。例1一项工程，如果甲先做5天，则乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，则乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，则多少天可以完成？分析及解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例2一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后么还要几天才能完成？分析及解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独例3单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，则刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析及解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例4放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，则多少分钟可以完成？分析及解：同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，4号阀门1分钟，这时，1，2，3，4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一例5某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的顺序，每个小队干一天地轮流干，则工程由哪个队最后完成？分析及解：及例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例6甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？分析及解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。由最后一轮完成的工作量相同，得到练习61.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？3.加工一批零件，王师傅先做6时李师傅再做12时可完成，王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。现在王师傅先做2时，剩下的两人合做，还需要多少小时？独修各需几天？5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？6.单独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果按照甲、乙、甲、乙、……的顺序轮流工作，每次1时，则完成这项工作需要多长时间？7.一项工程，乙单独干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，则恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，则比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天？答案及提示练习61.360个。2.甲18天，乙12天。时。解：由下页图知，王干2时等于李干3时，所以单独干李需12+6÷2×3=21（时），王需21÷3×2=14（时）。所求为5.上午9时。6.10时15分。天。解：如果两人轮流做完的天数是偶数，则不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙甲现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。小学六年级奥数教案—07巧用单位“1”在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。分析：因为第一天、第二天都是及全书比较，所以应以全书的页数为单位答：这本故事书共有240页。分析及解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了3个不同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的共有多少本图书？分析及解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以图书室原来共有图书分析及解：及例3类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。例5公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车及客车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？分析及解：根据“在某一时刻，货车及客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了10分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的两班各有多少人？乙班有84-48=36（人）。练习7树上原有多少个桃？剩下的部分收完后刚好又装满6筐。共收西红柿多少千克？7.六年级两个班共有学生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本答案及提示练习71.35个。2.60个。3.64吨。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。小学六年级奥数教案—08比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作5∶6。比值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a∶b=c∶d，则a×d=b×c。两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因为[6，4]=12，所以5∶6=10∶12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。例1已知3∶(x-1)=7∶9，求x。解：7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。分析及解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，则男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为24∶20=6∶5。在例2中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项及总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。例3配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。例4师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析及解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅及徒弟的工作效率有多少学生？按比例分配得到例6某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车及小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。分析及解：大客车、小轿车通过的数量都是及小客车相比，如果能将5∶6中的6及4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过大客车=10×7=70（辆），小客车=12×7=84（辆），小轿车=33×7=231（辆）。练习81.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地的面积。2.一个长方体，长及宽的比是4∶3，宽及高的比是5∶4，体积是450分米3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，则小明及小强的钱数之比是3∶5；如果小强买了这把小刀，则小明及小强的钱数之比是9∶11。问：两人原来共有多少钱？5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳？6.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？7.某俱乐部男、女会员的人数之比是3∶2，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶7。如果甲组中男、女会员的人数之比是3∶1，乙组中男、女会员的人数之比是5∶3，则丙组中男、女会员的人数之比是多少？答案及提示练习81.540米2。2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。解：长∶宽∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。3.86元。解：设小明有x元钱。根据小强的钱数可列方程36+50=86（元）。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。6.12时。7.5：9小学六年级奥数教案—09百分数百分数有两种不同的定义。（1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“％”来表示，叫做百分号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：比较数÷标准数=分率（百分数），标准数×分率=比较数，比较数÷分率=标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多及百分数有关的应用题。例1纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占全厂男工的25％。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析及解：因为“女工占全厂人数的80％”，所以男工占全厂人数的1-80％=20％。又因为“一车间的男工占全厂男工的25％”，所以一车间的男工占全厂人数的20％×25％=5％。例2学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的成活率为90％。已知去年春季比秋季多死了20棵树，则去年学校共种活了多少棵树？分析及解：去年春季种的树活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了75-20=55（棵），活了55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年学校共种活425+495=920（棵）。例3一次考试共有5道试题。做对第1，2，3，4，5题的人数分别占参加考试人数的85％，95％，90％，75％，80％。如果做对三道或三道以上为及格，则这次考试的及格率至少是多少？分析及解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加考试的人数为100。由此得到做错第1题的有100×（1-85％）=15（人）；同理可得，做错第2，3，4，5题的分别有5，10，25，20人。总共做错15+5+10+25+20=75（题）。一人做错3道或3道以上为不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是75％。例4育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四年级学生少10％，六年级学生比五年级学生多10％。如果六年级学生比三年级学生多38人，则三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125％，五年级是三年级的125％×（1-10％），六年级是三年级的125％×（1-10％）×（1+10％）。因为已知六年级比三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，x×125％×90％×110％=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年级有160名学生。四年级有学生160×125％=200（名）。五年级有学生200×（1-10％）＝180（名）。六年级有学生160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年级共有学生738名。在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，则糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）及糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精及酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量=溶质重量+溶剂重量，溶质含量=溶质重量÷溶液重量，溶液重量=溶质重量÷溶质含量，溶质重量=溶液重量×溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例5有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？分析及解：在600克含糖量为7％的糖水中，有糖（溶质）600×7％=42（克）。设再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程需要再加入20克糖。例6仓库运来含水量为90％的一种水果100千克，一星期后再测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的总重量是多少千克？分析及解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重100×（1-90％）=10（千克）。一星期后含水量变为80％，“果”及“水”的比值为因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为所以总重量是10+40=50（千克）。练习91.某修路队修一条路，5天完成了全长的20％。照此计算，完成任务还需多少天？2.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少20％，三车间人数比二车间多30％。已知三车间有156人，全厂有多少人？3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80％，第三块地的面积比第二块多20％，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。4.某工厂四个季度的全勤率分别为90％，86％，92％，94％。问：全年全勤的人至少占百分之几？5.有酒精含量为30％的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24％的溶液，如果再加入同样多的水，则酒精含量将变为多少？6.配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5％的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10％，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？答案及提示练习91.20天。解：5÷20％-5=20（天）。2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600（人）。3.第一、二、三块依次为25，20和24公顷。解：第一块地的面积为69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公顷），第二块地为25×80％=20（公顷），第三块地为69-25=24（公顷）。4.62％。解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没有全勤的人最多，为38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少为62％。5.20％。解：设酒精含量为30％的酒精溶液有100克，则溶质为30克。稀释成酒精含量为24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再加入25克水，则酒精含量变为30÷(100+25+25)=20％。6.600克，400克。提示：设需要18％的溶液x克，则需要23％的溶液(100-x)克。根据溶质重量可得x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。7.95％。解：设原有100吨煤，则有水份14.5吨。又设风干掉水份x吨，则由含现在煤的重量为100-5=95（吨），是原来的95％。小学六年级奥数教案—10商业中的数学市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经历，都知道商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的成本、利润等听起来有些陌生的名词。这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。利润=售出价-成本，例如，一件商品进货价是80元，售出价是100元，则这件商品的利润是100-80=20（元），利润率是在这里我们用“进货价”代替了“成本”，实际上成本除了进货价，还包括运输费、仓储费、损耗等，为简便，有时就忽略不计了。例1某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，及按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？解：设进货价是每个x元。由“售出价=进货价+利润”，根据前、后两次卖出的钱相等，可列方程（x+7）×13=（x+11）×12，13x+91=12+132x=41。答：进货价是每个41元。例2租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？分析及解：原计划租仓库3个月，现只租用了2个月，节约了1个月的租金7000元。如果不降低价格，则应比原计划多赚7000元，但现在只多赚了1000元，说明降价损失是7000-1000=6000（元）。因为共有3吨，即3000千克货物，所以每千克货物降低了6000÷3000=2（元）。例3张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，则每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若减价5％，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的成本是多少元？分析及解：设这种商品的成本是x元。减价5％就是每件减100×5％=5（元），张先生可多买4×5=20（件）。由获得利润的情况，可列方程（100-x）×80+100=（100-5-x）×（80+20），8000-80x+100=9500-100x，20x=1400，x=70，这种商品的成本是70元。由例2、例3看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得的利润有时反而比原来多。例4某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10％，商店要想实现25％的利润率，零售价应是每千克多少元？分析及解：本题的成本包括收购价、运费、损耗。每千克的收购价加运费是1.20+1.50×400÷1000=1.80（元）。因为